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8. 如图,在一个对边平行的纸条上有两点 A,B 及线段 AB 的中点O,以下操作和判断不正确的是
（
A.过点 O 作任意直线(除直线 AB)交纸条两边于点 C,D,得到平行四边形 ACBD
B.过点 O 作 AB 的垂线 l 交纸条两边于点 C,D,得到菱形 ACBD
C.分别过点 A,B 作对边的垂线,交对边于点 C,D,得到矩形 ACBD
D.在点 A,B 所在边的对边分别取 C,D 两点,使得 $AC=BD$,得到平行四边形 ACBD
（
D
）A.过点 O 作任意直线(除直线 AB)交纸条两边于点 C,D,得到平行四边形 ACBD
B.过点 O 作 AB 的垂线 l 交纸条两边于点 C,D,得到菱形 ACBD
C.分别过点 A,B 作对边的垂线,交对边于点 C,D,得到矩形 ACBD
D.在点 A,B 所在边的对边分别取 C,D 两点,使得 $AC=BD$,得到平行四边形 ACBD
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查特殊四边形的判定，需结合纸条对边平行、O是AB中点的条件，逐一分析每个选项是否符合平行四边形、菱形、矩形的判定定理，找出错误选项。
【解析】
选项A：纸条对边平行，O是AB中点，故OA=OB。过O作直线CD交纸条两边，∠AOC=∠BOD，∠OAC=∠OBD（内错角相等），可证△AOC≌△BOD，得AC平行且等于BD，因此四边形ACBD是平行四边形，A正确。
选项B：过O作AB的垂线l，交纸条两边于C、D，同理OA=OB，∠AOC=∠BOD，∠AOC=∠BOD=90°，可证△AOC≌△BOD，得AC=BC=BD=AD，四边相等，故四边形ACBD是菱形，B正确。
选项C：分别过A、B作对边的垂线，交对边于C、D，则AC⊥对边，BD⊥对边，故AC平行且等于BD，且∠C=∠D=90°，因此四边形ACBD是矩形，C正确。
选项D：仅在对边取C、D使AC=BD，无法保证AC与BD平行，不满足平行四边形“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”的判定条件，可能是等腰梯形等，故不能判定为平行四边形，D错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开，需准确掌握各判定定理的条件，尤其注意“一组对边相等”不能直接判定为平行四边形，需结合平行条件，是易错题。
【难度系数】
0.5
本题考查特殊四边形的判定，需结合纸条对边平行、O是AB中点的条件，逐一分析每个选项是否符合平行四边形、菱形、矩形的判定定理，找出错误选项。
【解析】
选项A：纸条对边平行，O是AB中点，故OA=OB。过O作直线CD交纸条两边，∠AOC=∠BOD，∠OAC=∠OBD（内错角相等），可证△AOC≌△BOD，得AC平行且等于BD，因此四边形ACBD是平行四边形，A正确。
选项B：过O作AB的垂线l，交纸条两边于C、D，同理OA=OB，∠AOC=∠BOD，∠AOC=∠BOD=90°，可证△AOC≌△BOD，得AC=BC=BD=AD，四边相等，故四边形ACBD是菱形，B正确。
选项C：分别过A、B作对边的垂线，交对边于C、D，则AC⊥对边，BD⊥对边，故AC平行且等于BD，且∠C=∠D=90°，因此四边形ACBD是矩形，C正确。
选项D：仅在对边取C、D使AC=BD，无法保证AC与BD平行，不满足平行四边形“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”的判定条件，可能是等腰梯形等，故不能判定为平行四边形，D错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开，需准确掌握各判定定理的条件，尤其注意“一组对边相等”不能直接判定为平行四边形，需结合平行条件，是易错题。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在菱形$ABCD$中,$AD=2\sqrt{3}$,$∠ BAD=60°$,$BD$与$AC$相交于点$O$,点$P$是线段$AB$上的任意点,以$PB$为对角线作平行四边形$POBQ$,连结$DQ$,则$DQ$的最小值是（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$4\sqrt{3}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
9.C 解析:因为点O到AB的距离等于点Q到AB的距离,所以Q的轨迹为平行于AB的线段。过Q作直线l//AB,当DQ⊥直线l时DQ最小,因为直线l//AB,所以DM⊥AB。在菱形ABCD中,AD=2√3,∠BAD=60°,所以DM=3。过O作ON⊥AB,所以ON=3/2。又因为ON=QM=3/2,所以DQ=9/2。
解析
【分析】
要解决DQ的最小值问题，需先利用菱形性质确定各点位置，再结合平行四边形的性质推导动点Q的轨迹，最后根据“点到直线的垂直距离最短”求解。步骤：1. 建立坐标系，结合菱形边长和∠BAD=60°确定各顶点坐标；2. 设AB上点P的坐标，利用平行四边形对角线互相平分的性质，得出Q点的坐标特征，明确Q的轨迹为定直线；3. 计算点D到该定直线的垂直距离，即为DQ的最小值。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，AB在x轴上。菱形ABCD中，AD=AB=2√3，∠BAD=60°，因此B(2√3,0)，D的坐标为(ADcos60°, ADsin60°)=(√3,3)，C(3√3,3)；对角线交点O为AC、BD中点，故O(3√3/2, 3/2)。
