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1[2025江苏南通质检,中]方程$a-3(x+5)=b(x+2)$是关于$x$的一元一次方程,则 (
A.$b=2$
B.$b=-3$
C.$b≠2$
D.$b≠-3$
D
)A.$b=2$
B.$b=-3$
C.$b≠2$
D.$b≠-3$
答案
D 【解析】$a-3(x+5)=b(x+2)$,去括号,得$a-3x-15=bx+2b$. 移项,得$-3x-bx=2b+15-a$. 合并同类项,得$(-3-b)x=2b+15-a$. 因为此方程是关于$x$的一元一次方程,所以$-3-b≠0$,解得$b≠-3$. 故选 D.
2[2026江苏苏州质检,中]若$a,b$是有理数,关于$x$的方程$3a(2x-1)-b=6-3bx$有至少两个不同的解,则另一个关于$x$的方程$(a+b)x+3=6x+b$的解的情况是（
A.有至少两个不同的解
B.有无限多个解
C.只有一个解
D.无解
D
）A.有至少两个不同的解
B.有无限多个解
C.只有一个解
D.无解
答案
D 【解析】解方程$3a(2x-1)-b=6-3bx$,可得$(6a+3b)x=3a+b+6$. 因为有至少两个不同的解,所以$6a+3b=0$,$3a+b+6=0$. 由$6a+3b=0$得$2a+b=0$,则$3a+b+6=a+(2a+b)+6=a+0+6=0$,即$a=-6$,所以$-6×2+b=0$,所以$b=12$. 把$a=-6$,$b=12$代入$(a+b)x+3=6x+b$中得$6x+3=6x+12$,所以方程$(a+b)x+3=6x+b$无解. 故选 D.
3[2025江苏南京质检,较难]在数轴上,若点N与原点O之间的距离是点N与数30所对应的点之间的距离的4倍,则点N表示的数是
40或24
.答案
40或24 【解析】设点$N$表示的数为$x$. 由题意得$|x|=4|x-30|$,所以$x=4(x-30)$,解得$x=40$或$x=-4(x-30)$,解得$x=24$,故答案为40或24.
4 含1个绝对值 [2025浙江温州质检,中]解方程:$|2x+9|=7x-1.$
答案
4.【解】$|2x+9|=7x-1$,所以$2x+9=7x-1$或$(2x+9)+(7x-1)=0$,解得$x=2$或$x=-\dfrac{8}{9}$. 当$x=-\dfrac{8}{9}$时,$7x-1＜0$,所以舍去$x=-\dfrac{8}{9}$. 综上所述,原方程的解是$x=2$.
5 含2个绝对值 [2025北京西城区期末,中]解方程：
(1)$|x+6|-|3x-9|=1$；
(2)$2|x+1|+3|x-4|=60$。
(1)$|x+6|-|3x-9|=1$；
(2)$2|x+1|+3|x-4|=60$。
答案
5.【解】(1)当$x＜-6$时,去绝对值,得$-x-6+3x-9=1$,解得$x=8$,不符合要求,舍去;当$-6≤x＜3$时,去绝对值,得$x+6+3x-9=1$,解得$x=1$,符合要求;当$x≥3$时,去绝对值,得$x+6-(3x-9)=1$,去括号,得$x+6-3x+9=1$,解得$x=7$,符合要求. 所以原方程的解为$x=1$或$x=7$.
(2)当$x＜-1$时,去绝对值,得$2(-x-1)+3(4-x)=60$,解得$x=-10$,符合要求;当$-1≤x＜4$时,去绝对值,得$2(x+1)+3(4-x)=60$,解得$x=-46$,不符合要求,舍去;当$x≥4$时,去绝对值,得$2(x+1)+3(x-4)=60$,解得$x=14$,符合要求. 所以原方程的解为$x=-10$或$x=14$.
(2)当$x＜-1$时,去绝对值,得$2(-x-1)+3(4-x)=60$,解得$x=-10$,符合要求;当$-1≤x＜4$时,去绝对值,得$2(x+1)+3(4-x)=60$,解得$x=-46$,不符合要求,舍去;当$x≥4$时,去绝对值,得$2(x+1)+3(x-4)=60$,解得$x=14$,符合要求. 所以原方程的解为$x=-10$或$x=14$.
6[2025北京朝阳区质检,中]已知关于x的方程$(k+3)x+2=1+3(x+1)(k≠0)$.
(1)当$k=1$时,求方程的解;
(2)若方程的解是整数,求整数$k$的值.
(1)当$k=1$时,求方程的解;
(2)若方程的解是整数,求整数$k$的值.
