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【例1】 下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答后面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC的∠A等于30°，请你求出其余两角.”
同学们经片刻的思考与交流后，小明同学举手说：“其余两角是30°和120°.”王华同学说：“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，试写出你的看法；
（2）如果∠A等于$n°$，请你用$n$的代数式表示其余两角的度数，并请说明理由.
【分析】 在等腰三角形中，已知一个角的度数，但并没有说明这个角是顶角还是底角，要根据具体的度数来判别这个角是顶角还是底角.
【解】（1）因为$∠ A = 30°$，但这里的$∠ A$没有说明是顶角还是底角，所以应分为两种情况：
若$∠ A$为顶角时，则另外两个角为$75°$和$75°$；
若$∠ A$为底角时，则另外两个角为$30°$和$120°$；
（2）这里的$∠ A = n°$时，也有两种情况：
Ⅰ：当$0° ＜ n° ＜ 90°$时，
若$∠ A$为顶角时，则另外两个角为$(\dfrac{180 - n}{2})°$和$(\dfrac{180 - n}{2})°$；
若$∠ A$为底角时，则另外两个角为$n°$和$(180 - 2n)°$.
Ⅱ：当$90° ≤ n° ＜ 180°$时，由三角形内角和可知：
此时$∠ A$只能为顶角，另两个角都为$(\dfrac{180 - n}{2})°$.
【评注】（1）等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角只能是锐角；
（2）对于等腰三角形，若已知它的一个内角是钝角、直角或$60°$时，另两个内角的度数只有一种可能，但若已知一个等腰三角形的一个内角是不等于$60°$的锐角时，另两个内角的度数有两种可能.
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC的∠A等于30°，请你求出其余两角.”
同学们经片刻的思考与交流后，小明同学举手说：“其余两角是30°和120°.”王华同学说：“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂中，试写出你的看法；
（2）如果∠A等于$n°$，请你用$n$的代数式表示其余两角的度数，并请说明理由.
【分析】 在等腰三角形中，已知一个角的度数，但并没有说明这个角是顶角还是底角，要根据具体的度数来判别这个角是顶角还是底角.
【解】（1）因为$∠ A = 30°$，但这里的$∠ A$没有说明是顶角还是底角，所以应分为两种情况：
若$∠ A$为顶角时，则另外两个角为$75°$和$75°$；
若$∠ A$为底角时，则另外两个角为$30°$和$120°$；
（2）这里的$∠ A = n°$时，也有两种情况：
Ⅰ：当$0° ＜ n° ＜ 90°$时，
若$∠ A$为顶角时，则另外两个角为$(\dfrac{180 - n}{2})°$和$(\dfrac{180 - n}{2})°$；
若$∠ A$为底角时，则另外两个角为$n°$和$(180 - 2n)°$.
Ⅱ：当$90° ≤ n° ＜ 180°$时，由三角形内角和可知：
此时$∠ A$只能为顶角，另两个角都为$(\dfrac{180 - n}{2})°$.
【评注】（1）等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角只能是锐角；
（2）对于等腰三角形，若已知它的一个内角是钝角、直角或$60°$时，另两个内角的度数只有一种可能，但若已知一个等腰三角形的一个内角是不等于$60°$的锐角时，另两个内角的度数有两种可能.