2. 设AB上点P(p,0)（0≤p≤2√3），平行四边形POBQ的对角线互相平分，因此PB与OQ的中点重合：
PB中点坐标为((p+2√3)/2, 0)，OQ中点坐标为((Ox+Qx)/2, (Oy+Qy)/2)，联立得：
(3√3/2 + Qx)/2 = (p+2√3)/2 → Qx = p + √3/2；
(3/2 + Qy)/2 = 0 → Qy = -3/2；
即Q点纵坐标恒为-3/2，轨迹为直线y=-3/2。
3. DQ的最小值为点D(√3,3)到直线y=-3/2的垂直距离：
垂直距离=|3 - (-3/2)|=9/2，故DQ最小值为9/2。
【答案】
C
【知识点】
菱形性质、平行四边形性质、点到直线的距离
【点评】
本题结合菱形与平行四边形的性质，通过推导动点轨迹求最值，核心是确定Q点的定直线轨迹，体现了数形结合思想，是几何最值的典型题型。
【难度系数】
0.5
要解决DQ的最小值问题，需先利用菱形性质确定各点位置，再结合平行四边形的性质推导动点Q的轨迹，最后根据“点到直线的垂直距离最短”求解。步骤：1. 建立坐标系，结合菱形边长和∠BAD=60°确定各顶点坐标；2. 设AB上点P的坐标，利用平行四边形对角线互相平分的性质，得出Q点的坐标特征，明确Q的轨迹为定直线；3. 计算点D到该定直线的垂直距离，即为DQ的最小值。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，AB在x轴上。菱形ABCD中，AD=AB=2√3，∠BAD=60°，因此B(2√3,0)，D的坐标为(ADcos60°, ADsin60°)=(√3,3)，C(3√3,3)；对角线交点O为AC、BD中点，故O(3√3/2, 3/2)。
2. 设AB上点P(p,0)（0≤p≤2√3），平行四边形POBQ的对角线互相平分，因此PB与OQ的中点重合：
PB中点坐标为((p+2√3)/2, 0)，OQ中点坐标为((Ox+Qx)/2, (Oy+Qy)/2)，联立得：
(3√3/2 + Qx)/2 = (p+2√3)/2 → Qx = p + √3/2；
(3/2 + Qy)/2 = 0 → Qy = -3/2；
即Q点纵坐标恒为-3/2，轨迹为直线y=-3/2。
3. DQ的最小值为点D(√3,3)到直线y=-3/2的垂直距离：
垂直距离=|3 - (-3/2)|=9/2，故DQ最小值为9/2。
【答案】
C
【知识点】
菱形性质、平行四边形性质、点到直线的距离
【点评】
本题结合菱形与平行四边形的性质，通过推导动点轨迹求最值，核心是确定Q点的定直线轨迹，体现了数形结合思想，是几何最值的典型题型。
【难度系数】
0.5
10.如图,正方形 EFGH 的顶点 E 在正方形 ABCD 上,四边形 FGKD 也是正方形,且点 B,H,K 在同一直线上,则正方形 EFGH 与正方形 ABCD 的面积比为（
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
C.$\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}$
C
）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
C.$\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}$
答案
10.C 解析:延长GF交DC于点P,连结PE。易证△BEH≌△PDF≌△PEF。所以CE=CP。设CP=x,所以CE=CP=x,PE=DP=√2 x,所以CD=x+√2 x,所以S正方形ABCD=(1+√2)²x²。在Rt△DEC中,CE=x,CD=x+√2 x。所以DE²=(4+2√2)x²。又因为EF=1/2 DE,所以S正方形EFGH = EF² = 1/4 DE² = (1 + √2/2 )x²。所以S正方形EFGH/S正方形ABCD = (1+√2/2)x²/(1+√2)²x² = (2-√2)/2。
解析
【分析】要计算正方形EFGH与正方形ABCD的面积比，需通过添加辅助线构造全等三角形，利用正方形的边、角性质建立边长关系，结合勾股定理推导面积比。具体思路：延长GF交DC于点P，连结PE，利用正方形性质证明相关三角形全等，设未知数表示各边长度，再结合勾股定理和面积公式计算比值。
【解析】延长GF交DC于点P，连结PE。
因为四边形ABCD、EFGH、FGKD均为正方形，所以∠HEF=∠EFG=90°，EF=FG，∠BCD=90°，AB//CD，EH//FG，可证△BEH≌△PDF≌△PEF。
由此得CE=CP，设CP=x，则CE=CP=x，在Rt△PCE中，PE=√(CE²+CP²)=√2 x，又PE=DP，故DP=√2 x，因此CD=CP+DP=x+√2 x=(1+√2)x，正方形ABCD的面积S_ABCD=(1+√2)²x²=(3+2√2)x²。
在Rt△DEC中，CE=x，CD=(1+√2)x，计算得DE²=(4+2√2)x²，又EF=1/2 DE，故正方形EFGH的面积S_EFGH=EF²=1/4 DE²=(1+√2/2)x²。
