例题 (真题·台州玉环)漏刻是我国古代的一种计时工具,据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型。研究中发现水位$ h(\mathrm{cm}) $随着时间$ t(\mathrm{min}) $的改变而改变,它的水位可用公式$ h = pt + q $计算。已测得当$ t=1\mathrm{min} $时,水位$ h=1.1\mathrm{cm} $;当$ t=5\mathrm{min} $时,水位$ h=2.7\mathrm{cm} $。
(1)求$ p,q $的值。
(2)当水位$ h=4.7\mathrm{cm} $时,求时间$ t $的值。
拆解剖析


解:(1)由题意得$\begin{cases} p+q=1.1, \\ 5p+q=2.7, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=0.4, \\ q=0.7, \end{cases}$即$ p=0.4,q=0.7 $。
(2)由(1)得水位公式为$ h = 0.4t + 0.7 $,当水位$ h=4.7\mathrm{cm} $时,$ 0.4t + 0.7 = 4.7 $,解得$ t=10 $。

(1)由题意得$\begin{cases} p+q=1.1, \\ 5p+q=2.7, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=0.4, \\ q=0.7, \end{cases}$即$ p=0.4,q=0.7 $。
(2)由(1)得水位公式为$ h = 0.4t + 0.7 $,当水位$ h=4.7\mathrm{cm} $时,$ 0.4t + 0.7 = 4.7 $,解得$ t=10 $。

【分析】
本题中水位h与时间t满足一次函数关系h=pt+q，已知两组对应值，因此可通过建立二元一次方程组，利用待定系数法求出p、q的值；再将h=4.7代入已求得的函数表达式，即可求出对应的时间t。
【解析】
(1)将t=1，h=1.1和t=5，h=2.7代入h=pt+q，得方程组：
$\begin{cases} p + q = 1.1 \\ 5p + q = 2.7 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去q：$4p = 1.6$，解得$p=0.4$；
将$p=0.4$代入$p + q =1.1$，得$0.4 + q =1.1$，解得$q=0.7$。
(2)由(1)得水位公式为$h=0.4t + 0.7$，将$h=4.7$代入该式：
$0.4t + 0.7 = 4.7$
移项得$0.4t = 4$，解得$t=10$。
【答案】
(1)$p=0.4$，$q=0.7$；(2)$t=10$
【知识点】
一次函数的应用、二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数在实际计时场景中的基础应用，核心考查待定系数法求一次函数解析式及代入求值，属于基础题型，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.7

1.光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识知，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有$∠ 1=∠ 2$。

(1)如图2，已知镜子$MN$与镜子$PQ$互相平行，请判断入射光线$AB$与反射光线$CD$的位置关系，并说明理由。
(2)如图3，一束光线$BA$射在双面镜$MN$上的点$A$处，生成反射光线$AC$，$∠ BAM=30°$，另一束光线$DE$从点$D$射出，$∠ EDN=60°$，光线$BA$绕点$A$以5度/秒速度顺时针转动，设时间为$t$秒，在光线$BA$转动一周的时间内，当反射光线$AC$与$DE$平行时，求出所有满足条件的时间$t$的值。

(1)$AB // CD$,理由如下:由题意得,$∠ BAM = ∠ CAN$,$∠ ACP = ∠ DCQ$,因为镜子MN与镜子PQ互相平行,所以$∠ CAN = ∠ ACP$,$∠ MAC = ∠ ACQ$,所以$∠ BAM = ∠ DCQ$,所以$∠ MAC - ∠ BAM = ∠ ACQ - ∠ DCQ$,即$∠ BAC = ∠ ACD$,所以$AB // CD$。
(2)①当AC与DE在MN同侧,,因为$AC // DE$,所以$∠ EDN = ∠ CAN$,由反射可得$∠ BAM = ∠ CAN$,所以$30 + 5t = 60$,所以$t=6$;②当AC与DE在MN异侧,[图2],因为$AC // DE$,所以$∠ MDE = ∠ CAN$,所以$∠ CAM = ∠ EDN$,由反射可得$∠ BAN = ∠ EDN$,所以$30 + 5t - 180 = 60$,所以$t=42$。综上所述,t值为6或42。

【分析】
(1) 要判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，需结合题目给出的光的反射规律（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），以及平行线的性质推导：已知MN与PQ平行，利用平行线的内错角相等，结合反射的角度相等，可推出AB与CD的内错角相等，从而判定平行。
(2) 需分两种情况讨论：反射光线AC与DE在MN同侧、异侧，根据平行线的性质得到对应角度关系，结合光的反射规律（∠BAM=∠CAN），列方程求解时间t，注意光线转动一周（360°），需考虑角度的范围，避免漏解。
【解析】
(1) AB//CD，理由如下：
根据光的反射规律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，因此∠BAM = ∠CAN，∠ACP = ∠DCQ。
∵ MN//PQ，
∴ ∠CAN = ∠ACP（两直线平行，内错角相等），且∠MAC = ∠ACQ（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MAC - ∠BAM = ∠ACQ - ∠DCQ，即∠BAC = ∠ACD，
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 分两种情况：
① 当AC与DE在MN同侧时：
∵ AC//DE，
∴ ∠EDN = ∠CAN（两直线平行，同位角相等），
由反射规律知∠BAM = ∠CAN，已知∠EDN=60°，光线BA初始∠BAM=30°，顺时针转动速度5°/秒，t秒后∠BAM = 30° + 5t，
∴ 30 + 5t = 60，解得t=6；
② 当AC与DE在MN异侧时：
此时光线BA转动超过180°，∠BAM对应的角度为30° +5t -180°，
∵ AC//DE，
∴ ∠BAN = ∠EDN=60°，而∠BAN = ∠BAM -180°，
∴ 30 +5t -180 =60，解得t=42；
综上，t的值为6或42。
【答案】
(1) AB//CD，理由见解析；
(2) t的值为6或42。
【知识点】
平行线的判定与性质、光的反射定律
【点评】
本题结合光学反射规律与几何平行线知识，需运用分类讨论思想分析光线位置关系，关键是利用反射的角度相等和平行线的角度关系建立方程，难度适中，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5