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11.(10分)求出使不等式$(3x+2)(3x-4) ＞ 9(x-2)(x+3)$成立的非负整数解.
答案
解:原不等式可化为$9x^2 -12x +6x -8＞9x^2 +27x -18x -54$,解得$x＜\frac{46}{15}$。$\because x$为非负整数,$\therefore x$可取0,1,2,3。
解析
【分析】
要解决该题，需分三步思考：第一步，利用多项式乘多项式的法则分别展开不等式左右两边的整式乘积，展开时注意不要漏乘项、不要弄错符号；第二步，通过移项、合并同类项将不等式化简为一元一次不等式，求出x的取值范围，注意不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变；第三步，在x的取值范围内筛选出所有非负整数（即大于等于0的整数）即可得到答案。
【解析】
解：首先展开不等式左右两边的式子：
左边$(3x+2)(3x-4)=9x^2-12x+6x-8=9x^2-6x-8$，
右边$9(x-2)(x+3)=9(x^2+3x-2x-6)=9(x^2+x-6)=9x^2+9x-54$，
代入原不等式得：$9x^2-6x-8＞9x^2+9x-54$，
移项合并同类项：$-15x＞-46$，
两边同时除以$-15$，不等号方向改变，解得$x＜\frac{46}{15}$，
$\because x$为非负整数，$\frac{46}{15}\approx3.07$，
$\therefore$符合条件的非负整数为0,1,2,3。
【答案】
0,1,2,3
【知识点】
整式的乘法，解一元一次不等式，非负整数概念
【点评】
本题属于基础综合题，重点考察整式乘法运算的准确性和一元一次不等式的求解规则，解题时容易在多项式展开漏乘、除以负数忘记变不等号、遗漏0为非负整数这几个地方出错，需格外注意。
【难度系数】
0.7
要解决该题，需分三步思考：第一步，利用多项式乘多项式的法则分别展开不等式左右两边的整式乘积，展开时注意不要漏乘项、不要弄错符号；第二步，通过移项、合并同类项将不等式化简为一元一次不等式，求出x的取值范围，注意不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变；第三步，在x的取值范围内筛选出所有非负整数（即大于等于0的整数）即可得到答案。
【解析】
解：首先展开不等式左右两边的式子：
左边$(3x+2)(3x-4)=9x^2-12x+6x-8=9x^2-6x-8$，
右边$9(x-2)(x+3)=9(x^2+3x-2x-6)=9(x^2+x-6)=9x^2+9x-54$，
代入原不等式得：$9x^2-6x-8＞9x^2+9x-54$，
移项合并同类项：$-15x＞-46$，
两边同时除以$-15$，不等号方向改变，解得$x＜\frac{46}{15}$，
$\because x$为非负整数，$\frac{46}{15}\approx3.07$，
$\therefore$符合条件的非负整数为0,1,2,3。
【答案】
0,1,2,3
【知识点】
整式的乘法，解一元一次不等式，非负整数概念
【点评】
本题属于基础综合题，重点考察整式乘法运算的准确性和一元一次不等式的求解规则，解题时容易在多项式展开漏乘、除以负数忘记变不等号、遗漏0为非负整数这几个地方出错，需格外注意。
【难度系数】
0.7
12.（12分）传统文化情境 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是长方形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”.如图所示的手卷长为100 dm，宽为4 dm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为10 dm.若隔水的宽为x dm，求画心的面积.（用含x的式子表示）
答案
解:根据题意,得画心的面积为$(100 - 2×10 -4x)(4 -2x)=8x^2 -176x +320(\mathrm{dm}^2)$。
解析
【分析】
要计算画心的面积，首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，因此需要先分别求出画心的长和宽：
1. 求画心的宽：手卷总宽为4 dm，上下各有宽度为x dm的隔水，因此画心的宽需要减去上下2段隔水的宽度，即$(4-2x)\mathrm{dm}$；
2. 求画心的长：手卷总长为100 dm，先减去引首、拖尾各10 dm的宽度，再减去横向共4段隔水的宽度（每段x dm），即可得到画心的长为$(100-2×10-4x)\mathrm{dm}$；
最后将画心的长和宽相乘，通过整式乘法展开化简即可得到面积的表达式。
【解析】
首先计算画心的长：
总长减去引首、拖尾的宽度，再减去4段隔水的宽度，得长为：
$100 - 2×10 - 4x = 80 - 4x$（dm）
再计算画心的宽：
总宽减去上下2段隔水的宽度，得宽为：
$4 - 2x$（dm）
根据长方形面积公式，画心的面积为长×宽：
$\begin{aligned}&(80 - 4x)(4 - 2x)\\=&320 - 160x - 16x + 8x^2\\=&8x^2 - 176x + 320\end{aligned}$
单位为$\mathrm{dm}^2$。
【答案】
$(100 - 2×10 -4x)(4 -2x)=8x^2 - 176x + 320(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
长方形面积计算；整式的乘法；列代数式
【点评】
本题结合传统国画装裱的情境命题，考查读图提取数量关系、列代数式及整式化简的能力，解题的核心是准确数出隔水的段数，正确计算画心的长和宽。
【难度系数】
0.7
要计算画心的面积，首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，因此需要先分别求出画心的长和宽：
1. 求画心的宽：手卷总宽为4 dm，上下各有宽度为x dm的隔水，因此画心的宽需要减去上下2段隔水的宽度，即$(4-2x)\mathrm{dm}$；
2. 求画心的长：手卷总长为100 dm，先减去引首、拖尾各10 dm的宽度，再减去横向共4段隔水的宽度（每段x dm），即可得到画心的长为$(100-2×10-4x)\mathrm{dm}$；
最后将画心的长和宽相乘，通过整式乘法展开化简即可得到面积的表达式。
【解析】
首先计算画心的长：
总长减去引首、拖尾的宽度，再减去4段隔水的宽度，得长为：
$100 - 2×10 - 4x = 80 - 4x$（dm）
再计算画心的宽：
总宽减去上下2段隔水的宽度，得宽为：
$4 - 2x$（dm）
根据长方形面积公式，画心的面积为长×宽：
$\begin{aligned}&(80 - 4x)(4 - 2x)\\=&320 - 160x - 16x + 8x^2\\=&8x^2 - 176x + 320\end{aligned}$
单位为$\mathrm{dm}^2$。
【答案】
$(100 - 2×10 -4x)(4 -2x)=8x^2 - 176x + 320(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