答案
解：
(1) 已知∠A=30°，未明确该角是等腰三角形的顶角还是底角，因此分两种情况讨论：
① 若∠A为等腰△ABC的顶角，根据三角形内角和为180°，两底角相等，可得其余两角均为$\frac{180°-30°}{2}=75°$，即其余两角为$75°$和$75°$；
② 若∠A为等腰△ABC的底角，则另一个底角也为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，即其余两角为$30°$和$120°$。
综上，其余两角为$75°,75°$或$30°,120°$。
(2) 分两类情况讨论：
① 当$0° ＜ n° ＜ 90°$时：
若∠A为顶角，由等腰三角形两底角相等，可得其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$；
若∠A为底角，则另一个底角也为$n°$，顶角为$(180-2n)°$，即其余两角为$n°$和$(180-2n)°$。
② 当$90° \le n° ＜ 180°$时：
等腰三角形的底角只能是锐角，因此∠A不可能作为底角，只能是顶角，此时其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$。
(1) 已知∠A=30°，未明确该角是等腰三角形的顶角还是底角，因此分两种情况讨论：
① 若∠A为等腰△ABC的顶角，根据三角形内角和为180°，两底角相等，可得其余两角均为$\frac{180°-30°}{2}=75°$，即其余两角为$75°$和$75°$；
② 若∠A为等腰△ABC的底角，则另一个底角也为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，即其余两角为$30°$和$120°$。
综上，其余两角为$75°,75°$或$30°,120°$。
(2) 分两类情况讨论：
① 当$0° ＜ n° ＜ 90°$时：
若∠A为顶角，由等腰三角形两底角相等，可得其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$；
若∠A为底角，则另一个底角也为$n°$，顶角为$(180-2n)°$，即其余两角为$n°$和$(180-2n)°$。
② 当$90° \le n° ＜ 180°$时：
等腰三角形的底角只能是锐角，因此∠A不可能作为底角，只能是顶角，此时其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目未说明已知的∠A是顶角还是底角，所以需要分类讨论：首先注意等腰三角形的底角只能是锐角，因此当已知角的度数≥90°时，它只能是顶角，仅有一种情况；当已知角是小于90°的锐角时，它既可能是顶角也可能是底角，需要分两种情况计算其余角的度数。
【解析】
(1) 已知∠A=30°，未明确该角是等腰三角形的顶角还是底角，因此分两种情况讨论：
① 若∠A为等腰△ABC的顶角，根据三角形内角和为180°，两底角相等，可得其余两角均为$\frac{180°-30°}{2}=75°$，即其余两角为$75°$和$75°$；
② 若∠A为等腰△ABC的底角，则另一个底角也为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，即其余两角为$30°$和$120°$。
综上，其余两角为$75°,75°$或$30°,120°$。
(2) 分两类情况讨论：
① 当$0° ＜ n° ＜ 90°$时：
若∠A为顶角，由等腰三角形两底角相等，可得其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$；
若∠A为底角，则另一个底角也为$n°$，顶角为$(180-2n)°$，即其余两角为$n°$和$(180-2n)°$。
② 当$90° \le n° ＜ 180°$时：
等腰三角形的底角只能是锐角，因此∠A不可能作为底角，只能是顶角，此时其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$。
【答案】
(1) 其余两角为75°和75°或30°和120°；
(2) 当$0°＜n＜90°$时，其余两角为$(\frac{180-n}{2})°$和$(\frac{180-n}{2})°$，或$n°$和$(180-2n)°$；当$90°\le n＜180°$时，其余两角为$(\frac{180-n}{2})°$和$(\frac{180-n}{2})°$。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心易错点有两个：一是忽略已知角未明确是顶角还是底角，漏分类讨论；二是忽略等腰三角形底角只能为锐角，当已知角≥90°时无需再讨论其为底角的情况。解题时要养成全面考虑问题的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目未说明已知的∠A是顶角还是底角，所以需要分类讨论：首先注意等腰三角形的底角只能是锐角，因此当已知角的度数≥90°时，它只能是顶角，仅有一种情况；当已知角是小于90°的锐角时，它既可能是顶角也可能是底角，需要分两种情况计算其余角的度数。
【解析】
(1) 已知∠A=30°，未明确该角是等腰三角形的顶角还是底角，因此分两种情况讨论：
① 若∠A为等腰△ABC的顶角，根据三角形内角和为180°，两底角相等，可得其余两角均为$\frac{180°-30°}{2}=75°$，即其余两角为$75°$和$75°$；
② 若∠A为等腰△ABC的底角，则另一个底角也为$30°$，顶角为$180°-2×30°=120°$，即其余两角为$30°$和$120°$。
综上，其余两角为$75°,75°$或$30°,120°$。
(2) 分两类情况讨论：
① 当$0° ＜ n° ＜ 90°$时：
若∠A为顶角，由等腰三角形两底角相等，可得其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$；
若∠A为底角，则另一个底角也为$n°$，顶角为$(180-2n)°$，即其余两角为$n°$和$(180-2n)°$。
② 当$90° \le n° ＜ 180°$时：
等腰三角形的底角只能是锐角，因此∠A不可能作为底角，只能是顶角，此时其余两个角都为$(\frac{180-n}{2})°$。
【答案】
(1) 其余两角为75°和75°或30°和120°；
