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例题 问题情境:数学活动课上,同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每个小组的矩形纸片规格相同),已知矩形纸片宽$AD=6$。
(1)动手实践:如图1,A小组将矩形纸片$ABCD$折叠,点$D$落在$AB$边上的点$E$处,折痕为$AF$,连结$EF$,然后将纸片展平,得到四边形$AEFD$。试判断四边形$AEFD$的形状,并加以证明。
(2)如图2,B小组将矩形纸片$ABCD$对折使$AB$与$DC$重合,展平后得到折痕$PQ$,再次过点$A$折叠使点$D$落在折痕$PQ$上的点$N$处,得到折痕$AM$,连结$AN,MN$,展平后得到四边形$ANMD$,请求出四边形$ANMD$的面积。
(3)深度探究:如图3,C小组将图1中的四边形$EFCB$剪去,然后在边$AD,EF$上取点$G,H$,将四边形$AEFD$沿$GH$折叠,使点$A$的对应点$A'$始终落在边$DF$上(点$A'$不与点$D,F$重合),点$E$落在点$E'$处,$A'E'$与$EF$交于点$T$。当$A'$在$DF$上运动时,$△ FTA'$的周长是否会变化? 如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值。
拆解剖析
图形操作与探究
折叠问题
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:折叠的性质} \begin{cases}\mathrm{图1} \begin{cases} AD=AE \\ FD=FE \\ ∠ DAF=∠ EAF \end{cases} \\\mathrm{图2} \begin{cases} AP=PD \\ AN=AD \\ PQ⊥ AD \\ ∠ DAM=∠ NAM \end{cases} \\\mathrm{图3} \begin{cases} AG=GA' \\ ∠ GA'E'=∠ GAE \end{cases}\end{cases} \\\mathrm{考查点2:特殊三角形的判定—图2—判定}△ ADN\mathrm{是等边三角形} \begin{cases} \mathrm{由折叠性质及垂直平分线性质证明}ND=NA=AD \end{cases} \\\mathrm{考查点3:特殊四边形的判定—图1—判定四边形}AEFD\mathrm{是正方形} \begin{cases} \mathrm{由四边形}AEFD\mathrm{是菱形与}∠ D=90° \end{cases} \\\mathrm{考查点4:勾股定理的应用—图2—求}MD\mathrm{的长度:结合}AD^2+DM^2=AM^2 \begin{cases} \mathrm{设}DM=x \\ \mathrm{用}x\mathrm{表示}AM \end{cases} \\\mathrm{考查点5:全等三角形的判断} \begin{cases} \mathrm{图3中}△ DAA'≌△ MAA' \quad \mathrm{根据AAS判定} \\ \mathrm{图3中}\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET \quad \mathrm{根据HL判定} \end{cases}\end{cases}$
答案:(1)四边形$AEFD$是正方形,证明:因为四边形$ABCD$是矩形,所以$∠ D=90°$,$AB// CD$,所以$∠ FAE=∠ DFA$,由第一步折叠可知:$∠ FAE=∠ DAF$,$AD=AE$,$FD=FE$,所以$∠ DAF=∠ DFA$,所以$AD=FD$,所以$AD=AE=FD=FE$,所以四边形$AEFD$是菱形,又因为$∠ D=90°$,所以四边形$AEFD$是正方形。(2)如图1,连结$DN$,由折叠得,$AP=PD=\frac{1}{2}AD=3$,$AN=AD=6$,
$PQ⊥ AD$,$∠ DAM=∠ NAM$,所以$DN=AN=6$,所以$DN=AN=AD=6$,所以$△ ADN$是等边三角形,所以$∠ DAN=60°$,所以$∠ DAM=\frac{1}{2}∠ DAN=30°$,设$DM=x$,则$AM=2x$,由勾股定理得,$AD^2+DM^2=AM^2$,所以$6^2+x^2=(2x)^2$,解得,$x=2\sqrt{3}$(负值舍去),所以$DM=2\sqrt{3}$,由折叠得,$S_{△ ADM}=S_{△ ANM}=\frac{1}{2}AD× DM=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,所以$S_{\mathrm{四边形}ANMD}=2S_{△ ADM}=12\sqrt{3}$。(3)$△ FTA'$的周长不变,为定值12。理由如下:
