1.如图,两个天平都处于平衡状态,则每个的质量为g.

1. 100

【分析】
解题时先利用第一个天平的平衡关系，得到2个三角形的总质量等于400g；再观察第二个天平，同样是2个三角形的总质量等于4个正方形的总质量，由此建立等量关系，将2个三角形的总质量代入，即可求出单个正方形的质量。
【解析】
由第一个天平平衡可知：2个三角形的质量 = 400 g。
第二个天平也处于平衡状态，说明左边2个三角形的质量等于右边4个正方形的总质量，因此4个正方形的总质量 = 400 g。
根据等式的性质，两边同时除以4，可得单个正方形的质量为：$400 ÷ 4 = 100\ \mathrm{g}$。
【答案】
100
【知识点】
天平平衡原理，等式的性质，等量代换
【点评】
本题通过天平平衡的直观情境考查等量关系的应用，解题的关键是找到两个天平的公共中间量（2个三角形的总质量），通过等量代换快速求出未知量，属于基础类题型，注意数清图形的数量避免出错。
【难度系数】
0.8

2. 下列利用等式的性质进行的变形中，正确的是（）

A.如果 $ a = b $，那么 $ a + 2c = b - 2c $
B.如果 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c ≠ 0) $，那么 $ a = b $
C.如果 $ ac = bc $，那么 $ a = b $
D.如果 $ a = b $，那么 $ a + 3 = 3b $

2. B

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：1.等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再将每个选项对照上述性质逐一判断正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：若$a = b$，根据等式性质1，等式两边需同时加或减同一个数（或式子）等式才成立，本选项左边加$2c$，右边减$2c$，操作不一致，变形错误。
B选项：若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c ≠ 0)$，根据等式性质2，等式两边同时乘不为0的$c$，可得$a = b$，变形正确。
C选项：若$ac = bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，等式都成立，因此不能直接两边除以$c$得到$a = b$，变形错误。
D选项：若$a = b$，左边加3，右边乘3，既不符合等式性质1也不符合等式性质2，变形错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质1、等式的性质2
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，易错点是忽略等式性质2中“除以的数不能为0”的限制，容易误选C选项，解题时要注意等式两边的变形操作完全一致，除以含字母的式子时需先确认该式子不为0。
【难度系数】
0.7

3. 已知$5a+8b=3b+10$,利用等式的性质可求出$a+b=$.

3. 2

【分析】
解题时先观察已知等式和待求式的关系，我们需要得到含a+b的式子，所以首先利用等式的性质1，把等式右边的3b移到左边，合并同类项后就能得到左边是5倍的a+b的形式，再利用等式的性质2，两边同时除以5即可求出a+b的值。
【解析】
已知$5a+8b=3b+10$，
1. 根据等式的性质1，等式两边同时减去$3b$，等式仍然成立：
$5a+8b-3b=3b+10-3b$
化简可得：$5a+5b=10$
2. 逆用乘法分配律对左边变形：$5(a+b)=10$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以5，等式仍然成立：
$a+b=2$
【答案】
2
【知识点】
等式的性质，合并同类项，整体代换
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题的核心是通过变形将原式转化为含有待求整体$a+b$的形式，不需要单独求出a和b的取值，能很好地考查对等式性质的掌握程度和整体思维能力。
【难度系数】
0.8

4.利用等式的性质解方程$2x-5=1$的具体过程可分两步,请你根据等式的性质填空.
第一步:根据等式的性质(填“1”或“2”),方程两边,得.
第二步:根据等式的性质(填“1”或“2”),方程两边,得.

