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1. 把点$A(m,m-2)$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点$B$，点$B$正好落在$x$轴上，则点$B$的坐标为（
A.$(-4,0)$
B.$(0,0)$
C.$(4,0)$
D.$(0,-4)$
A
）A.$(-4,0)$
B.$(0,0)$
C.$(4,0)$
D.$(0,-4)$
答案
1. A
2. 在平面直角坐标系中,将点$A(m-1,n+2)$先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到点$A'$.若点$A'$位于第四象限,则$m,n$的取值范围分别是（
A.$m＞0,n＜0$
B.$m＞1,n＜2$
C.$m＞1,n＜0$
D.$m＞-2,n＜-4$
D
）A.$m＞0,n＜0$
B.$m＞1,n＜2$
C.$m＞1,n＜0$
D.$m＞-2,n＜-4$
答案
2. D
3. 平面直角坐标系中,将点$A(m^2,1)$沿着$x$轴的正方向向右平移$(m^2+3)$个单位长度后得到$B$点,则下列结论:①$B$点的坐标为$(2m^2+3,1)$;②线段$AB$的长为$3$个单位长度;③线段$AB$所在的直线与$x$轴平行;④点$M(m^2,m^2+3)$可能在线段$AB$上;⑤点$N(m^2+2,1)$一定在线段$AB$上.其中正确的结论有（
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
B
）A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案
3. B
4. A,B,C三点是同一个平面直角坐标系内不同的三点,A点在坐标轴上,点A向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度就到了B点;直线$BC// y$轴,C点的横坐标、纵坐标互为相反数,且点B和点C到x轴的距离相等.则A点的坐标是
(5,0)或(0,-5)
.答案
4. (5,0)或(0,-5)
5. 在平面直角坐标系$xOy$中,对于点$A$,规定点$A$的$α$变换和$β$变换.$α$变换:将点$A$向左平移一个单位长度,再向上平移两个单位长度;$β$变换:将点$A$向右平移三个单位长度,再向下平移一个单位长度.
(1)若对点$B$进行$α$变换,得到点$(1,1)$,则对点$B$进行$β$变换后得到的点的坐标为________.
(2)若对点$C(m,0)$进行$α$变换得到点$P$,对点$C(m,0)$进行$β$变换得到点$Q$,$OP=OQ$,求$m$的值.
(3)点$D$为$y$轴的正半轴上的一个定点,对点$D$进行$α$变换后得到点$E$,点$F$为$x$轴上的一个动点,对点$F$进行$β$变换后得到点$G$,若$DG+EF$的最小值为$\sqrt{40}$,则点$D$的坐标为________.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P118 专题6
(1)若对点$B$进行$α$变换,得到点$(1,1)$,则对点$B$进行$β$变换后得到的点的坐标为________.
(2)若对点$C(m,0)$进行$α$变换得到点$P$,对点$C(m,0)$进行$β$变换得到点$Q$,$OP=OQ$,求$m$的值.
(3)点$D$为$y$轴的正半轴上的一个定点,对点$D$进行$α$变换后得到点$E$,点$F$为$x$轴上的一个动点,对点$F$进行$β$变换后得到点$G$,若$DG+EF$的最小值为$\sqrt{40}$,则点$D$的坐标为________.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P118 专题6
答案
5. (1)(5,-2) 解析:由题意知,点(1,1)向右平移一个单位长度,再向下平移两个单位长度即可得到B,
∴点B的坐标为(2,-1),
∴点B进行β变换后得到的点的坐标为(5,-2).故答案为(5,-2).
(2)由题意知,对点C(m,0)进行α变换得到点P的坐标为(m-1,2),对点C(m,0)进行β变换得到点Q的坐标为(m+3,-1).
∵OP=OQ,
∴OP²=OQ²,即$(m-1)^2+2^2=(m+3)^2+(-1)^2$,
∴$m=-\dfrac{5}{8}$.
