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9. 如图所示的剪拼过程(由左向右)可以验证的公式是 (
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
A
)A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
答案
9.A
解析
【分析】
本题利用图形剪拼前后阴影部分的面积相等来推导代数公式，核心是将几何图形的面积与代数表达式建立联系。先确定左边图形阴影部分的面积，再计算右边剪拼后图形的面积，通过两者相等得到对应的公式。
【解析】
左边图形中，阴影部分的面积为边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，即$a^2 - b^2$；右边图形是将左边的阴影部分剪拼成长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，根据长方形面积公式，其面积为$(a + b)(a - b)$。因为剪拼过程中阴影部分的面积不变，所以$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、图形面积
【点评】
本题通过数形结合的方式直观验证平方差公式，考查学生对几何图形面积计算和代数公式的理解，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
本题利用图形剪拼前后阴影部分的面积相等来推导代数公式，核心是将几何图形的面积与代数表达式建立联系。先确定左边图形阴影部分的面积，再计算右边剪拼后图形的面积，通过两者相等得到对应的公式。
【解析】
左边图形中，阴影部分的面积为边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，即$a^2 - b^2$；右边图形是将左边的阴影部分剪拼成长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形，根据长方形面积公式，其面积为$(a + b)(a - b)$。因为剪拼过程中阴影部分的面积不变，所以$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、图形面积
【点评】
本题通过数形结合的方式直观验证平方差公式，考查学生对几何图形面积计算和代数公式的理解，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
10. 如图所示的运算程序中，如果开始输入$x$的值为2，可以发现第一次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$，第二次输出的结果为$-2$……则第2025次输出的结果是（
A.$1$
B.$2$
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.$1$
B.$2$
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
10.A 【解析】第1次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第2次输出的结果为$-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1}=-2$,第3次输出的结果为$-\dfrac{1}{-2+1}=1$,第4次输出的结果为$-\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$……所以每3次为周期,以$-\dfrac{1}{2},-2,1$循环。因为$2025÷3=675$,所以第2025次输出的结果是1。故选A。
解析
【分析】要解决这个问题，需先按照给定的运算程序，依次计算前几次的输出结果，从中发现结果的循环规律，确定循环周期后，用总次数除以周期，根据余数判断第2025次输出对应的周期内的结果，即可得出答案。
【解析】根据运算程序，输入x后，输出为$-\dfrac{1}{x}$，若前一次输出结果作为下一次输入，需先加1再代入运算，依次计算：
1. 第1次输入$x=2$，输出：$-\dfrac{1}{2}$；
2. 第2次输入为第1次的输出$-\dfrac{1}{2}$，先加1得$\dfrac{1}{2}$，再运算：$-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-2$；
3. 第3次输入为第2次的输出$-2$，先加1得$-1$，再运算：$-\dfrac{1}{-1}=1$；
4. 第4次输入为第3次的输出$1$，先加1得$2$，再运算：$-\dfrac{1}{2}$；
由此可知，输出结果以$-\dfrac{1}{2}, -2, 1$为一个周期，每3次循环一次。
因为$2025÷3=675$，无余数，说明第2025次输出对应周期的第3个结果，即1。
【答案】A
【知识点】代数式求值、循环规律探索