长方形面积计算；整式的乘法；列代数式
【点评】
本题结合传统国画装裱的情境命题，考查读图提取数量关系、列代数式及整式化简的能力，解题的核心是准确数出隔水的段数，正确计算画心的长和宽。
【难度系数】
0.7
13.(12分)甲、乙两名同学共同计算一道整式乘法$(2x+a)(3x+b)$，甲由于抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$；乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$。
(1)请你求出$a,b$的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果。
(1)请你求出$a,b$的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果。
答案
13. 解:(1)由题意,得$(2x -a)(3x +b)=6x^2 +(2b -3a)x -ab=6x^2 +11x -10$,$(2x +a)(x +b)=2x^2 +(a +2b)x +ab=2x^2 -9x +10$。$\therefore \begin{cases}2b -3a=11,\\a +2b=-9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-5,\\b=-2.\end{cases}$(2)$(2x -5)(3x -2)=6x^2 -4x -15x +10=6x^2 -19x +10$。
解析
【分析】
解题思路可从两人的错误计算场景推导：①甲抄错了第一个多项式中a的符号，即他实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$，将该式展开后和甲得到的结果对比，同类项系数对应相等，可得到第一个关于a、b的方程；②乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即把3x误写为x，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$，展开后和乙的结果对比，可得到第二个关于a、b的方程；联立两个方程组成方程组即可求出a、b的值，最后将a、b代入原式计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 根据题意分析两人的计算过程：
甲的计算式展开为：
$(2x - a)(3x + b)=6x^2 + 2bx - 3ax - ab=6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
和甲的结果$6x^2 + 11x - 10$对应系数相等，得：$2b - 3a = 11$。
乙的计算式展开为：
$(2x + a)(x + b)=2x^2 + 2bx + ax + ab=2x^2 + (a + 2b)x + ab$
和乙的结果$2x^2 - 9x + 10$对应系数相等，得：$a + 2b = -9$。
联立方程组：
$\begin{cases}2b - 3a=11\\a + 2b=-9\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$2b$，得：$-4a=20$，解得$a=-5$。
将$a=-5$代入$a + 2b=-9$，得：$-5 + 2b=-9$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=-5$、$b=-2$代入原式计算：
$(2x - 5)(3x - 2)=6x^2 - 4x - 15x + 10=6x^2 - 19x + 10$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=-5\\b=-2\end{cases}$；(2) $6x^2 - 19x + 10$
【知识点】
整式乘法运算，二元一次方程组求解，多项式系数对应相等
【点评】
本题结合了整式乘法和方程组的知识点，解题关键是从错误计算场景中提取不变的运算关系，利用同类项系数相等建立方程，能很好地考察学生的分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可从两人的错误计算场景推导：①甲抄错了第一个多项式中a的符号，即他实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$，将该式展开后和甲得到的结果对比，同类项系数对应相等，可得到第一个关于a、b的方程；②乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即把3x误写为x，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$，展开后和乙的结果对比，可得到第二个关于a、b的方程；联立两个方程组成方程组即可求出a、b的值，最后将a、b代入原式计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 根据题意分析两人的计算过程：
甲的计算式展开为：
$(2x - a)(3x + b)=6x^2 + 2bx - 3ax - ab=6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
和甲的结果$6x^2 + 11x - 10$对应系数相等，得：$2b - 3a = 11$。
乙的计算式展开为：
$(2x + a)(x + b)=2x^2 + 2bx + ax + ab=2x^2 + (a + 2b)x + ab$
和乙的结果$2x^2 - 9x + 10$对应系数相等，得：$a + 2b = -9$。
联立方程组：
$\begin{cases}2b - 3a=11\\a + 2b=-9\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$2b$，得：$-4a=20$，解得$a=-5$。
将$a=-5$代入$a + 2b=-9$，得：$-5 + 2b=-9$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=-5$、$b=-2$代入原式计算：
$(2x - 5)(3x - 2)=6x^2 - 4x - 15x + 10=6x^2 - 19x + 10$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=-5\\b=-2\end{cases}$；(2) $6x^2 - 19x + 10$
【知识点】
整式乘法运算，二元一次方程组求解，多项式系数对应相等
【点评】
本题结合了整式乘法和方程组的知识点，解题关键是从错误计算场景中提取不变的运算关系，利用同类项系数相等建立方程，能很好地考察学生的分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
14.（10分）渗透数形结合思想（教材P107练习T2变式）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，例如，$(m+n)(m+n)=m^2+2mn+n^2$就能用如图①所示的图形的面积表示.