(3)$(0,\dfrac{3}{2})$ 解析:由题意,设D(0,y),F(x,0),则E(-1,y+2),G(x+3,-1),
∴$DG=\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}$,$EF=\sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2}$,
∴$DG + EF = \sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2} = \sqrt{[x-(-3)]^2+[0-(y+1)]^2}+\sqrt{[x-(-1)]^2+[0-(y+2)]^2}$.
令$P_1(-3,y+1)$,$P_2(-1,y+2)$,则$P_1F=\sqrt{[x-(-3)]^2+[0-(y+1)]^2}$,$P_2F=\sqrt{[x-(-1)]^2+[0-(y+2)]^2}$.
∴DG+EF=P₁F+P₂F,
∴DG+EF的最小值就是x轴上点F(x,0)到P₁,P₂的距离之和的最小值,如果P₁,P₂在x轴的两侧,那么点F就是P₁P₂与x轴的交点,P₁F+P₂F的最小值就是P₁P₂的长,此时$P_1P_2=\sqrt{(-3+1)^2+(y+1-y-2)^2}=\sqrt{5}≠\sqrt{40}$,故此种情况不符合题意,舍去,如果P₁,P₂在x轴的同侧,作P₁关于x轴的对称点P₃(-3,-y-1),连接P₃P₂交x轴于点K,此时,P₁K+P₂K的值最小,
∴$\sqrt{(-3+1)^2+(y+2+y+1)^2}=\sqrt{40}$,
∴$y=\dfrac{3}{2}$或$-\dfrac{9}{2}$.又点D(0,y)在y轴的正半轴上,则y＞0,
∴$y=\dfrac{3}{2}$,
∴点D的坐标为$(0,\dfrac{3}{2})$.故答案为$(0,\dfrac{3}{2})$.
∴点B的坐标为(2,-1),
∴点B进行β变换后得到的点的坐标为(5,-2).故答案为(5,-2).
(2)由题意知,对点C(m,0)进行α变换得到点P的坐标为(m-1,2),对点C(m,0)进行β变换得到点Q的坐标为(m+3,-1).
∵OP=OQ,
∴OP²=OQ²,即$(m-1)^2+2^2=(m+3)^2+(-1)^2$,
∴$m=-\dfrac{5}{8}$.
(3)$(0,\dfrac{3}{2})$ 解析:由题意,设D(0,y),F(x,0),则E(-1,y+2),G(x+3,-1),
∴$DG=\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}$,$EF=\sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2}$,
∴$DG + EF = \sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2} = \sqrt{[x-(-3)]^2+[0-(y+1)]^2}+\sqrt{[x-(-1)]^2+[0-(y+2)]^2}$.
令$P_1(-3,y+1)$,$P_2(-1,y+2)$,则$P_1F=\sqrt{[x-(-3)]^2+[0-(y+1)]^2}$,$P_2F=\sqrt{[x-(-1)]^2+[0-(y+2)]^2}$.
∴DG+EF=P₁F+P₂F,
∴DG+EF的最小值就是x轴上点F(x,0)到P₁,P₂的距离之和的最小值,如果P₁,P₂在x轴的两侧,那么点F就是P₁P₂与x轴的交点,P₁F+P₂F的最小值就是P₁P₂的长,此时$P_1P_2=\sqrt{(-3+1)^2+(y+1-y-2)^2}=\sqrt{5}≠\sqrt{40}$,故此种情况不符合题意,舍去,如果P₁,P₂在x轴的同侧,作P₁关于x轴的对称点P₃(-3,-y-1),连接P₃P₂交x轴于点K,此时,P₁K+P₂K的值最小,
∴$\sqrt{(-3+1)^2+(y+2+y+1)^2}=\sqrt{40}$,
∴$y=\dfrac{3}{2}$或$-\dfrac{9}{2}$.又点D(0,y)在y轴的正半轴上,则y＞0,
∴$y=\dfrac{3}{2}$,
∴点D的坐标为$(0,\dfrac{3}{2})$.故答案为$(0,\dfrac{3}{2})$.