(2) 当$0°＜n＜90°$时，其余两角为$(\frac{180-n}{2})°$和$(\frac{180-n}{2})°$，或$n°$和$(180-2n)°$；当$90°\le n＜180°$时，其余两角为$(\frac{180-n}{2})°$和$(\frac{180-n}{2})°$。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心易错点有两个：一是忽略已知角未明确是顶角还是底角，漏分类讨论；二是忽略等腰三角形底角只能为锐角，当已知角≥90°时无需再讨论其为底角的情况。解题时要养成全面考虑问题的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
【例2】过等腰三角形ABC某一顶点处作一条直线，将原三角形分为两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数.
【分析】题中既未指明三角形的形状是直角三角形，还是锐角三角形或钝角三角形，又未指出是从顶角顶点还是从底角顶点作直线，因此需分类讨论.
【解】(1)如图①，为直角三角形，易解各内角度数为$45°,45°,90°$；
(2)如图②，为钝角三角形时，易解得各内角度数为$36°,36°,108°$；
(3)如图③④，为锐角三角形时，③中各内角度数为$36°,72°,72°$. ④中各内角度数为$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$. 共四种情形.
【分析】题中既未指明三角形的形状是直角三角形，还是锐角三角形或钝角三角形，又未指出是从顶角顶点还是从底角顶点作直线，因此需分类讨论.
【解】(1)如图①，为直角三角形，易解各内角度数为$45°,45°,90°$；
(2)如图②，为钝角三角形时，易解得各内角度数为$36°,36°,108°$；
(3)如图③④，为锐角三角形时，③中各内角度数为$36°,72°,72°$. ④中各内角度数为$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$. 共四种情形.
答案
解：
分四种情况逐一推导：
(1) 如图①，等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过顶点A作底边BC的垂线，将△ABC分为两个等腰直角三角形。
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
此时△ABC三个内角为$45°,45°,90°$。
(2) 如图②，等腰△ABC中AB=AC，过顶角顶点A作直线AD交BC于点D，使AD=BD，AC=CD。
设∠B=∠C=x，
∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=x，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=2x，
∵ AC=CD，∴ ∠CAD=∠ADC=2x，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=3x，
由三角形内角和定理得：$x + x + 3x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ ∠B=∠C=36°，∠BAC=108°，
此时△ABC三个内角为$36°,36°,108°$。
(3) 如图③，等腰△ABC中AB=AC，过底角顶点B作直线BD交AC于点D，使AD=BD，BD=BC。
设∠A=x，
∵ AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=x，
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∵ BD=BC，∴ ∠C=∠BDC=2x，
∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C=2x，
由三角形内角和定理得：$x + 2x + 2x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，
此时△ABC三个内角为$36°,72°,72°$。
(4) 如图④，等腰△ABC中AB=AC，过底角顶点B作直线BD交AC于点D，使AD=BD，BC=CD。
设∠A=x，
∵ AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=x，
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∵ BC=CD，∴ ∠DBC=∠BDC=2x，
∴ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=3x，
∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C=3x，
由三角形内角和定理得：$x + 3x + 3x = 180°$，
解得$x=\frac{180°}{7}$，
∴ ∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$，
此时△ABC三个内角为$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$。
综上，满足条件的△ABC的各内角度数共有四种可能，分别为$45°,45°,90°$；$36°,36°,108°$；$36°,72°,72°$；$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$。
分四种情况逐一推导：
(1) 如图①，等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过顶点A作底边BC的垂线，将△ABC分为两个等腰直角三角形。
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
此时△ABC三个内角为$45°,45°,90°$。
(2) 如图②，等腰△ABC中AB=AC，过顶角顶点A作直线AD交BC于点D，使AD=BD，AC=CD。
设∠B=∠C=x，
∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=x，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=2x，
∵ AC=CD，∴ ∠CAD=∠ADC=2x，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=3x，
由三角形内角和定理得：$x + x + 3x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ ∠B=∠C=36°，∠BAC=108°，
此时△ABC三个内角为$36°,36°,108°$。