【点评】本题属于规律探索类题目，核心是通过计算前几次结果找到循环周期，利用周期性简化计算，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据运算程序，输入x后，输出为$-\dfrac{1}{x}$，若前一次输出结果作为下一次输入，需先加1再代入运算，依次计算：
1. 第1次输入$x=2$，输出：$-\dfrac{1}{2}$；
2. 第2次输入为第1次的输出$-\dfrac{1}{2}$，先加1得$\dfrac{1}{2}$，再运算：$-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-2$；
3. 第3次输入为第2次的输出$-2$，先加1得$-1$，再运算：$-\dfrac{1}{-1}=1$；
4. 第4次输入为第3次的输出$1$，先加1得$2$，再运算：$-\dfrac{1}{2}$；
由此可知，输出结果以$-\dfrac{1}{2}, -2, 1$为一个周期，每3次循环一次。
因为$2025÷3=675$，无余数，说明第2025次输出对应周期的第3个结果，即1。
【答案】A
【知识点】代数式求值、循环规律探索
【点评】本题属于规律探索类题目，核心是通过计算前几次结果找到循环周期，利用周期性简化计算，难度适中。
【难度系数】0.5
11. 分解因式:$a^{2}-2a=$______。
答案
11.$a(a-2)$
解析
【分析】
本题考查因式分解中的提公因式法，观察式子$a^2 - 2a$，两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法进行分解。
【解析】
对于式子$a^2 - 2a$，先确定公因式为$a$，提取公因式后，剩余部分为$a - 2$，因此分解结果为$a(a - 2)$。
【答案】
$a(a - 2)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础的因式分解题，直接考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的入门题型。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解中的提公因式法，观察式子$a^2 - 2a$，两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法进行分解。
【解析】
对于式子$a^2 - 2a$，先确定公因式为$a$，提取公因式后，剩余部分为$a - 2$，因此分解结果为$a(a - 2)$。
【答案】
$a(a - 2)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础的因式分解题，直接考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的入门题型。
【难度系数】
0.9
12. 某校对100名女生的身高进行了测量，身高在157 cm至162 cm的小组有20人，则该组的频率是
0.2
。答案
12.0.2
解析
【分析】首先明确频率的计算公式：频率=频数÷数据总数。本题中，身高在157cm至162cm小组的频数是20，测量的女生总人数（数据总数）是100，将对应数值代入公式即可求出该组的频率。
【解析】根据频率的定义，频率=频数÷数据总数。已知该组频数为20，总人数为100，因此该组频率为：20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率的计算、频数与频率的关系
【点评】本题属于统计类基础计算题，直接考查频率的基本公式应用，难度较低，只要牢记频率的计算方法即可轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据频率的定义，频率=频数÷数据总数。已知该组频数为20，总人数为100，因此该组频率为：20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率的计算、频数与频率的关系
【点评】本题属于统计类基础计算题，直接考查频率的基本公式应用，难度较低，只要牢记频率的计算方法即可轻松解答。
【难度系数】0.8
13.若$x^2+kx+9=(x-3)^2$，则$k$的值是
-6
。答案
13.$-6$
解析
【分析】首先利用完全平方公式将等式右边展开，再根据多项式相等时对应项的系数相等，即可求出k的值。
【解析】先将等式右边的完全平方展开：$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$，已知$x^2 + kx +9 = (x-3)^2$，即$x^2 + kx +9 = x^2 -6x +9$，等式两边对应项系数相等，可得$k = -6$。
【答案】$-6$
【知识点】完全平方公式，多项式系数对应
【点评】本题考查完全平方公式的基本应用，属于基础题型，只需熟练掌握完全平方公式的展开即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】先将等式右边的完全平方展开：$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$，已知$x^2 + kx +9 = (x-3)^2$，即$x^2 + kx +9 = x^2 -6x +9$，等式两边对应项系数相等，可得$k = -6$。
