9. 甲、乙两人玩猜数字游戏，给出0，1，2，3四个数字可供选择，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，若a，b满足$|a-b|≤1$，则称甲、乙两人“心有灵犀”。现任意找事先不知道游戏意图的两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为。

9. $\frac{5}{8}$

【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先计算所有等可能的总结果数，甲、乙分别有4种数字可选，根据乘法原理可得总情况数；其次分类统计满足“|a-b|≤1”的结果数，按甲选择的数字a的4种取值，分别找出对应符合条件的乙的数字b的数量再求和；最后用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：甲任选一个数字a，有0、1、2、3共4种等可能的结果，乙猜一个数字b，也有0、1、2、3共4种等可能的结果，因此所有等可能的结果总数为：$4×4=16$种。
接下来统计满足$|a-b|≤1$的结果：
①当$a=0$时，$|0-b|≤1$，解得$-1≤ b≤1$，b可取0、1，共2种结果；
②当$a=1$时，$|1-b|≤1$，解得$0≤ b≤2$，b可取0、1、2，共3种结果；
③当$a=2$时，$|2-b|≤1$，解得$1≤ b≤3$，b可取1、2、3，共3种结果；
④当$a=3$时，$|3-b|≤1$，解得$2≤ b≤4$，b可取2、3，共2种结果；
综上，符合“心有灵犀”的结果共有$2+3+3+2=10$种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{心有灵犀})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
列举法求概率、绝对值的性质、古典概型
【点评】
本题以趣味游戏为载体考查概率计算，解题核心是不重不漏地列举出符合条件的所有情况，需要注意分类讨论时覆盖甲的所有取值，最终概率结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7

三、解答题
10. 小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口. 假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，小明在从家去学校的途中，至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？

10. $P(至少遇一次红灯)=\frac{7}{8}$，$P(不遇红灯)=\frac{1}{8}$

【分析】
首先明确每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，所以每个路口遇到红灯、绿灯的概率均为$\frac{1}{2}$，且三个路口的信号灯情况相互独立。我们可以先计算更简单的“不遇红灯”的概率，即三个路口都遇到绿灯的概率；再利用“至少遇到一次红灯”和“不遇红灯”是对立事件（两个事件概率和为1）的性质，用1减去不遇红灯的概率就能得到至少遇一次红灯的概率，这种方法比直接分类计算遇1次、2次、3次红灯的概率更简便。
【解析】
解：
∵每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，
∴每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$，三个路口的信号灯情况相互独立。
1. 计算不遇红灯的概率：
不遇红灯即三个路口全部遇到绿灯，根据独立事件同时发生的概率计算方法：
$P(不遇红灯)=\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
2. 计算至少遇到一次红灯的概率：
“至少遇到一次红灯”与“不遇红灯”是对立事件，因此：
$P(至少遇一次红灯)=1 - P(不遇红灯)=1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
也可通过列举法验证：三个路口共有$2^3=8$种等可能的通行情况，其中全绿灯仅1种，其余7种均至少有一次红灯，结果一致。
【答案】
$P(至少遇一次红灯)=\frac{7}{8}$，$P(不遇红灯)=\frac{1}{8}$
【知识点】
等可能事件概率、对立事件概率应用
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是正确识别“至少遇到一次红灯”的对立事件，通过对立事件转化可以大幅简化计算过程，避免分类讨论时出现漏算或重复计算的错误。
【难度系数】
0.8

11. 一张圆桌旁有5个座位，A先坐在如图所示的座位上，另B，C，D，E 4人随机坐到其他4个座位上. 请计算：
（1）C与A不相邻而坐的概率；
（2）D与E相邻而坐的概率.