(3) 如图③，等腰△ABC中AB=AC，过底角顶点B作直线BD交AC于点D，使AD=BD，BD=BC。
设∠A=x，
∵ AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=x，
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∵ BD=BC，∴ ∠C=∠BDC=2x，
∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C=2x，
由三角形内角和定理得：$x + 2x + 2x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，
此时△ABC三个内角为$36°,72°,72°$。
(4) 如图④，等腰△ABC中AB=AC，过底角顶点B作直线BD交AC于点D，使AD=BD，BC=CD。
设∠A=x，
∵ AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=x，
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∵ BC=CD，∴ ∠DBC=∠BDC=2x，
∴ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=3x，
∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C=3x，
由三角形内角和定理得：$x + 3x + 3x = 180°$，
解得$x=\frac{180°}{7}$，
∴ ∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$，
此时△ABC三个内角为$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$。
综上，满足条件的△ABC的各内角度数共有四种可能，分别为$45°,45°,90°$；$36°,36°,108°$；$36°,72°,72°$；$\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}$。
解析
【分析】
题目未明确等腰三角形的类型（直角、钝角、锐角），也未说明所作直线是过顶角顶点还是底角顶点，因此需要分类讨论。解题时对每一种情况，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，用未知数表示各个内角，再结合三角形内角和为180°列方程求解即可，需保证分割后的两个三角形均为等腰三角形，避免漏解或错解。
【解析】
分四种情况推导：
(1) 如图①，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，过顶点$A$作底边$BC$的垂线，将$△ ABC$分为两个等腰直角三角形。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
(2) 如图②，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过顶角顶点$A$作直线$AD$交$BC$于点$D$，使$AD=BD$，$AC=CD$。
设$∠ B=∠ C=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ BAD=∠ B=x$，
由三角形外角性质得$∠ ADC=∠ BAD+∠ B=2x$，
$\because AC=CD$，$\therefore ∠ CAD=∠ ADC=2x$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=3x$，
由三角形内角和定理得：$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=36°$，$∠ BAC=108°$。
(3) 如图③，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过底角顶点$B$作直线$BD$交$AC$于点$D$，使$AD=BD$，$BD=BC$。
设$∠ A=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$，
由三角形外角性质得$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，
$\because BD=BC$，$\therefore ∠ C=∠ BDC=2x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=2x$，
由三角形内角和定理得：$x+2x+2x=180°$，解得$x=36°$，
$\therefore ∠ A=36°$，$∠ ABC=∠ C=72°$。
(4) 如图④，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过底角顶点$B$作直线$BD$交$AC$于点$D$，使$AD=BD$，$BC=CD$。
设$∠ A=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$，
由三角形外角性质得$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，
$\because BC=CD$，$\therefore ∠ DBC=∠ BDC=2x$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=3x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$，
由三角形内角和定理得：$x+3x+3x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，
$\therefore ∠ A=\frac{180°}{7}$，$∠ ABC=∠ C=\frac{540°}{7}$。
【答案】
$△ ABC$各内角度数共有四种可能：$\boxed{45°,45°,90°}$；$\boxed{36°,36°,108°}$；$\boxed{36°,72°,72°}$；$\boxed{\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题核心是根据“分割出两个等腰三角形”的要求，对直线经过的顶点类型、三角形形状进行全面分类，结合等腰三角形性质和内角和定理列方程求解，需注意覆盖所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.3