则面积比为：(1+√2/2)x² / (3+2√2)x² = (2-√2)/2。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题通过辅助线构造全等三角形，结合正方形性质与勾股定理推导边长关系，考查几何逻辑推理与计算能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】延长GF交DC于点P，连结PE。
因为四边形ABCD、EFGH、FGKD均为正方形，所以∠HEF=∠EFG=90°，EF=FG，∠BCD=90°，AB//CD，EH//FG，可证△BEH≌△PDF≌△PEF。
由此得CE=CP，设CP=x，则CE=CP=x，在Rt△PCE中，PE=√(CE²+CP²)=√2 x，又PE=DP，故DP=√2 x，因此CD=CP+DP=x+√2 x=(1+√2)x，正方形ABCD的面积S_ABCD=(1+√2)²x²=(3+2√2)x²。
在Rt△DEC中，CE=x，CD=(1+√2)x，计算得DE²=(4+2√2)x²，又EF=1/2 DE，故正方形EFGH的面积S_EFGH=EF²=1/4 DE²=(1+√2/2)x²。
则面积比为：(1+√2/2)x² / (3+2√2)x² = (2-√2)/2。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题通过辅助线构造全等三角形，结合正方形性质与勾股定理推导边长关系，考查几何逻辑推理与计算能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
11.五边形的内角和为
540°
。答案
11.540°
解析
【分析】
要计算五边形的内角和，需运用多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n - 2)×180°$（其中$n$为多边形的边数）。本题中多边形是五边形，即$n=5$，将其代入公式即可求出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式，五边形的内角和为$(5 - 2)×180° = 3×180° = 540°$。
【答案】
540°
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于几何基础题，直接考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式并正确代入边数计算，就能轻松得出结果，是对基础知识点的简单考查。
【难度系数】
0.9
要计算五边形的内角和，需运用多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n - 2)×180°$（其中$n$为多边形的边数）。本题中多边形是五边形，即$n=5$，将其代入公式即可求出结果。
【解析】
根据多边形内角和公式，五边形的内角和为$(5 - 2)×180° = 3×180° = 540°$。
【答案】
540°
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于几何基础题，直接考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式并正确代入边数计算，就能轻松得出结果，是对基础知识点的简单考查。
【难度系数】
0.9
12.宁波舟山港作为全球货物吞吐量第一大港,其装卸效率至关重要,四个核心作业区(甬东、甬南、甬西、甬北)在某周工作日的集装箱平均每小时装卸箱数相同。为了评估各作业区工作效率的稳定性,统计了其装卸效率的方差如下:$S^{2}_{甬东}=25,S^{2}_{甬南}=36$,$S^{2}_{甬西}=64,S^{2}_{甬北}=16$,则装卸效率最稳定的作业区是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.甬北
解析
【分析】要判断装卸效率最稳定的作业区，需利用方差的核心意义：方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动幅度越小，对应的工作效率稳定性越强。因此只需比较四个作业区装卸效率的方差大小，找到方差最小的作业区即可。
【解析】根据方差的性质：方差越小，数据的稳定性越好。已知四个作业区的方差分别为：$S^2_{甬东}=25$，$S^2_{甬南}=36$，$S^2_{甬西}=64$，$S^2_{甬北}=16$。比较四个方差的大小可得：$16＜25＜36＜64$，甬北作业区的方差最小，因此其装卸效率最稳定。
【答案】甬北
【知识点】方差的意义
【点评】本题考查方差在实际问题中的应用，核心是掌握“方差越小，数据越稳定”的基础性质，属于概念理解类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据方差的性质：方差越小，数据的稳定性越好。已知四个作业区的方差分别为：$S^2_{甬东}=25$，$S^2_{甬南}=36$，$S^2_{甬西}=64$，$S^2_{甬北}=16$。比较四个方差的大小可得：$16＜25＜36＜64$，甬北作业区的方差最小，因此其装卸效率最稳定。
【答案】甬北
【知识点】方差的意义
【点评】本题考查方差在实际问题中的应用，核心是掌握“方差越小，数据越稳定”的基础性质，属于概念理解类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