【答案】$-6$
【知识点】完全平方公式，多项式系数对应
【点评】本题考查完全平方公式的基本应用，属于基础题型，只需熟练掌握完全平方公式的展开即可快速求解。
【难度系数】0.8
14. 如图,将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置。已知$BF=9$,$EC=3$,则A,D两点之间的距离是
3
。答案
14.3
解析
【分析】本题考查平移的性质，解题思路是：三角形平移后，对应点的连线相等，对应线段相等，即平移后点B对应点E，点C对应点F，因此BE=CF，且BF的长度等于BE+EC+CF，通过线段和差关系求出BE的长度，即可得到A、D两点的距离。
【解析】因为三角形ABC沿水平方向向右平移得到三角形DEF，根据平移的性质，对应点的连线相等，所以BE=CF。已知BF=BE+EC+CF=9，EC=3，代入得BE+CF=9-3=6，又因为BE=CF，所以BE=6÷2=3。而平移后对应点A、D的距离等于BE的长度，因此A、D两点之间的距离是3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题属于平移性质的基础应用题，核心是利用平移后对应点连线相等的性质，结合线段和差计算，难度较低，是对平移基本概念的直接考查。
【难度系数】0.6
【解析】因为三角形ABC沿水平方向向右平移得到三角形DEF，根据平移的性质，对应点的连线相等，所以BE=CF。已知BF=BE+EC+CF=9，EC=3，代入得BE+CF=9-3=6，又因为BE=CF，所以BE=6÷2=3。而平移后对应点A、D的距离等于BE的长度，因此A、D两点之间的距离是3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题属于平移性质的基础应用题，核心是利用平移后对应点连线相等的性质，结合线段和差计算，难度较低，是对平移基本概念的直接考查。
【难度系数】0.6
15.某市为美化环境,计划种植树木1200棵。在种植完400棵后,由于志愿者的加入,实际每天种植的棵数比原计划增加了25%,结果比原计划提前4天完成任务。设原计划每天植树$x$棵,则$x$满足的方程是$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
15.$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
解析
【分析】首先明确题目核心等量关系：原计划完成任务的总时间减去实际完成任务的总时间等于提前的4天。接下来分别计算原计划总时间和实际总时间：原计划总时间为总棵数除以原计划每天植树棵数；实际总时间分为两部分，前400棵按原计划速度的用时，加上剩余棵数按实际速度的用时，实际速度是原计划的(1+25%)倍，再根据等量关系列出方程即可。
【解析】设原计划每天植树$x$棵：
1. 原计划完成1200棵的总时间为：$\frac{1200}{x}$天；
2. 已种植400棵的用时为：$\frac{400}{x}$天；
3. 剩余需种植的棵数为：$1200 - 400 = 800$棵；
4. 实际每天种植的棵数为：$(1 + 25\%)x$棵，因此种植剩余800棵的用时为：$\frac{800}{(1 + 25\%)x}$天；
5. 实际完成任务的总时间为：$\frac{400}{x} + \frac{800}{(1 + 25\%)x}$天；
6. 根据“实际比原计划提前4天完成”，可得：原计划总时间 - 实际总时间 = 4，代入各时间表达式，整理得方程：$\frac{1200}{x} - \frac{400}{x} - \frac{1200 - 400}{(1 + 25\%)x} = 4$。
【答案】$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】分式方程的应用，工程问题
【点评】本题是分式方程应用中的典型工程问题，核心是找准时间差的等量关系，需分阶段计算实际用时，避免混淆总用时的构成，属于基础的列方程题型，考查学生对工程问题中时间、效率、总量关系的理解。
【难度系数】0.5
【解析】设原计划每天植树$x$棵：
1. 原计划完成1200棵的总时间为：$\frac{1200}{x}$天；
2. 已种植400棵的用时为：$\frac{400}{x}$天；
3. 剩余需种植的棵数为：$1200 - 400 = 800$棵；
4. 实际每天种植的棵数为：$(1 + 25\%)x$棵，因此种植剩余800棵的用时为：$\frac{800}{(1 + 25\%)x}$天；
5. 实际完成任务的总时间为：$\frac{400}{x} + \frac{800}{(1 + 25\%)x}$天；
6. 根据“实际比原计划提前4天完成”，可得：原计划总时间 - 实际总时间 = 4，代入各时间表达式，整理得方程：$\frac{1200}{x} - \frac{400}{x} - \frac{1200 - 400}{(1 + 25\%)x} = 4$。