题目未明确等腰三角形的类型（直角、钝角、锐角），也未说明所作直线是过顶角顶点还是底角顶点，因此需要分类讨论。解题时对每一种情况，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，用未知数表示各个内角，再结合三角形内角和为180°列方程求解即可，需保证分割后的两个三角形均为等腰三角形，避免漏解或错解。
【解析】
分四种情况推导：
(1) 如图①，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，过顶点$A$作底边$BC$的垂线，将$△ ABC$分为两个等腰直角三角形。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
(2) 如图②，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过顶角顶点$A$作直线$AD$交$BC$于点$D$，使$AD=BD$，$AC=CD$。
设$∠ B=∠ C=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ BAD=∠ B=x$，
由三角形外角性质得$∠ ADC=∠ BAD+∠ B=2x$，
$\because AC=CD$，$\therefore ∠ CAD=∠ ADC=2x$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=3x$，
由三角形内角和定理得：$x+x+3x=180°$，解得$x=36°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=36°$，$∠ BAC=108°$。
(3) 如图③，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过底角顶点$B$作直线$BD$交$AC$于点$D$，使$AD=BD$，$BD=BC$。
设$∠ A=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$，
由三角形外角性质得$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，
$\because BD=BC$，$\therefore ∠ C=∠ BDC=2x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=2x$，
由三角形内角和定理得：$x+2x+2x=180°$，解得$x=36°$，
$\therefore ∠ A=36°$，$∠ ABC=∠ C=72°$。
(4) 如图④，等腰$△ ABC$中$AB=AC$，过底角顶点$B$作直线$BD$交$AC$于点$D$，使$AD=BD$，$BC=CD$。
设$∠ A=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ ABD=∠ A=x$，
由三角形外角性质得$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，
$\because BC=CD$，$\therefore ∠ DBC=∠ BDC=2x$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=3x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$，
由三角形内角和定理得：$x+3x+3x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，
$\therefore ∠ A=\frac{180°}{7}$，$∠ ABC=∠ C=\frac{540°}{7}$。
【答案】
$△ ABC$各内角度数共有四种可能：$\boxed{45°,45°,90°}$；$\boxed{36°,36°,108°}$；$\boxed{36°,72°,72°}$；$\boxed{\frac{180°}{7},\frac{540°}{7},\frac{540°}{7}}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题核心是根据“分割出两个等腰三角形”的要求，对直线经过的顶点类型、三角形形状进行全面分类，结合等腰三角形性质和内角和定理列方程求解，需注意覆盖所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.3
【例3】一次函数$y=kx+b$的自变量$x$的取值范围是$-3≤ x≤6$，相对的函数值的取值范围是$-7≤ y≤2$，求这个函数的解析式.
【分析】此题要考虑函数$y$随着$x$的增大而增大和增大而减小，故应分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论.
【解】当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，则当$x=-3$时，$y=-7$；当$x=6$时，$y=2$，
$\therefore \begin{cases} -7=-3k+b, \\ 2=6k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1, \\ b=-4. \end{cases}$
当$k＜0$时，则当$x=-3$时，$y=2$；当$x=6$时，$y=-7$.
$\therefore \begin{cases} 2=-3k+b, \\ -7=6k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1, \\ b=-1. \end{cases}$
$\therefore$这个函数的解析式为$y=x-4$或$y=-x-1$.
【分析】此题要考虑函数$y$随着$x$的增大而增大和增大而减小，故应分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论.
【解】当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，则当$x=-3$时，$y=-7$；当$x=6$时，$y=2$，
$\therefore \begin{cases} -7=-3k+b, \\ 2=6k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1, \\ b=-4. \end{cases}$
当$k＜0$时，则当$x=-3$时，$y=2$；当$x=6$时，$y=-7$.