如图2,连结$AA'$,$AT$,过点$A$作$AM⊥ A'T$于点$M$,由折叠可知,$AG=GA'$,$∠ GA'E'=∠ GAE=90°$,所以$∠ GAA'=∠ GA'A$,所以$∠ A'AE=∠ AA'E'$,因为$DF// AE$,所以$∠ DA'A=∠ A'AE=∠ AA'E'$,$∠ AMA'=∠ D=90°$,因为$AA'=AA'$,所以$△ DAA'≌△ MAA'(\mathrm{AAS})$,所以$DA'=MA'$,$AD=AM$,所以$AM=AD=AE$,因为$AT=AT$,$△ AMT$和$△ AET$为直角三角形,所以$\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET(\mathrm{HL})$,所以$MT=ET$,因为$△ FTA'$的周长$=A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+A'D+ET=DF+EF=6+6=12$,所以$△ FTA'$的周长为12。
浙江期末·八年级数学(下册)·浙教版 9—3
(1)动手实践:如图1,A小组将矩形纸片$ABCD$折叠,点$D$落在$AB$边上的点$E$处,折痕为$AF$,连结$EF$,然后将纸片展平,得到四边形$AEFD$。试判断四边形$AEFD$的形状,并加以证明。
(2)如图2,B小组将矩形纸片$ABCD$对折使$AB$与$DC$重合,展平后得到折痕$PQ$,再次过点$A$折叠使点$D$落在折痕$PQ$上的点$N$处,得到折痕$AM$,连结$AN,MN$,展平后得到四边形$ANMD$,请求出四边形$ANMD$的面积。
(3)深度探究:如图3,C小组将图1中的四边形$EFCB$剪去,然后在边$AD,EF$上取点$G,H$,将四边形$AEFD$沿$GH$折叠,使点$A$的对应点$A'$始终落在边$DF$上(点$A'$不与点$D,F$重合),点$E$落在点$E'$处,$A'E'$与$EF$交于点$T$。当$A'$在$DF$上运动时,$△ FTA'$的周长是否会变化? 如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值。
拆解剖析
图形操作与探究
折叠问题
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:折叠的性质} \begin{cases}\mathrm{图1} \begin{cases} AD=AE \\ FD=FE \\ ∠ DAF=∠ EAF \end{cases} \\\mathrm{图2} \begin{cases} AP=PD \\ AN=AD \\ PQ⊥ AD \\ ∠ DAM=∠ NAM \end{cases} \\\mathrm{图3} \begin{cases} AG=GA' \\ ∠ GA'E'=∠ GAE \end{cases}\end{cases} \\\mathrm{考查点2:特殊三角形的判定—图2—判定}△ ADN\mathrm{是等边三角形} \begin{cases} \mathrm{由折叠性质及垂直平分线性质证明}ND=NA=AD \end{cases} \\\mathrm{考查点3:特殊四边形的判定—图1—判定四边形}AEFD\mathrm{是正方形} \begin{cases} \mathrm{由四边形}AEFD\mathrm{是菱形与}∠ D=90° \end{cases} \\\mathrm{考查点4:勾股定理的应用—图2—求}MD\mathrm{的长度:结合}AD^2+DM^2=AM^2 \begin{cases} \mathrm{设}DM=x \\ \mathrm{用}x\mathrm{表示}AM \end{cases} \\\mathrm{考查点5:全等三角形的判断} \begin{cases} \mathrm{图3中}△ DAA'≌△ MAA' \quad \mathrm{根据AAS判定} \\ \mathrm{图3中}\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET \quad \mathrm{根据HL判定} \end{cases}\end{cases}$
答案:(1)四边形$AEFD$是正方形,证明:因为四边形$ABCD$是矩形,所以$∠ D=90°$,$AB// CD$,所以$∠ FAE=∠ DFA$,由第一步折叠可知:$∠ FAE=∠ DAF$,$AD=AE$,$FD=FE$,所以$∠ DAF=∠ DFA$,所以$AD=FD$,所以$AD=AE=FD=FE$,所以四边形$AEFD$是菱形,又因为$∠ D=90°$,所以四边形$AEFD$是正方形。(2)如图1,连结$DN$,由折叠得,$AP=PD=\frac{1}{2}AD=3$,$AN=AD=6$,
$PQ⊥ AD$,$∠ DAM=∠ NAM$,所以$DN=AN=6$,所以$DN=AN=AD=6$,所以$△ ADN$是等边三角形,所以$∠ DAN=60°$,所以$∠ DAM=\frac{1}{2}∠ DAN=30°$,设$DM=x$,则$AM=2x$,由勾股定理得,$AD^2+DM^2=AM^2$,所以$6^2+x^2=(2x)^2$,解得,$x=2\sqrt{3}$(负值舍去),所以$DM=2\sqrt{3}$,由折叠得,$S_{△ ADM}=S_{△ ANM}=\frac{1}{2}AD× DM=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,所以$S_{\mathrm{四边形}ANMD}=2S_{△ ADM}=12\sqrt{3}$。(3)$△ FTA'$的周长不变,为定值12。理由如下:
如图2,连结$AA'$,$AT$,过点$A$作$AM⊥ A'T$于点$M$,由折叠可知,$AG=GA'$,$∠ GA'E'=∠ GAE=90°$,所以$∠ GAA'=∠ GA'A$,所以$∠ A'AE=∠ AA'E'$,因为$DF// AE$,所以$∠ DA'A=∠ A'AE=∠ AA'E'$,$∠ AMA'=∠ D=90°$,因为$AA'=AA'$,所以$△ DAA'≌△ MAA'(\mathrm{AAS})$,所以$DA'=MA'$,$AD=AM$,所以$AM=AD=AE$,因为$AT=AT$,$△ AMT$和$△ AET$为直角三角形,所以$\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET(\mathrm{HL})$,所以$MT=ET$,因为$△ FTA'$的周长$=A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+A'D+ET=DF+EF=6+6=12$,所以$△ FTA'$的周长为12。
浙江期末·八年级数学(下册)·浙教版 9—3
答案
解：(1) 四边形AEFD是正方形，证明如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠DFA。
由折叠性质得：∠FAE = ∠DAF，AD = AE，FD = FE，
∴ ∠DAF = ∠DFA，
∴ AD = FD，
∴ AD = AE = FD = FE，
∴ 四边形AEFD是菱形。
又∵ ∠D = 90°，
∴ 菱形AEFD是正方形。
(2) 连接DN，
由折叠性质得：$AP = PD = \frac{1}{2}AD = 3$，$AN = AD = 6$，$PQ ⊥ AD$，$∠ DAM = ∠ NAM$，
∴ PQ是AD的垂直平分线，
∴ $DN = AN = 6$，
∴ $DN = AN = AD = 6$，即$△ ADN$是等边三角形，
∴ $∠ DAN = 60°$，
∴ $∠ DAM = \frac{1}{2}∠ DAN = 30°$。
设$DM = x$，在$Rt△ ADM$中，$∠ D = 90°$，
∴ $AM = 2DM = 2x$，
由勾股定理得：$AD^2 + DM^2 = AM^2$，
即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x = 2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $DM = 2\sqrt{3}$。
由折叠性质得$S_{△ ADM} = S_{△ ANM} = \frac{1}{2} × AD × DM = \frac{1}{2} × 6 × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ANMD} = 2S_{△ ADM} = 12\sqrt{3}$。
(3) $△ FTA'$的周长不变，定值为12，理由如下：
连接$AA'$、$AT$，过点A作$AM ⊥ A'T$于点M，
由折叠性质得：$AG = GA'$，$∠ GA'E' = ∠ GAE = 90°$，
∴ $∠ GAA' = ∠ GA'A$，
∴ $90° - ∠ GAA' = 90° - ∠ GA'A$，即$∠ A'AE = ∠ AA'E'$。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ $DF // AE$，$∠ D = 90°$，$AD = AE = DF = EF = 6$，
∴ $∠ DA'A = ∠ A'AE$，
∴ $∠ DA'A = ∠ AA'E'$。
又∵ $∠ D = ∠ AMA' = 90°$，$AA' = AA'$，
∴ $△ DAA' ≌ △ MAA'$（AAS），
∴ $DA' = MA'$，$AD = AM$，
∴ $AM = AD = AE$。
在$Rt△ AMT$和$Rt△ AET$中，
$\begin{cases} AT = AT \\ AM = AE \end{cases}$，
∴ $Rt△ AMT ≌ Rt△ AET$（HL），
∴ $MT = ET$。
∴ $△ FTA'$的周长$= A'F + TF + A'T$
$= A'F + TF + A'M + MT$
$= A'F + TF + DA' + ET$
$= (A'F + DA') + (TF + ET)$
$= DF + EF$
$= 6 + 6 = 12$。
答：(1) 四边形AEFD是正方形；(2) 四边形ANMD的面积为$12\sqrt{3}$；(3) $△ FTA'$的周长不变，定值为12。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠DFA。
由折叠性质得：∠FAE = ∠DAF，AD = AE，FD = FE，
∴ ∠DAF = ∠DFA，
∴ AD = FD，
∴ AD = AE = FD = FE，
∴ 四边形AEFD是菱形。
又∵ ∠D = 90°，
∴ 菱形AEFD是正方形。
(2) 连接DN，
由折叠性质得：$AP = PD = \frac{1}{2}AD = 3$，$AN = AD = 6$，$PQ ⊥ AD$，$∠ DAM = ∠ NAM$，
