一、填空题
1. 如图,$AB=10,CB=7$,D 是 AC 的中点,DB 的长是.

1. 8.5

【分析】
首先梳理各点的位置关系，根据常规题图可知点C在线段AB上，第一步先利用已知的AB、CB的长度，通过线段的差求出AC的总长度；第二步根据D是AC中点的条件，结合线段中点的定义，得到DC的长度；最后再通过线段的和关系，把DC和CB相加就能得到DB的长度，顺着线段的和差性质逐步推导即可完成求解。
【解析】
解：
1. 计算线段AC的长度：
由点C在线段AB上，可得 $AC = AB - CB$，代入已知$AB=10$，$CB=7$，得 $AC=10-7=3$。
2. 利用中点性质求DC的长度：
因为D是AC的中点，根据线段中点定义，$DC=\frac{1}{2}AC$，代入AC=3，得 $DC=\frac{1}{2}×3=1.5$。
3. 计算DB的长度：
由点D在线段AC上，可得 $DB = DC + CB$，代入DC=1.5，CB=7，得 $DB=1.5+7=8.5$。
【答案】
8.5
【知识点】
线段和差计算；线段中点定义
【点评】
本题属于线段长度计算的基础题型，考点单一，只需要理清线段上各点的位置关系，熟练运用线段和差运算以及中点的性质即可快速得出结果，适合刚接触线段计算的学生巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9

2. 如图,C是线段AB上一点,$AC＞CB$,M,N分别是线段AB,CB的中点.已知$AC=10$,$NB=4$,则线段MN的长是.

2. 5

【分析】
我们可以从已知条件逐步推导各线段长度：首先题目给出N是线段CB的中点，且NB=4，根据中点定义可以直接求出CB的总长度；接着结合已知的AC=10，就能算出整条线段AB的长度；再利用M是AB中点的条件，求出MB的长度；最后观察线段位置关系，MN的长度等于MB减去NB，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
1. 因为N是线段CB的中点，且NB=4，根据线段中点定义，可得：
$CB = 2× NB = 2×4 = 8$
2. 已知AC=10，因此线段AB的总长度为：
$AB = AC + CB = 10 + 8 = 18$
3. 又因为M是线段AB的中点，因此MB的长度为：
$MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×18 = 9$
4. 结合线段的差的关系，可得MN的长度：
$MN = MB - NB = 9 - 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质，将待求线段转化为已知线段的差，理清线段上各点的位置关联即可快速求解，是巩固线段相关概念的典型习题。
【难度系数】
0.8

3. 易错题 小丽和小红相约爬山(如图,山脚处的点 A,B 在同一水平线上).她们从南坡山脚 A 处出发上行,在南坡的 E 处休息片刻后,继续登山到达坡顶 C 处观光游玩,之后沿北坡下山,至北坡山脚 B 处.已知南北两坡长度不相等,可以分别看作线段 AC,BC,E 为 AC 的中点,且 EC =100 m,点 D 平分南北两坡总长,且 $CD=20\ \mathrm{m}$,则北坡 BC 的长度是.

3. 160 m 或 240 m
易忽略点D位置的不确定性导致漏解.

【分析】
解题思路如下：1. 首先根据E是AC中点、EC=100m，直接求出南坡AC的总长度；2. 明确点D的定义：D是路径A→C→B的总长度的中点，即从A出发沿山路走到D的路程等于AC与BC长度之和的一半；3. 由于南北坡长度不等，总路程的中点D存在两种位置可能：既可能落在南坡AC线段上，也可能落在北坡BC线段上，需要分两类结合CD=20m的条件列方程计算，避免漏解。
【解析】
解：① 已知E为AC的中点，EC=100m，根据线段中点定义可得：
AC = 2EC = 2×100 = 200 m
设北坡BC的长度为x m，则南北两坡总长度为AC+BC=(200+x) m。
因为点D平分南北两坡总长，所以从A沿路径A→C→B到D的路程为$\frac{200+x}{2}$ m。
② 分两种情况讨论：
情况1：点D落在线段AC上
此时A到D的路程AD = $\frac{200+x}{2}$，由线段和差关系得CD = AC - AD，代入CD=20m：
$200 - \frac{200+x}{2} = 20$
两边同乘2得：400 - 200 - x = 40
解得x=160 m，验证总路程为200+160=360m，总路程一半为180m＜200m，符合D在AC上的前提。
情况2：点D落在线段BC上
此时A到D的路程为AC + CD = 200 + 20 = 220 m，该路程等于总路程的一半：
$\frac{200+x}{2} = 220$
两边同乘2得：200 + x = 440
解得x=240 m，验证总路程为200+240=440m，总路程一半为220m＞200m，符合D在BC上的前提。
综上，BC的长度为160m或240m。
【答案】
160 m 或 240 m
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，核心陷阱是容易默认点D的位置固定，忽略作为路径总长中点的D既可能在南坡也可能在北坡，导致漏解。解题时要先明确D是山路总长的中点而非水平线段AB的中点，通过分类讨论覆盖所有位置情况，结合线段和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.4

二、解答题
4. 如图,$C$为线段$AD$上任意一点,$B$为$CD$的中点,$AD=15\ \mathrm{cm}$,$AC=9\ \mathrm{cm}$. 若点$E$在直线$BC$上,且$DE=1\ \mathrm{cm}$,求$BE$的长.
解: 因为$AD=15\ \mathrm{cm}$,$AC=9\ \mathrm{cm}$,
所以$CD=AD-AC=6\ \mathrm{cm}$.
因为$B$为$CD$的中点,

所以$BD=\underline{\qquad\qquad}=\dfrac{1}{2}× 6=3(\ \mathrm{cm})$.
当点$E$在点$D\underline{\qquad\qquad}$时,$BE=\underline{\qquad\qquad}=3-1=2(\ \mathrm{cm})$;
当点$E$在点$D\underline{\qquad\qquad}$时,$BE=\underline{\qquad\qquad}=3+1=4(\ \mathrm{cm})$.
综上所述,$BE$的长为$2\ \mathrm{cm}$或$4\ \mathrm{cm}$.