$\therefore \begin{cases} 2=-3k+b, \\ -7=6k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1, \\ b=-1. \end{cases}$
$\therefore$这个函数的解析式为$y=x-4$或$y=-x-1$.
答案
解：分两种情况讨论：
当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，
则当$x=-3$时，$y=-7$；当$x=6$时，$y=2$，
代入解析式得：
$\begin{cases} -7=-3k+b \\ 2=6k+b \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=1 \\ b=-4 \end{cases}$，
此时函数解析式为$y=x-4$。
当$k＜0$时，函数值$y$随着$x$的增大而减小，
则当$x=-3$时，$y=2$；当$x=6$时，$y=-7$，
代入解析式得：
$\begin{cases} 2=-3k+b \\ -7=6k+b \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，
此时函数解析式为$y=-x-1$。
综上，这个函数的解析式为$y=x-4$或$y=-x-1$。
当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，
则当$x=-3$时，$y=-7$；当$x=6$时，$y=2$，
代入解析式得：
$\begin{cases} -7=-3k+b \\ 2=6k+b \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=1 \\ b=-4 \end{cases}$，
此时函数解析式为$y=x-4$。
当$k＜0$时，函数值$y$随着$x$的增大而减小，
则当$x=-3$时，$y=2$；当$x=6$时，$y=-7$，
代入解析式得：
$\begin{cases} 2=-3k+b \\ -7=6k+b \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ b=-1 \end{cases}$，
此时函数解析式为$y=-x-1$。
综上，这个函数的解析式为$y=x-4$或$y=-x-1$。
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小。本题未给出k的正负，因此需分两种情况讨论，分别确定两种情况下x的端点值对应的y的端点值，再将两组对应值代入一次函数解析式，通过解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，
则$x=-3$时$y=-7$，$x=6$时$y=2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -7=-3k+b \\ 2=6k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$9=9k$，解得$k=1$，将$k=1$代入$2=6k+b$，解得$b=-4$，此时函数解析式为$y=x-4$。
②当$k＜0$时，函数值$y$随着$x$的增大而减小，
则$x=-3$时$y=2$，$x=6$时$y=-7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 2=-3k+b \\ -7=6k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$-9=9k$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$2=-3k+b$，解得$b=-1$，此时函数解析式为$y=-x-1$。
综上可得函数解析式。
【答案】
$y=x-4$或$y=-x-1$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数的典型易错题，易错点为忽略k的正负性，遗漏k＜0的情况。解题时需结合一次函数增减性判断自变量和函数值的端点对应关系，熟练运用待定系数法求解，同时要树立分类讨论的思维，避免漏解。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小。本题未给出k的正负，因此需分两种情况讨论，分别确定两种情况下x的端点值对应的y的端点值，再将两组对应值代入一次函数解析式，通过解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$k＞0$时，函数值$y$随着$x$的增大而增大，
则$x=-3$时$y=-7$，$x=6$时$y=2$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -7=-3k+b \\ 2=6k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$9=9k$，解得$k=1$，将$k=1$代入$2=6k+b$，解得$b=-4$，此时函数解析式为$y=x-4$。
②当$k＜0$时，函数值$y$随着$x$的增大而减小，
则$x=-3$时$y=2$，$x=6$时$y=-7$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} 2=-3k+b \\ -7=6k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$-9=9k$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$2=-3k+b$，解得$b=-1$，此时函数解析式为$y=-x-1$。
综上可得函数解析式。
【答案】
$y=x-4$或$y=-x-1$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数的典型易错题，易错点为忽略k的正负性，遗漏k＜0的情况。解题时需结合一次函数增减性判断自变量和函数值的端点对应关系，熟练运用待定系数法求解，同时要树立分类讨论的思维，避免漏解。
【难度系数】
0.6