答案
6.【解】(1)当$k=1$时,原方程为$4x+2=1+3(x+1)$. 去括号,得$4x+2=1+3x+3$. 移项,得$4x-3x=1+3-2$. 合并同类项,得$x=2$,所以当$k=1$时,方程的解为$x=2$.
(2)因为$(k+3)x+2=1+3(x+1)$,所以$(k+3)x+2=1+3x+3$,移项,得$(k+3)x-3x=1+3-2$. 合并同类项,得$kx=2$. 因为$k≠0$,所以原方程的解为$x=\dfrac{2}{k}$. 因为原方程的解是整数,$k$为整数,所以$k=±2,±1$.
(2)因为$(k+3)x+2=1+3(x+1)$,所以$(k+3)x+2=1+3x+3$,移项,得$(k+3)x-3x=1+3-2$. 合并同类项,得$kx=2$. 因为$k≠0$,所以原方程的解为$x=\dfrac{2}{k}$. 因为原方程的解是整数,$k$为整数,所以$k=±2,±1$.
7[2025江苏盐城调研,中]阅读材料:对于任何有理数,规定$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
例如:$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$,$\begin{vmatrix}-2&4\\3&5\end{vmatrix}=(-2)×5-4×3=-22$.解决下列问题:
(1)$\begin{vmatrix}5&-4\\-2&-2\end{vmatrix}=$ ______ ;
(2)当$|x-2|=2$时,求$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}$的值;
(3)当$\begin{vmatrix}m+3&-1\\6&-4\end{vmatrix}=6m$时,求$m$的值.
例如:$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$,$\begin{vmatrix}-2&4\\3&5\end{vmatrix}=(-2)×5-4×3=-22$.解决下列问题:
(1)$\begin{vmatrix}5&-4\\-2&-2\end{vmatrix}=$ ______ ;
(2)当$|x-2|=2$时,求$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}$的值;
(3)当$\begin{vmatrix}m+3&-1\\6&-4\end{vmatrix}=6m$时,求$m$的值.
答案
7.【解】(1)$\begin{vmatrix}5&-4\\-2&-2\end{vmatrix}=5×(-2)-(-2)×(-4)=-18$. 故答案为-18.
(2)根据题意得$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=3(2x-6)-2×7x=-8x-18$. 因为$|x-2|=2$,所以$x-2=±2$,所以$x=0$或4. 当$x=0$时,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=-8×0-18=-18$;当$x=4$时,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=-8×4-18=-50$. 综上所述,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}$的值为-50或-18.
(3)因为$\begin{vmatrix}m+3&-1\\6&-4\end{vmatrix}=6m$,所以$-4(m+3)-(-1)×6=6m$,解得$m=-0.6$.
(2)根据题意得$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=3(2x-6)-2×7x=-8x-18$. 因为$|x-2|=2$,所以$x-2=±2$,所以$x=0$或4. 当$x=0$时,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=-8×0-18=-18$;当$x=4$时,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}=-8×4-18=-50$. 综上所述,$\begin{vmatrix}3&7x\\2&2x-6\end{vmatrix}$的值为-50或-18.
(3)因为$\begin{vmatrix}m+3&-1\\6&-4\end{vmatrix}=6m$,所以$-4(m+3)-(-1)×6=6m$,解得$m=-0.6$.
8 思想方法分类讨论 [2025 河南郑州期末,中]如图,在数轴上,点 O 是原点,点 A,B,C 表示的数分别是-12,8,14.点 P 从点 A 出发以 2 个单位/秒的速度向右运动,其中由点 O 运动到点 B 期间速度变为原来的 2 倍,之后立刻恢复原速,点 Q 从点 C 出发,以 1 个单位/秒的速度向左运动,若点 P,Q 同时出发,则经过多少秒后,P,Q 两点到点 B 的距离相等?
答案
8.【解】设经过$t$秒后,$P,Q$两点到点$B$的距离相等. 由题意,得$AO=12$,$OB=8$,$BC=14-8=6$,点$P$到达$O$点的时间为$12÷2=6$(秒),此时点$Q$到达$B$点,故$t＞6$,即$Q$在$B$的左边. 当$P$在点$B$的左边且$P,Q$重合时,$PB=BQ$. 因为点$P$表示的数为$4(t-6)$,点$Q$表示的数为$14-t$,所以$4(t-6)=14-t$,解得$t=7.6$;当$P$在$B$的右边时,由$PB=BQ$得$8+2(t-8)+14-t=2×8$,解得$t=10$. 综上,经过7.6秒或10秒后,$P,Q$两点到点$B$的距离相等.
