1.下列长度(单位:厘米)的三条线段不可能是一个三角形的边长的是().

A.5,12,13
B.5,7,12
C.5,7,7
D.4,6,9

1. B

【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，无需验证所有两边之和的组合，只需找到三条线段中较短的两条，计算它们的和，再与最长的线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就无法构成三角形，我们按照这个方法逐一验证每个选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条边为5,12,13，较短两边是5和12，和为$5+12=17$，$17＞13$，能构成三角形，不符合题意；
B选项：三条边为5,7,12，较短两边是5和7，和为$5+7=12$，$12=12$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，符合题意；
C选项：三条边为5,7,7，较短两边是5和7，和为$5+7=12$，$12＞7$，能构成三角形，不符合题意；
D选项：三条边为4,6,9，较短两边是4和6，和为$4+6=10$，$10＞9$，能构成三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判断技巧，可快速得出结果，注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.8

2. 已知三角形两边的长是2 cm和7 cm，第三边的长为奇数，求这个三角形的周长.

2. 解 设三角形的第三边长为 x cm，
由题意，得 7−2＜x＜7+2，
解得 5＜x＜9.
∵第三边的长为奇数，
∴x=7，
∴这个三角形的周长=2+7+7=16(cm).

【分析】
要计算三角形的周长，首先需要确定第三边的长度。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先根据已知的两条边长列出不等式，求出第三边的取值范围；再结合题目给出的“第三边为奇数”的限定条件，在取值范围内筛选出符合要求的第三边长度；最后将三条边的长度相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
解：设三角形的第三边长为$ x $ cm，
根据三角形三边关系，得：$ 7-2 ＜ x ＜ 7+2 $，
解得：$ 5 ＜ x ＜ 9 $。
∵第三边的长为奇数，
∴$ x=7 $，
∴这个三角形的周长为$ 2+7+7=16(\mathrm{cm}) $。
【答案】
16 cm
【知识点】
三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边长相关的基础题型，解题核心是先通过三角形三边关系确定未知边的取值范围，再结合题干限定条件筛选出有效边长，最后计算周长。易错点为求解第三边范围时错误包含边界值，或记错三边关系导致范围计算错误。
【难度系数】
0.8

3.如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，发现这个木架会变形，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是().

A.0
B.1
C.2
D.3

3. B

【分析】
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性，要让容易变形的四边形木架保持稳定，核心是把四边形转化为具有稳定性的三角形结构。我们可以尝试判断最少加几根木条能构造出三角形结构：如果加1根木条连接四边形的一组对角，就能把四边形分成2个独立的三角形，此时整个木架就不会变形，不需要更多木条，因此最少只需要1根。
【解析】
解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。若要让四边形木架不变形，需将其分割为三角形结构：只需要钉上1根木条作为四边形的对角线，即可将四边形分为2个三角形，利用三角形的稳定性使木架保持固定，因此至少需要再钉1根木条。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用问题，解题关键是明确只要将多边形结构拆分为若干个三角形，即可利用三角形的稳定性让整体结构固定。
【难度系数】
0.9

4.已知$a,b,c$是三角形的三边长.
(1)化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|$;
(2)若$a+b=11,b+c=9,a+c=10$,求这个三角形的各边长.

4. 解 (1)
∵a,b,c 是三角形的三边长，
∴a−b−c＜0,b−c−a＜0,c−a−b＜0，
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|=−a+b+c−b+c+a−c+a+b=a+b+c.
(2)
∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③，
由①−②,得a−c=2④,由③+④,得2a=12，
∴a=6,
∴b=11−6=5,c=10−6=4.

