8. [2026苏州期末]图1是某小区折叠道闸的实景图，图2是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE-EF”组成。道闸工作时，折叠杆“AE-EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（）


A.∠BAE + ∠AEF = 180°
B.∠BAE + ∠AEF = 270°
C.∠BAE + ∠AEF = 360°
D.∠BAE + ∠AEF的度数无法确定

8 B 如图,过点A作AG//BD,
∵ EF//BD,
∴ EF//AG//BD,
∴ ∠AEF + ∠EAG = 180°,∠BAG + ∠ABD = 180°,
∴ ∠AEF + ∠EAG + ∠BAG + ∠ABD = 360°,即 ∠AEF + ∠BAE + ∠ABD = 360°,
∵ AB ⊥ BD,
∴ ∠ABD = 90°,
∴ ∠BAE + ∠AEF = 360° - 90° = 270°。

9. 跨学科·物理 [2026 钦州一模] 如图,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,∠1=∠2=40°,则∠3的度数为 ()

A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$

9 C 如图,
∵ ∠1 = ∠2 = 40°,
∴ ∠4 = 180° - ∠1 - ∠2 = 100°,
∵ 两个平面镜平行放置,
∴ 经过两次反射后的光线与入射光线平行,
∴ ∠3 = ∠4 = 100°。

10. [2025西安高新十中月考]如图,将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB,CD。若$CD// BE$,$∠ 1 = 25°$,则$∠ 2$的度数是。

10 50° 如图,延长 FA 到点 G,由折叠的性质得∠3 = ∠1 = 25°,
∵ ∠1 + ∠3 + ∠4 = 180°,
∴ ∠4 = 130°,
∵ CD//BE,EB//FG,
∴ CD//FG,
∴ ∠ACD = ∠4 = 130°,
∵ AC//BD,
∴ ∠ACD + ∠2 = 180°,
∴ ∠2 = 50°。

11. 一题多解 [2025天津和平区期中] 如图，AB//CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度数。

11 解:✅通解 如图1,分别过点 E,F 作 EM//AB,FN//AB,因为 AB // CD,所以 AB // EM // FN//CD,所以 ∠1 = ∠5,∠4 = ∠6,∠7 = ∠ABF,∠CDF = ∠8。因为 BE 平分∠ABF,DE 平分∠CDF,所以∠1 = ∠2 = ∠5,∠4 = ∠3 = ∠6,所以∠BED = ∠5 + ∠6 = ∠1 + ∠4,∠BFD = ∠7 + ∠8 = 2∠1 + 2∠4 = 120°,所以∠1 + ∠4 = 60°,所以∠BED = 60°。
✅另解 如图2,连接 BD,因为 BE 平分 ∠ABF,DE 平分∠CDF,所以∠1 = ∠2,∠3 = ∠4。因为 AB//CD,所以∠ABD + ∠CDB = 180°,即∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6 + ∠3 + ∠4 = 180°。因为∠BFD = 120°,所以∠5 + ∠6 = 180° - ∠BFD = 60°,所以2∠2 + 60° + 2∠3 = 180°,所以∠2 + ∠3 = 60°,所以∠BED = 180° - ∠EBD - ∠EDB = 180° - (∠2 + ∠5) - (∠3 + ∠6) = 180° - (∠5 + ∠6) - (∠2 + ∠3) = 180° - 60° - 60° = 60°。

12. 推理能力 [2026 南阳卧龙区期末] 综合与实践:折纸中的数学
王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中,通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线。
①如图1,在纸上画出一条直线 BC,在 BC 外取一点 P。过点 P 折叠纸片,使得点 C 的对应点 C'落在直线 BC 上(如图 2),记折痕 DE 与 BC 的交点为 A,将纸片展开铺平。
②再过点 P 将纸片进行折叠,使得点 E 的对应点 E'落在直线 DP 上(如图 3),得折痕 FG,再将纸片展开铺平(如图 4)。此时王玲说,折痕 FG 就是 BC 的平行线。
(1)在上述过程中,∠PAB= °。
(2)王玲的说法正确吗?若不正确,请说明理由;若正确,请写出证明过程。
(3)在折痕 DE 上任取一点 M,连接 FM,BM,若记∠ABM为∠1,∠PFM为∠2,∠BMF为∠3,则直接写出∠1,∠2,∠3之间的数量关系。

(1)90
由题意可知,点 C,A,C',B 共线,所以∠PAC + ∠PAC' = 180°,由折叠的性质可知,∠PAC = ∠PAC',所以∠PAC' = 90°,即∠PAB = 90°。
(2)王玲的说法正确。证明如下:
由(1)得,∠PAB = 90°,
同理可得,∠FPA = 90°,
∴ ∠PAB + ∠FPA = 180°,
∴ FG//BC。
(3)∠3 = ∠1 + ∠2 或∠3 = ∠1 - ∠2 或∠3 = ∠2 - ∠1。
当点 M 在线段 PA 上时,如图1,过点 M 作 MN//BC,
∴ ∠1 = ∠BMN,由(2)知 FG//BC,
∴ FG//MN,
∴ ∠2 = ∠FMN,
∴ ∠3 = ∠BMN + ∠FMN = ∠1 + ∠2,即∠3 = ∠1 + ∠2。
当点 M 在线段 EP 上时,如图2,过点 M 作 MN//BC,
∴ ∠1 = ∠BMN,
∵ FG//BC,
∴ FG//MN,
∴ ∠2 = ∠FMN,
∴ ∠3 = ∠BMN - ∠FMN = ∠1 - ∠2,即∠3 = ∠1 - ∠2。
当点 M 在线段 AD 上时,如图3,过点 M 作 MN//BC,
∴ ∠1 = ∠BMN,
∵ FG//BC,
∴ FG//MN,
∴ ∠2 = ∠FMN,
∴ ∠3 = ∠FMN - ∠BMN = ∠2 - ∠1,即∠3 = ∠2 - ∠1。
综上,∠1,∠2 与∠3 之间的数量关系为∠3 = ∠1 + ∠2 或∠3 = ∠1 - ∠2 或∠3 = ∠2 - ∠1。