11. (1) $\frac{1}{2}$ (2) $\frac{1}{2}$

【分析】
本题为古典概型概率计算问题，A的位置已固定，剩余4个座位由B、C、D、E四人随机就坐。解题思路为：先计算4人随机就坐的总等可能情况数，再分别统计两个问题中符合要求的情况数，最终用符合条件的情况数除以总情况数得到对应概率。首先明确座位属性：和A相邻的座位共2个，不相邻的座位共2个；剩余4个座位中共有3组相邻的座位对。
【解析】
A位置固定，B、C、D、E4人随机坐剩余4个座位，总的等可能坐法总数为$4×3×2×1=24$种。
（1）计算C与A不相邻的概率：
与A不相邻的座位共有2个，先安排C的座位有2种选择，剩余3人在剩下3个座位任意排列，坐法有$3×2×1=6$种，因此C与A不相邻的坐法共$2×6=12$种。
$P(\mathrm{C与A不相邻})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
（2）计算D与E相邻而坐的概率：
剩余4个座位中相邻的座位对共3组，每组相邻座位中D和E可交换位置，有2种排列方式，剩余2个座位由B、C任意就坐，有$2×1=2$种排列方式，因此D与E相邻的坐法共$3×2×2=12$种。
$P(\mathrm{D与E相邻})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$ (2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型，概率计算，简单排列
【点评】
本题结合生活中的就座场景考查概率计算，解题关键是固定A的位置后准确分析剩余座位的属性，统计情况数时注意不要漏算人员排列的不同情况，难度适中，侧重对逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7

12. 某班50名学生科普知识竞赛成绩(单位：分)如表所示.

根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1) 表中x的值为，y的值为.
(2) 将获得A等级的学生依次用$A_1$，$A_2$，$A_3$……表示. 班主任决定，从本次竞赛成绩获得A等级的学生中随机抽取两名学生请他们谈谈学习体会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到学生$A_1$和$A_2$的概率.

12. (1) 4,0.7 (2) 树状图略，$P(抽到学生A_1,A_2)=\frac{1}{6}$

【分析】
(1) 求解x、y需要用到频数、频率和总人数的关系：频数=总人数×频率，频率=频数÷总人数，且各组频率之和为1。已知总人数为50，用总人数乘A等级的频率即可得到x的值；求y既可以用B等级的频数除以总人数，也可以用1减去A、C等级的频率之和计算。
(2) 求解概率首先要明确A等级共有4名学生，从4名学生中随机抽2名属于不放回抽取，通过列表或者画树状图列举出所有等可能的结果，再找出恰好抽到$A_1$和$A_2$的结果数，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
(1) 已知参与竞赛的总人数为50，A等级的频率为0.08，因此：
$x=50×0.08=4$
求y的值可选择两种方法：
方法一：B等级频数为35，因此$y=35÷50=0.7$
方法二：各组频率和为1，因此$y=1-0.08-0.22=0.7$
(2) 由(1)可知A等级共有4名学生：$A_1,A_2,A_3,A_4$，从4人中随机抽取2人，用列表法列举所有等可能结果：
| 抽取第一名 | $A_1$ | $A_2$ | $A_3$ | $A_4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | - | $(A_1,A_2)$ | $(A_1,A_3)$ | $(A_1,A_4)$ |
| $A_2$ | $(A_2,A_1)$ | - | $(A_2,A_3)$ | $(A_2,A_4)$ |
| $A_3$ | $(A_3,A_1)$ | $(A_3,A_2)$ | - | $(A_3,A_4)$ |
| $A_4$ | $(A_4,A_1)$ | $(A_4,A_2)$ | $(A_4,A_3)$ | - |
可得共有12种等可能的结果，其中恰好抽到$A_1$和$A_2$的结果有2种，因此：
$P(抽到学生A_1,A_2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
（若用无序列举，总共有6种等可能结果，符合条件的结果有1种，概率仍为$\frac{1}{6}$，结果一致）
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{0.7}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
频数与频率的关系，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，第一问核心是掌握频数、频率、总人数三者的数量关系，计算难度低；第二问需要明确不放回抽取的试验特点，准确列举所有等可能结果即可求解，属于考试中常见的得分题型。
【难度系数】
0.7