4. $\dfrac{1}{2}CD$ 左侧 $BD-DE$ 右侧 $BD+DE$

【分析】
我们先从已知条件入手，首先用总线段AD的长度减去AC的长度，先求出CD的长度。接着利用线段中点的性质，中点将线段分为长度相等的两部分，因此BD等于CD的二分之一。题目说明点E在直线BC上，直线是可以向两端无限延伸的，因此E的位置存在两种可能：第一种是E落在D点的左侧，也就是B、D两点之间，此时BE的长度可以用BD减去DE得到；第二种是E落在D点的右侧，此时BE的长度可以用BD加上DE得到，分两类计算就能得到所有符合条件的BE长度。
【解析】
1. 已知$AD=15\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，因此$CD=AD-AC=15-9=6\ \mathrm{cm}$；
2. 因为B是CD的中点，根据中点定义，可得$BD=\dfrac{1}{2}CD$，代入$CD=6\ \mathrm{cm}$，计算得$BD=3\ \mathrm{cm}$；
3. 分类讨论E的位置：
① 当点E在点D左侧时，E在线段BD上，此时$BE=BD-DE$，代入$BD=3\ \mathrm{cm}$，$DE=1\ \mathrm{cm}$，得$BE=3-1=2\ \mathrm{cm}$；
② 当点E在点D右侧时，E在D的外侧，此时$BE=BD+DE$，代入$BD=3\ \mathrm{cm}$，$DE=1\ \mathrm{cm}$，得$BE=3+1=4\ \mathrm{cm}$；
4. 综上可得BE的长为$2\ \mathrm{cm}$或$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}CD$ 左侧 $BD-DE$ 右侧 $BD+DE$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，易错点是忽略题干中“点E在直线BC上”的条件，漏考虑E点在D点右侧的情况，解题时要注意区分直线、线段的延伸性，养成多位置分类讨论的习惯，熟练掌握线段和差的运算规则。
【难度系数】
0.7

5. 如图,$C$为线段$AB$延长线上一点,$D$为线段$BC$上一点,$DC=4BD$.
(1) 若$AB=12,BC=15$,求$AD$的长;
(2) 若$AB=2BD,AB+DC=36$,$E$是$AC$的中点,求$BE$的长.

5. (1) 因为 $DC = 4BD$, 所以 $BC = 5BD$. 因为$BC=15$, 所以 $BD = 3$. 因为 $AB = 12$, 所以 $AD = AB+BD = 15$
(2) 因为 $AB = 2BD,DC = 4BD$, 所以 $DC = 2AB$. 因为 $AB+DC = 36$, 所以 $AB = 12$,$DC=24$. 所以 $BD = 6$. 所以 $AC = AB+BD+DC = 42$. 因为 $E$ 是 $AC$ 的中点, 所以 $AE = \dfrac{1}{2}AC = 21$.所以 $BE = AE-AB = 9$

【分析】
这是一道线段长度计算的常规题型，解题思路如下：
(1) 首先根据已知条件DC=4BD，把线段BC拆分为BD+DC，就能推导出BC和BD的数量关系，代入已知的BC长度求出BD的长度，再观察图形可知AD由AB和BD两段拼接组成，相加即可算出AD的长。
(2) 选择BD作为统一的中间代换量，把AB、DC都用BD表示，结合AB+DC=36的条件先求出BD的长度，进而得到AB、DC的长度，再计算出整条线段AC的总长度，利用线段中点的性质得到AE的长度，最后通过线段的差AE-AB即可求出BE的长度。
【解析】
(1) 因为 $DC = 4BD$，所以 $BC = BD + DC = BD + 4BD = 5BD$。
将$BC=15$代入，得$5BD=15$，解得$BD=3$。
由线段和的定义可知$AD = AB+BD$，代入$AB=12$、$BD=3$，得$AD=12+3=15$。
(2) 因为 $AB = 2BD$，$DC = 4BD$，所以 $DC = 2AB$。
将其代入$AB+DC=36$，得$AB+2AB=36$，即$3AB=36$，解得$AB=12$，因此$DC=24$。
由$AB=2BD$，可得$BD=\frac{1}{2}AB=6$。
整条线段$AC = AB+BD+DC = 12+6+24=42$。
因为$E$是$AC$的中点，根据线段中点定义得$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×42=21$。
因此$BE = AE - AB = 21-12=9$。
【答案】
(1) $AD=15$；(2) $BE=9$
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，核心是引导学生通过公共中间线段BD，将分散的线段建立数量关联，无需复杂设元就能简化计算，帮助学生养成数形结合分析线段关系的习惯，为后续线段动点类难题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7