【分析】
(1) 化简带绝对值的式子首先要判断绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形三边长，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得a＜b+c、b＜c+a、c＜a+b，变形后可知三个绝对值内的式子均为负数，再依据负数的绝对值是它的相反数去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 题目给出了三个含a、b、c的一次方程，可通过消元法求解：先通过两个方程相减消去b，得到a与c的数量关系，再和第三个含a、c的方程联立求出a的值，最后代入对应方程即可求出b、c的值。
【解析】
(1)
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴根据三角形三边关系得a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，
即$a−b−c＜0$，$b−c−a＜0$，$c−a−b＜0$，
∴$|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|$
$=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)$
$=−a+b+c−b+c+a−c+a+b$
$=a+b+c$。
(2) 由题意得$\begin{cases}a+b=11①\\b+c=9②\\a+c=10③\end{cases}$，
由①−②，得$a−c=2$④，
由③+④，得$2a=12$，解得$a=6$，
将$a=6$代入①，得$b=11-6=5$，
将$a=6$代入③，得$c=10-6=4$。
【答案】
(1) $a+b+c$；
(2) 三角形的三边长为$a=6$，$b=5$，$c=4$。
【知识点】
三角形三边关系；绝对值化简；解三元一次方程组
【点评】
本题属于基础综合题，第一问的解题关键是利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，是去绝对值符号的核心前提；第二问考察消元法解方程组的基础运算能力，整体侧重对基础概念和基础技能的考察，掌握核心知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

5. 如图，O是$△ ABC$内一点，连接$OB$，$OC$。
(1)请说明$OB+OC＜AB+AC$；
(2)若$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，请写出$OB+OC$的取值范围。

5. 解 (1)如图,延长 BO 与 AC 交于点 D，
由 AB+AD＞BD,OD+CD＞CO,得 AB+AC＞BO+CO，
即 BO+CO＜AB+AC.

(2)根据三角形的三边关系可得 BO+CO＞BC，
∵AB=5,AC=6,BC=7,且由(1)得 BO+CO＜AB+AC,
∴7＜BO+CO＜11.

【分析】
(1)要证明$OB+OC＜AB+AC$，无法直接通过现有三角形的三边关系推导，因此考虑构造辅助线：延长$BO$交$AC$于点$D$，将$AC$拆分为$AD+CD$，分别在$△ ABD$和$△ ODC$中运用三角形“两边之和大于第三边”的性质得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段$OD$后即可推导得到结论。
(2)求$OB+OC$的取值范围需要分别确定上下限：最小值可在$△ OBC$中利用三角形三边关系得到$OB+OC＞BC$；最大值可直接使用第(1)问的结论得到$OB+OC＜AB+AC$，代入已知边长计算即可得到取值范围。
【解析】
(1) 如图，延长$BO$与$AC$交于点$D$。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得：$AB + AD ＞ BD$ ①
在$△ ODC$中，同理可得：$OD + CD ＞ OC$ ②
将①和②左右两边分别相加，得：$AB + AD + OD + CD ＞ BD + OC$
∵ $BD = BO + OD$，$AD + CD = AC$，代入上式可得：
$AB + AC + OD ＞ BO + OD + OC$
两边同时减去$OD$，可得：$AB + AC ＞ BO + OC$，即$OB + OC ＜ AB + AC$。
(2) 在$△ OBC$中，根据三角形三边关系，可得$OB + OC ＞ BC$。
已知$BC=7$，因此$OB + OC ＞7$。
由(1)的结论可知$OB + OC ＜ AB + AC$，已知$AB=5$，$AC=6$，因此$AB + AC=11$，即$OB + OC ＜11$。
综上可得$OB + OC$的取值范围是$7＜OB + OC＜11$。
【答案】
(1)如图,延长 BO 与 AC 交于点 D，由 AB+AD＞BD,OD+CD＞CO,得 AB+AC＞BO+CO，即 BO+CO＜AB+AC.
(2)$7＜OB+OC＜11$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形边的性质应用的典型题型，重点考查三角形三边关系的灵活运用，解题的关键是通过构造辅助线将待比较的线段转化到不同三角形中，利用三边关系建立不等关系，再通过不等式变形得到结论。
【难度系数】
0.7