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9. 用计算器比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}与\sqrt[3]{0.23}$的大小.
答案
1. 计算$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
用计算器求得$\sqrt{5}\approx2.236$，
则$\sqrt{5}-1\approx2.236 - 1=1.236$，
$\frac{1.236}{2}\approx0.618$。
2. 计算$\sqrt[3]{0.23}$：
用计算器求得$\sqrt[3]{0.23}\approx0.612$。
3. 比较大小：
因为$0.618＞0.612$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\sqrt[3]{0.23}$。
结论：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\sqrt[3]{0.23}$
用计算器求得$\sqrt{5}\approx2.236$，
则$\sqrt{5}-1\approx2.236 - 1=1.236$，
$\frac{1.236}{2}\approx0.618$。
2. 计算$\sqrt[3]{0.23}$：
用计算器求得$\sqrt[3]{0.23}\approx0.612$。
3. 比较大小：
因为$0.618＞0.612$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\sqrt[3]{0.23}$。
结论：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\sqrt[3]{0.23}$
10. 如图,长方形$ABCD的边AD$长为 2,$AB$长为 1,点$A在数轴上对应的实数是-1$,以点$A$为圆心,对角线$AC$长为半径画弧,交数轴于点$E$,则点$E$对应的实数是
$\sqrt{5}-1$
.答案
$\sqrt{5}-1$
解析
已知长方形$ABCD$的边$AD = 2$，$AB = 1$，根据勾股定理可得对角线$AC$的长度为：
$AC=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$
因为以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧交数轴于点$E$，所以$AE = AC=\sqrt{5}$。
又因为点$A$在数轴上对应的实数是$-1$，设点$E$对应的实数为$x$，则$AE=x-(-1)=x + 1$，即$x + 1=\sqrt{5}$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
$AC=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$
因为以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧交数轴于点$E$，所以$AE = AC=\sqrt{5}$。
又因为点$A$在数轴上对应的实数是$-1$，设点$E$对应的实数为$x$，则$AE=x-(-1)=x + 1$，即$x + 1=\sqrt{5}$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
11. 用计算器探索：
(1)$\sqrt{1^{3}}=$
(2)$\sqrt{1^{3}+2^{3}}=$
(3)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=$
(4)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=$
……
(5)通过观察,我们发现：$\sqrt{1^{3}+2^{3}+…+n^{3}}=$
(1)$\sqrt{1^{3}}=$
1
；(2)$\sqrt{1^{3}+2^{3}}=$
3
；(3)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=$
6
；(4)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=$
10
；……
(5)通过观察,我们发现：$\sqrt{1^{3}+2^{3}+…+n^{3}}=$
$\frac{n(n+1)}{2}$
($n$为正整数).答案
(1) $1$；
(2) $3$；
(3) $6$；
(4) $10$；
(5) $\frac{n(n+1)}{2}$（或者填 $1+2+3+...+n$ 的求和公式形式）
(2) $3$；
(3) $6$；
(4) $10$；
(5) $\frac{n(n+1)}{2}$（或者填 $1+2+3+...+n$ 的求和公式形式）
解析
(1) 计算 $\sqrt{1^3}$：
$\sqrt{1^3} = \sqrt{1} = 1$；
(2) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 = 1 + 2$；
(3) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3} = \sqrt{1 + 8 + 27} = \sqrt{36} = 6 = 1 + 2 + 3$；
(4) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3} = \sqrt{1 + 8 + 27 + 64} = \sqrt{100} = 10 = 1 + 2 + 3 + 4$；
(5) 通过观察，可以发现：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3} = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$。
$\sqrt{1^3} = \sqrt{1} = 1$；
(2) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 = 1 + 2$；
(3) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3} = \sqrt{1 + 8 + 27} = \sqrt{36} = 6 = 1 + 2 + 3$；
(4) 计算 $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}$：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3} = \sqrt{1 + 8 + 27 + 64} = \sqrt{100} = 10 = 1 + 2 + 3 + 4$；
(5) 通过观察，可以发现：
$\sqrt{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3} = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$。
12. 已知$5a+2$的立方根是 3,$3a+b-1$的算术平方根是 4,$c是\sqrt{17}$的整数部分.求：
(1)$7-\sqrt{17}$的小数部分；
(2)$3a-b+c$的平方根.