∴ PQ是AD的垂直平分线，
∴ $DN = AN = 6$，
∴ $DN = AN = AD = 6$，即$△ ADN$是等边三角形，
∴ $∠ DAN = 60°$，
∴ $∠ DAM = \frac{1}{2}∠ DAN = 30°$。
设$DM = x$，在$Rt△ ADM$中，$∠ D = 90°$，
∴ $AM = 2DM = 2x$，
由勾股定理得：$AD^2 + DM^2 = AM^2$，
即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x = 2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $DM = 2\sqrt{3}$。
由折叠性质得$S_{△ ADM} = S_{△ ANM} = \frac{1}{2} × AD × DM = \frac{1}{2} × 6 × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ANMD} = 2S_{△ ADM} = 12\sqrt{3}$。
(3) $△ FTA'$的周长不变，定值为12，理由如下：
连接$AA'$、$AT$，过点A作$AM ⊥ A'T$于点M，
由折叠性质得：$AG = GA'$，$∠ GA'E' = ∠ GAE = 90°$，
∴ $∠ GAA' = ∠ GA'A$，
∴ $90° - ∠ GAA' = 90° - ∠ GA'A$，即$∠ A'AE = ∠ AA'E'$。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ $DF // AE$，$∠ D = 90°$，$AD = AE = DF = EF = 6$，
∴ $∠ DA'A = ∠ A'AE$，
∴ $∠ DA'A = ∠ AA'E'$。
又∵ $∠ D = ∠ AMA' = 90°$，$AA' = AA'$，
∴ $△ DAA' ≌ △ MAA'$（AAS），
∴ $DA' = MA'$，$AD = AM$，
∴ $AM = AD = AE$。
在$Rt△ AMT$和$Rt△ AET$中，
$\begin{cases} AT = AT \\ AM = AE \end{cases}$，
∴ $Rt△ AMT ≌ Rt△ AET$（HL），
∴ $MT = ET$。
∴ $△ FTA'$的周长$= A'F + TF + A'T$
$= A'F + TF + A'M + MT$
$= A'F + TF + DA' + ET$
$= (A'F + DA') + (TF + ET)$
$= DF + EF$
$= 6 + 6 = 12$。
答：(1) 四边形AEFD是正方形；(2) 四边形ANMD的面积为$12\sqrt{3}$；(3) $△ FTA'$的周长不变，定值为12。
解析
【分析】
本题是矩形纸片折叠的几何探究题，分三小问逐步推导：(1)利用矩形性质结合折叠性质，先证四边形为菱形，再由直角判定为正方形；(2)利用对折得垂直平分线，推出等边三角形，结合勾股定理求边长，再用折叠面积相等计算四边形面积；(3)通过作辅助线，证明两次全等转化线段，将三角形周长转化为正方形边长之和，得出定值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠DFA。
由折叠性质得：∠FAE = ∠DAF，AD = AE，FD = FE，
∴ ∠DAF = ∠DFA，
∴ AD = FD，
∴ AD = AE = FD = FE，
∴ 四边形AEFD是菱形。
又
∵ ∠D = 90°，
∴ 菱形AEFD是正方形。
(2) 解：
连接DN，
由折叠性质得：AP = PD = $\frac{1}{2}$AD = 3，AN = AD = 6，PQ⊥AD，∠DAM = ∠NAM，
∴ PQ是AD的垂直平分线，
∴ DN = AN = 6，
∴ DN = AN = AD = 6，即△ADN是等边三角形，
∴ ∠DAN = 60°，
∴ ∠DAM = $\frac{1}{2}$∠DAN = 30°。
设DM = x，在Rt△ADM中，∠D = 90°，
∴ AM = 2DM = 2x，
由勾股定理得：AD² + DM² = AM²，
即6² + x² = (2x)²，
解得x = 2$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ DM = 2$\sqrt{3}$。
由折叠性质得S△ADM = S△ANM = $\frac{1}{2}$×AD×DM = $\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$ = 6$\sqrt{3}$，
∴ S四边形ANMD = 2S△ADM = 12$\sqrt{3}$。
(3) 解：△FTA'的周长不变，定值为12，理由如下：
连接AA'、AT，过点A作AM⊥A'T于点M，
由折叠性质得：AG = GA'，∠GA'E' = ∠GAE = 90°，
∴ ∠GAA' = ∠GA'A，