（1）写出图②表示的等式：$\underline{\hspace{5cm}}$；
（2）画出一个图形，使它的面积能表示等式$(m+n)(m+3n)=m^2+4mn+3n^2$.
（1）写出图②表示的等式：$\underline{\hspace{5cm}}$；
（2）画出一个图形，使它的面积能表示等式$(m+n)(m+3n)=m^2+4mn+3n^2$.
答案
14. 解:(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$ (2)如图所示.(答案不唯一)
解析
【分析】
（1）解决第一问可以通过两种方法计算大长方形面积推导等式：首先确定大长方形的长和宽，用“长×宽”得到整体面积；再分别计算内部每个小图形的面积求和，两种方式得到的面积相等即可列出等式。观察图②可知长为2m+n、宽为m+n，拆分后小图形包含2个$m^2$、3个$mn$、1个$n^2$，联立即可得到结果。
（2）解决第二问时，将等式左边$(m+n)(m+3n)$看作大长方形的长和宽：长为$m+3n$，宽为$m+n$，再根据等式右边的项$m^2+4mn+3n^2$，把大长方形划分成对应面积的小图形即可。
【解析】
（1）①求图②大长方形的整体面积：
横向长为$m+m+n=2m+n$，纵向宽为$m+n$，因此整体面积为$(2m+n)(m+n)$。
②求各小图形的面积和：
图中有2个面积为$m^2$的正方形，3个面积为$mn$的长方形，1个面积为$n^2$的正方形，总面积为$2m^2+3mn+n^2$。
③联立两种面积表达式，可得等式：$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$。
（2）作图思路：画一个大长方形，长设为$m+3n$（将长分为1段$m$和3段长度为$n$的部分），宽设为$m+n$（将宽分为1段$m$和1段长度为$n$的部分），沿分割线把大长方形拆分，即可得到1个$m^2$、4个$mn$、3个$n^2$的小图形，符合等式的面积关系。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$
(2)如图所示.
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法的几何意义、数形结合思想
【点评】
本题结合图形面积考查整式乘法的应用，既需要熟练掌握多项式乘法的计算法则，也需要建立“图形面积两种表示方式相等”的思维，能有效锻炼数形结合的数学思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问可以通过两种方法计算大长方形面积推导等式：首先确定大长方形的长和宽，用“长×宽”得到整体面积；再分别计算内部每个小图形的面积求和，两种方式得到的面积相等即可列出等式。观察图②可知长为2m+n、宽为m+n，拆分后小图形包含2个$m^2$、3个$mn$、1个$n^2$，联立即可得到结果。
（2）解决第二问时，将等式左边$(m+n)(m+3n)$看作大长方形的长和宽：长为$m+3n$，宽为$m+n$，再根据等式右边的项$m^2+4mn+3n^2$，把大长方形划分成对应面积的小图形即可。
【解析】
（1）①求图②大长方形的整体面积：
横向长为$m+m+n=2m+n$，纵向宽为$m+n$，因此整体面积为$(2m+n)(m+n)$。
②求各小图形的面积和：
图中有2个面积为$m^2$的正方形，3个面积为$mn$的长方形，1个面积为$n^2$的正方形，总面积为$2m^2+3mn+n^2$。
③联立两种面积表达式，可得等式：$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$。
（2）作图思路：画一个大长方形，长设为$m+3n$（将长分为1段$m$和3段长度为$n$的部分），宽设为$m+n$（将宽分为1段$m$和1段长度为$n$的部分），沿分割线把大长方形拆分，即可得到1个$m^2$、4个$mn$、3个$n^2$的小图形，符合等式的面积关系。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$
(2)如图所示.
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法的几何意义、数形结合思想
【点评】
本题结合图形面积考查整式乘法的应用，既需要熟练掌握多项式乘法的计算法则，也需要建立“图形面积两种表示方式相等”的思维，能有效锻炼数形结合的数学思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