(1)$7-\sqrt{17}$的小数部分；
(2)$3a-b+c$的平方根.
答案
(1)$5 - \sqrt{17}$；
(2)$\pm\sqrt{17}$。
(2)$\pm\sqrt{17}$。
解析
答题卡：
(1)
因为$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$，
所以$-5 ＜ -\sqrt{17} ＜ -4$，
则$7 - 5 ＜ 7 - \sqrt{17} ＜ 7 - 4$，
即$2 ＜ 7 - \sqrt{17} ＜ 3$，
所以$7 - \sqrt{17}$的整数部分是$2$，小数部分为$7 - \sqrt{17} - 2 = 5 - \sqrt{17}$。
(2)
因为$5a + 2$的立方根是$3$，所以$5a + 2 = 3^3 = 27$，解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，将$a = 5$代入得$15 + b - 1 = 16$，解得$b = 2$。
因为$c$是$\sqrt{17}$的整数部分，$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$，所以$c = 4$。
则$3a - b + c = 3×5 - 2 + 4 = 17$，
$17$的平方根为$\pm\sqrt{17}$。
(1)
因为$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$，
所以$-5 ＜ -\sqrt{17} ＜ -4$，
则$7 - 5 ＜ 7 - \sqrt{17} ＜ 7 - 4$，
即$2 ＜ 7 - \sqrt{17} ＜ 3$，
所以$7 - \sqrt{17}$的整数部分是$2$，小数部分为$7 - \sqrt{17} - 2 = 5 - \sqrt{17}$。
(2)
因为$5a + 2$的立方根是$3$，所以$5a + 2 = 3^3 = 27$，解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，将$a = 5$代入得$15 + b - 1 = 16$，解得$b = 2$。
因为$c$是$\sqrt{17}$的整数部分，$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$，所以$c = 4$。
则$3a - b + c = 3×5 - 2 + 4 = 17$，
$17$的平方根为$\pm\sqrt{17}$。
13. 如图,长方形$ABCD的面积为300cm^{2}$,长和宽的比为$3:2$.在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为$147cm^{2}$的圆？请通过计算说明理由.($\pi$取 3)
答案
设长方形的长为$3xcm$，宽为$2xcm$。
根据题意，得$3x \cdot 2x = 300$，
解得$x^{2} = 50$，
因为$x ＞ 0$，
所以$x = 5\sqrt{2}$，
所以长方形的长为$15\sqrt{2}cm$，宽为$10\sqrt{2}cm$。
圆的面积为$147cm^2$，
由$\pi r^{2} = 147$，$\pi$取3，
得$r^{2} = 49$，
因为$r ＞ 0$，
所以$r = 7cm$。
两个圆的直径和为$28cm$，
因为$15\sqrt{2}\approx21.21＜ 28$，
所以不能并排裁出两个面积均为$147cm^2$的圆。
根据题意，得$3x \cdot 2x = 300$，
解得$x^{2} = 50$，
因为$x ＞ 0$，
所以$x = 5\sqrt{2}$，
所以长方形的长为$15\sqrt{2}cm$，宽为$10\sqrt{2}cm$。
圆的面积为$147cm^2$，
由$\pi r^{2} = 147$，$\pi$取3，
得$r^{2} = 49$，
因为$r ＞ 0$，
所以$r = 7cm$。
两个圆的直径和为$28cm$，
因为$15\sqrt{2}\approx21.21＜ 28$，
所以不能并排裁出两个面积均为$147cm^2$的圆。