∴ 90° - ∠GAA' = 90° - ∠GA'A，即∠A'AE = ∠AA'E'。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ DF//AE，∠D = 90°，AD = AE = DF = EF = 6，
∴ ∠DA'A = ∠A'AE，
∴ ∠DA'A = ∠AA'E'。
又
∵ ∠D = ∠AMA' = 90°，AA' = AA'，
∴ △DAA' ≌ △MAA'（AAS），
∴ DA' = MA'，AD = AM，
∴ AM = AD = AE。
在Rt△AMT和Rt△AET中，
$\begin{cases} AT = AT \\ AM = AE \end{cases}$，
∴ Rt△AMT ≌ Rt△AET（HL），
∴ MT = ET。
∴ △FTA'的周长 = A'F + TF + A'T
= A'F + TF + A'M + MT
= A'F + TF + DA' + ET
= (A'F + DA') + (TF + ET)
= DF + EF
= 6 + 6 = 12。
【答案】
(1) 四边形AEFD是正方形；(2) 四边形ANMD的面积为$12\sqrt{3}$；(3) △FTA'的周长不变，定值为12。
【知识点】
折叠的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是矩形折叠的综合探究题，融合特殊四边形、三角形及勾股定理的应用，需通过辅助线和全等转化线段关系，考查学生几何逻辑思维，是八年级典型综合题型。
【难度系数】
0.5
本题是矩形纸片折叠的几何探究题，分三小问逐步推导：(1)利用矩形性质结合折叠性质，先证四边形为菱形，再由直角判定为正方形；(2)利用对折得垂直平分线，推出等边三角形，结合勾股定理求边长，再用折叠面积相等计算四边形面积；(3)通过作辅助线，证明两次全等转化线段，将三角形周长转化为正方形边长之和，得出定值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠DFA。
由折叠性质得：∠FAE = ∠DAF，AD = AE，FD = FE，
∴ ∠DAF = ∠DFA，
∴ AD = FD，
∴ AD = AE = FD = FE，
∴ 四边形AEFD是菱形。
又
∵ ∠D = 90°，
∴ 菱形AEFD是正方形。
(2) 解：
连接DN，
由折叠性质得：AP = PD = $\frac{1}{2}$AD = 3，AN = AD = 6，PQ⊥AD，∠DAM = ∠NAM，
∴ PQ是AD的垂直平分线，
∴ DN = AN = 6，
∴ DN = AN = AD = 6，即△ADN是等边三角形，
∴ ∠DAN = 60°，
∴ ∠DAM = $\frac{1}{2}$∠DAN = 30°。
设DM = x，在Rt△ADM中，∠D = 90°，
∴ AM = 2DM = 2x，
由勾股定理得：AD² + DM² = AM²，
即6² + x² = (2x)²，
解得x = 2$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ DM = 2$\sqrt{3}$。
由折叠性质得S△ADM = S△ANM = $\frac{1}{2}$×AD×DM = $\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$ = 6$\sqrt{3}$，
∴ S四边形ANMD = 2S△ADM = 12$\sqrt{3}$。
(3) 解：△FTA'的周长不变，定值为12，理由如下：
连接AA'、AT，过点A作AM⊥A'T于点M，
由折叠性质得：AG = GA'，∠GA'E' = ∠GAE = 90°，
∴ ∠GAA' = ∠GA'A，
∴ 90° - ∠GAA' = 90° - ∠GA'A，即∠A'AE = ∠AA'E'。
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ DF//AE，∠D = 90°，AD = AE = DF = EF = 6，
∴ ∠DA'A = ∠A'AE，
∴ ∠DA'A = ∠AA'E'。
又
∵ ∠D = ∠AMA' = 90°，AA' = AA'，
∴ △DAA' ≌ △MAA'（AAS），
∴ DA' = MA'，AD = AM，
∴ AM = AD = AE。
在Rt△AMT和Rt△AET中，
$\begin{cases} AT = AT \\ AM = AE \end{cases}$，
∴ Rt△AMT ≌ Rt△AET（HL），
∴ MT = ET。
∴ △FTA'的周长 = A'F + TF + A'T
= A'F + TF + A'M + MT
= A'F + TF + DA' + ET
= (A'F + DA') + (TF + ET)
= DF + EF
= 6 + 6 = 12。
【答案】
(1) 四边形AEFD是正方形；(2) 四边形ANMD的面积为$12\sqrt{3}$；(3) △FTA'的周长不变，定值为12。
【知识点】
折叠的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是矩形折叠的综合探究题，融合特殊四边形、三角形及勾股定理的应用，需通过辅助线和全等转化线段关系，考查学生几何逻辑思维，是八年级典型综合题型。
【难度系数】
0.5
