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5.若$(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{2x}{x^2-2x+1}$的计算结果为正整数，则对$x$的取值描述最准确的是(
A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
B
).A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
答案
5. B 解析 $(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{2x}{x^2-2x+1}$
$=(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1})÷\frac{2x}{(x-1)^2}$
$=\frac{x}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{2x}$
$=\frac{x-1}{2}.$
∵计算结果为正整数，
∴$x$为大于1的奇数. 故选B.
$=(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1})÷\frac{2x}{(x-1)^2}$
$=\frac{x}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{2x}$
$=\frac{x-1}{2}.$
∵计算结果为正整数，
∴$x$为大于1的奇数. 故选B.
6. 先化简，再求值：$(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}$，其中$x=3$。
答案
6. 解 $(1+\frac{3}{x-2})÷\frac{x+1}{x^2-4x+4}$
$=\frac{x-2+3}{x-2}·\frac{(x-2)^2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x-2}·\frac{(x-2)^2}{x+1}=x-2.$
当$x=3$时，
原式$=3-2=1.$
$=\frac{x-2+3}{x-2}·\frac{(x-2)^2}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x-2}·\frac{(x-2)^2}{x+1}=x-2.$
当$x=3$时，
原式$=3-2=1.$
7.在一次行程中,张叔叔和王叔叔同时加了两次油,且两次加油时汽油的价格分别为$x$元/升和$y$元/升$(x＞0,y＞0,x≠y)$.张叔叔两次都加了相同体积(单位:升)的油,王叔叔两次都加了相同金额(单位:元)的油,假设每次加油都未加满油箱,请判断谁加油的平均单价更低,并利用学过的数学知识说明理由.
答案
7. 解 王叔叔加油的平均单价更低. 理由如下：
根据题意，得张叔叔加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$(元/升)，
王叔叔加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$ 因为$x＞0,y＞0,x≠y$，
所以$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0,即\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}.$
所以王叔叔加油的平均单价更低.
根据题意，得张叔叔加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$(元/升)，
王叔叔加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$ 因为$x＞0,y＞0,x≠y$，
所以$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0,即\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}.$
所以王叔叔加油的平均单价更低.