【答案】$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】分式方程的应用，工程问题
【点评】本题是分式方程应用中的典型工程问题，核心是找准时间差的等量关系，需分阶段计算实际用时，避免混淆总用时的构成，属于基础的列方程题型，考查学生对工程问题中时间、效率、总量关系的理解。
【难度系数】0.5
16. 如图,将边长分别为2,3,5的正方形GBIR,AFNE,CJQH放置在长方形ABCD内,阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,若$S_1=S_2$,则长方形ABCD的周长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
16.26 【解析】设$AB=CD=x$,$AD=BC=y$。根据已知可得,$FG=AB-AF-BG=x-3-2=x-5$,$KG=BC-CH=y-5$,$MN=AF-DJ=3-(x-5)=8-x$,$MQ=QJ-DE=5-(y-3)=8-y$。因为$S_1=S_2$,所以$(8-x)(8-y)=(x-5)(y-5)$,化简整理可得$x+y=13$。所以长方形$ABCD$的周长是$2(x+y)=26$。
解析
【分析】
要解决本题，我们先设长方形ABCD的长为$AB=x$，宽为$AD=y$。结合图中三个正方形的边长，分别表示出阴影部分$S_1$和$S_2$的长与宽，利用$S_1=S_2$的条件建立等式，化简后求出$x+y$的值，再根据长方形周长公式计算周长。
【解析】
设长方形$ABCD$的长$AB=x$，宽$AD=y$。
根据正方形边长可知：$AF=3$，$BG=2$，$CJ=5$，$CH=5$。
由此可得各线段长度：
$FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5$；
$KG = BC - CH = y - 5$；
$MN = AF - DJ = 3 - (AB - CJ) = 3 - (x - 5) = 8 - x$；
$MQ = QJ - DE = 5 - (AD - AF) = 5 - (y - 3) = 8 - y$。
因为$S_1=(8 - x)(8 - y)$，$S_2=(x - 5)(y - 5)$，且$S_1=S_2$，所以：
$(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)$
展开等式两边：
左边：$64 - 8x - 8y + xy$，右边：$xy - 5x - 5y + 25$
消去$xy$后整理得：
$64 - 8x - 8y = -5x -5y +25$
移项化简：
$3x + 3y = 39 \implies x + y =13$
长方形$ABCD$的周长为$2(x + y)=2×13=26$。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、正方形性质、整式运算
【点评】
本题是几何与代数结合的题目，核心是通过设变量表示线段长度，利用面积相等建立方程，化简后直接求出周长，关键在于找准各线段的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，我们先设长方形ABCD的长为$AB=x$，宽为$AD=y$。结合图中三个正方形的边长，分别表示出阴影部分$S_1$和$S_2$的长与宽，利用$S_1=S_2$的条件建立等式，化简后求出$x+y$的值，再根据长方形周长公式计算周长。
【解析】
设长方形$ABCD$的长$AB=x$，宽$AD=y$。
根据正方形边长可知：$AF=3$，$BG=2$，$CJ=5$，$CH=5$。
由此可得各线段长度：
$FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5$；
$KG = BC - CH = y - 5$；
$MN = AF - DJ = 3 - (AB - CJ) = 3 - (x - 5) = 8 - x$；
$MQ = QJ - DE = 5 - (AD - AF) = 5 - (y - 3) = 8 - y$。
因为$S_1=(8 - x)(8 - y)$，$S_2=(x - 5)(y - 5)$，且$S_1=S_2$，所以：
$(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)$
展开等式两边：
左边：$64 - 8x - 8y + xy$，右边：$xy - 5x - 5y + 25$
消去$xy$后整理得：
$64 - 8x - 8y = -5x -5y +25$
移项化简：
$3x + 3y = 39 \implies x + y =13$
长方形$ABCD$的周长为$2(x + y)=2×13=26$。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、正方形性质、整式运算
【点评】
本题是几何与代数结合的题目，核心是通过设变量表示线段长度，利用面积相等建立方程，化简后直接求出周长，关键在于找准各线段的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