4. 1；加5；2x=6；2；除以2；x=3

【分析】
首先回忆等式的两个性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，用于处理方程中的加减项；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用于处理未知数的系数。解题时第一步先消去方程左边的常数项-5，需要用到等式性质1，给方程两边同时加5，即可得到只含未知数项在左、常数项在右的方程；第二步要把未知数的系数化为1，用到等式性质2，给方程两边同时除以2，就能求出x的值。
【解析】
第一步：要消去方程左侧的常数项-5，根据等式的性质1，等式两边同时加上相同的数，等式仍然成立，因此给方程两边同时加5：
左边：$2x-5+5=2x$，右边：$1+5=6$，可得$2x=6$。
第二步：要将$x$的系数化为1，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，因此给方程两边同时除以2：
左边：$2x÷2=x$，右边：$6÷2=3$，可得$x=3$。
【答案】
1；加5；$2x=6$；2；除以2；$x=3$
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；利用等式性质解方程
【点评】
本题是对等式性质基础应用的考查，明确两个等式性质的适用场景，掌握解方程每一步的推导依据，是后续学习复杂方程求解的重要基础。
【难度系数】
0.9

5. 新趋势·回归教材（第117页练习2题变式）
利用等式的性质解下列方程：
(1)$4x+7=3$；
(2)$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x=4$；
(3)$9x=8x-6$；
(4)$8-1.5x=11$。

5. 解：(1)方程两边减7,得4x+7-7=3-7. 化简,得4x=-4. 方程两边除以4,得x=-1.
(2)方程两边乘6,得3x-2x=24. 化简,得x=24.
(3)方程两边减8x,得9x-8x=8x-6-8x. 化简,得x=-6.
(4)方程两边减8,得8-1.5x-8=11-8. 化简,得-1.5x=3. 方程两边除以-1.5,得x=-2.

【分析】
利用等式的性质解方程的核心是通过合法的等式变形，逐步将方程化简为“x=a”的形式：首先牢记等式的两条核心性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先观察方程特征：若含x的一侧有常数项，先用性质1消去常数项；若方程含分数系数，先乘所有分母的最小公倍数消去分母简化计算；若方程两侧都有含x的项，先用性质1消去一侧的含x项，最后用性质2将x的系数化为1即可得到解。
【解析】
解：(1)方程两边减7，得$4x+7-7=3-7$，化简，得$4x=-4$，方程两边除以4，得$x=-1$。
(2)方程两边乘6，得$3x-2x=24$，化简，得$x=24$。
(3)方程两边减8x，得$9x-8x=8x-6-8x$，化简，得$x=-6$。
(4)方程两边减8，得$8-1.5x-8=11-8$，化简，得$-1.5x=3$，方程两边除以$-1.5$，得$x=-2$。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=24$；(3)$x=-6$；(4)$x=-2$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考查对等式性质的掌握和应用，是后续求解复杂方程的核心基础。解题时要注意每一步变形都要符合等式的性质，尤其要注意系数化为1、消分母时的符号问题和漏乘问题。
【难度系数】
0.85

6.若等式$ m=n $根据等式的性质可以变形得到$ m+a=n-b $，则$ a,b $应满足的条件是（）

A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$ a=0,b=0 $

6. A

【分析】
解题时首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。我们可以先对原等式$m=n$按照变形后的左边进行操作：左边加$a$，为了让等式仍然成立，右边原本也需要加$a$，此时等式变为$m+a=n+a$；而已知变形后等式为$m+a=n-b$，因此可以得到$n+a=n-b$，化简该式就能推出$a$和$b$的关系。
【解析】
根据等式的性质1，将等式$ m=n $两边同时加$ a $，可得：
$ m + a = n + a $
已知变形后等式为$ m + a = n - b $，因此有：
$ n + a = n - b $
将等式两边同时减去$ n $，可得：
$ a = -b $，即$ a + b = 0 $
根据相反数的定义：和为0的两个数互为相反数，因此$a$、$b$互为相反数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；相反数的定义
【点评】
本题主要考察等式基本性质的运用，结合相反数的概念进行判断，解题关键是熟练掌握等式变形的规则，理清变形前后等式的对应关系。
【难度系数】
0.8

7. 新素养·推理能力 若“■”“▲”“●”分别表示三种不同质量的物体，其中同一种物体的质量都相等。现用天平称量，情况如图所示，其中只有一个天平不平衡，则该天平是天平.(填序号)