13.已知$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx + 1 = 0$的一个根，
则实数$k$的值为________。
则实数$k$的值为________。
答案
13.-2
解析
【分析】
要确定实数k的值，需利用一元二次方程根的定义：若某数是方程的根，将该数代入方程后等式成立。因此把已知根x=1代入给定的一元二次方程，可得到仅含k的一元一次方程，求解该方程就能得到k的值。
【解析】
因为x=1是方程$x^2 + kx + 1 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + k×1 + 1 = 0$
计算化简：$1 + k + 1 = 0$，即$k + 2 = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的根，代入法求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的基本应用，属于基础题型，解题思路直接，只要掌握方程根的定义即可快速求解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要确定实数k的值，需利用一元二次方程根的定义：若某数是方程的根，将该数代入方程后等式成立。因此把已知根x=1代入给定的一元二次方程，可得到仅含k的一元一次方程，求解该方程就能得到k的值。
【解析】
因为x=1是方程$x^2 + kx + 1 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + k×1 + 1 = 0$
计算化简：$1 + k + 1 = 0$，即$k + 2 = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的根，代入法求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的基本应用，属于基础题型，解题思路直接，只要掌握方程根的定义即可快速求解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
14.如图，DE是$△ ABC$的中位线，$∠ ACB$的角平分线交DE于点F，若$AC=4$，$BC=8$，则DF的长为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
14.2
解析
【分析】首先利用三角形中位线定理，得到DE与BC的平行关系及DE的长度，同时确定E是AC中点，求出EC的长度；再结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推出△EFC为等腰三角形，得到EF的长度；最后通过线段和差计算DF的长度。
【解析】
1. 因为DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，所以$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。已知$BC=8$，则$DE=\frac{1}{2}×8=4$；同时E是AC的中点，$AC=4$，故$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 因为CF是$∠ACB$的角平分线，所以$∠ECF=∠BCF$。又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠EFC=∠BCF$，因此$∠ECF=∠EFC$，即△EFC是等腰三角形，所以$EF=EC=2$。
3. 由线段和差关系，$DF=DE-EF$，代入$DE=4$，$EF=2$，得$DF=4-2=2$。
【答案】2
【知识点】三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查几何定理的应用，核心是利用平行线与角平分线构造等腰三角形，进而求解线段长度，解题思路清晰，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，所以$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。已知$BC=8$，则$DE=\frac{1}{2}×8=4$；同时E是AC的中点，$AC=4$，故$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 因为CF是$∠ACB$的角平分线，所以$∠ECF=∠BCF$。又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠EFC=∠BCF$，因此$∠ECF=∠EFC$，即△EFC是等腰三角形，所以$EF=EC=2$。
3. 由线段和差关系，$DF=DE-EF$，代入$DE=4$，$EF=2$，得$DF=4-2=2$。
【答案】2
【知识点】三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查几何定理的应用，核心是利用平行线与角平分线构造等腰三角形，进而求解线段长度，解题思路清晰，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