7. ④

【分析】
解决这类天平称重的推理问题，我们可以先将天平的平衡关系转化为等式，用字母分别表示三种物体的质量，借助等式的性质推导不同物体的质量关系，再验证各个天平是否符合该关系即可。由于题目明确只有1个天平不平衡，因此其余三个天平的平衡关系是自洽的，我们可以先从简单的天平入手推导等量关系：首先从天平①得到■和▲的质量关系，再从天平②得到▲和●的质量关系，结合两个关系推导■、▲、●三者的质量关系，最后验证剩余两个天平是否符合该关系，不符合的就是不平衡的天平。
【解析】
设“■”的质量为$a$，“▲”的质量为$b$，“●”的质量为$c$。
1. 若天平①平衡，可得等式：$a = 2b$；
2. 若天平②平衡，可得等式：$a + 2c = a + b$，根据等式的性质，两边同时减去$a$，可得$2c = b$，即$b=2c$；
3. 结合前两个等式推导三者关系：将$b=2c$代入$a=2b$，可得$a=2×2c=4c$；
4. 验证天平③：左边总质量为$a+b=4c+2c=6c$，右边总质量为$6c$，左右两边质量相等，说明天平③平衡，即①②③的平衡关系成立；
5. 验证天平④：左边总质量为$a=4c$，右边总质量为$3c$，$4c≠3c$，因此天平④不平衡，符合“只有一个天平不平衡”的条件。
【答案】
④
【知识点】
等式的性质，等量代换，天平平衡问题
【点评】
本题侧重考察逻辑推理能力，解题的关键是将天平平衡转化为数学等式，借助等式的性质推导不同物体的质量关系，再通过代入验证找到矛盾项即可，这类题是等式性质的典型实际应用题型。
【难度系数】
0.7

8. 新趋势·材料阅读 小明课后利用方程的知识探索发现,所有无限循环小数都可以化为分数形式. 以无限循环小数 $0.\dot{3}$ 为例进行讨论.
设 $0.\dot{3}=x$,由 $0.\dot{3}=0.333···$可知,$10x=3.333···$,所以 $10x - x = 3$. 解方程,得 $x = \frac{1}{3}$. 于是,$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$.
(1) 把无限循环小数 $0.\dot{1}$ 化为分数形式是 ；
(2) 请你利用小明的方法,把无限循环小数 $0.\dot{1}\dot{6}$ 化为分数形式.

8. 解:(1) $\frac{1}{9}$
(2)设0. $\dot{1}\dot{6}$=y,由0. $\dot{1}\dot{6}$=0.161 616…可知,100y=16.161 616…(关键点:该数的小数部分必须是0.161 616…),
所以100y-y=16.
解方程,得$y=\frac{16}{99}$.于是,0. $\dot{1}\dot{6}$=$\frac{16}{99}$.

【分析】
本题属于方法迁移类的材料阅读题，解题核心是模仿题目给出的无限循环小数化分数的思路：先设待转化的循环小数为未知数，再根据循环节的位数将原数扩大10的整数倍，使扩大后的数和原数的小数部分完全相同，两式相减就能消去无限循环的小数部分，最后解方程得到对应分数。(1)中$0.\dot{1}$的循环节是1位，将原数乘10即可构造出和原数小数部分一致的数；(2)中$0.\dot{1}\dot{6}$的循环节是2位，将原数乘100即可构造出和原数小数部分一致的数，按步骤求解即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{1}=x$，由$0.\dot{1}=0.111···$可知，$10x=1.111···$，
因此$10x - x = 1$，
解方程得$x=\frac{1}{9}$。
(2) 设$0.\dot{1}\dot{6}=y$，由$0.\dot{1}\dot{6}=0.161616···$可知，$100y=16.161616···$，
因此$100y - y = 16$，
解方程得$y=\frac{16}{99}$，即$0.\dot{1}\dot{6}=\frac{16}{99}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $\frac{16}{99}$
【知识点】
一元一次方程的应用，等式的性质
【点评】
本题侧重考查对新方法的理解和迁移运用能力，解题门槛低，只要读懂材料给出的转换规则，找准循环节位数和扩大倍数的对应关系就能顺利解答，运算量小，是考查学习能力的典型题型。
【难度系数】
0.8