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1. 如图,建立适当的平面直角坐标系后,正方形网格上的点 $ M $,$ N $ 的坐标分别为 $ (0,2) $,$ (1,1) $,则点 $ P $ 的坐标为(
A.$ (-1,2) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (-2,1) $
D.$ (1,-2) $
B
)A.$ (-1,2) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (-2,1) $
D.$ (1,-2) $
答案
B
解析
由点M(0,2)可知其在y轴上，向上2个单位；点N(1,1)在M右侧1个单位，下方1个单位。观察网格，P在N右侧1个单位，下方2个单位，故P的坐标为(1+1,1-2)=(2,-1)。
2. 如图,将长为 $ 3 $ 的长方形 $ ABCD $ 放在平面直角坐标系中,若点 $ D $ 的坐标为 $ (6,3) $,则点 $ A $ 的坐标为(
A.$ (5,3) $
B.$ (4,3) $
C.$ (4,2) $
D.$ (3,3) $
D
)A.$ (5,3) $
B.$ (4,3) $
C.$ (4,2) $
D.$ (3,3) $
答案
D
解析
由图可知，长方形ABCD中AD为长，AD=3。点D坐标为(6,3)，因为AD在水平方向（y坐标相同），且A在D左侧，所以点A的横坐标为6-3=3，纵坐标与D相同为3，即A(3,3)。
3. 等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = AC = 5 $,$ BC = 6 $,建立适当的平面直角坐标系,使 $ B $,$ C $ 两点落在 $ x $ 轴上,且关于 $ y $ 轴对称,则点 $ A $ 的坐标为(
A.$ (0,4) $
B.$ (0,-4) $
C.$ (0,4) $ 或 $ (0,-4) $
D.无法确定
C
)A.$ (0,4) $
B.$ (0,-4) $
C.$ (0,4) $ 或 $ (0,-4) $
D.无法确定
答案
C
解析
以BC中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系。则B(-3,0)，C(3,0)。设A(0,y)，由AB=5，得√[(0+3)²+(y-0)²]=5，解得y=±4，故A(0,4)或(0,-4)。
4. 已知点 $ A(1,4) $,$ B(0,2) $,$ C(4,0) $,则 $ \triangle ABC $ 的周长为
$3\sqrt{5}+5$
。答案
$3\sqrt{5}+5$
解析
∵点$A(1,4)$，$B(0,2)$，$C(4,0)$，
∴由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(1-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，
∴$\triangle ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5=3\sqrt{5}+5$。
∴由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(1-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，
∴$\triangle ABC$的周长为$AB+BC+AC=\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5=3\sqrt{5}+5$。
5. 如图,在平面直角坐标系中,$ \angle BAC = 120^{\circ} $,$ AB = AC $,$ BC = 4 $,则 $ A $(
0
,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
),$ B $(-2
,0
),$ C $(2
,0
)。答案
$0$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；$-2$，$0$；$2$，$0$。
解析
由于$AB = AC$，且$\angle BAC = 120°$，
根据等腰三角形的性质，可得$\angle ABC = \angle ACB = 30°$，
作$AD\bot BC$于$D$，
则$D$为$BC$的中点，
因为$BC = 4$，
所以$BD=CD = 2$，
在直角三角形$ABD$中，$\angle ABC = 30°$，
所以$AD=\frac{1}{2}AB$，
设$AD = x$，则$AB = 2x$，
根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，
即$(2x)^{2}=x^{2}+2^{2}$，
$4x^{2}=x^{2}+4$，
$3x^{2}=4$，
$x^{2}=\frac{4}{3}$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（取正值），
所以$A(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$B(-2,0)$，$C(2,0)$。
根据等腰三角形的性质，可得$\angle ABC = \angle ACB = 30°$，
作$AD\bot BC$于$D$，
则$D$为$BC$的中点，
因为$BC = 4$，
所以$BD=CD = 2$，
在直角三角形$ABD$中，$\angle ABC = 30°$，
所以$AD=\frac{1}{2}AB$，
设$AD = x$，则$AB = 2x$，
根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，
即$(2x)^{2}=x^{2}+2^{2}$，
$4x^{2}=x^{2}+4$，
$3x^{2}=4$，
$x^{2}=\frac{4}{3}$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（取正值），
所以$A(0,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$B(-2,0)$，$C(2,0)$。
6. 小明家在学校的正东方向 $ 400m $ 处,从小明家出发向正南走 $ 500m $ 就到了小华家。若选取小华家为原点,分别以正东、正北方向为 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正方向,以 $ 100m $ 为一个单位长度建立平面直角坐标系,则学校的坐标为
(-4,5)
。答案
(-4,5)
解析
以小华家为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，100m为1个单位长度。小明家在小华家正北500m处，故小明家坐标为(0,5)。学校在小明家正西400m处，即小明家x坐标减4，y坐标不变，所以学校坐标为(0-4,5)=(-4,5)。
7. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 $,建立适当的平面直角坐标系,并写出各个顶点的坐标。
答案
建立平面直角坐标系：以正方形的一个顶点 $A$ 为坐标原点 $(0,0)$，$AB$ 边所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 边所在直线为 $y$ 轴。
根据正方形边长为 $4$，可得：
$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$。
根据正方形边长为 $4$，可得：
$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$。
8. 如图,在 $ 9 × 9 $ 网格中,每个小正方形的边长均为 $ 1 $,正方形 $ ABCD $ 的顶点都在网格的格点上。
(1)求正方形 $ ABCD $ 的面积和边长；
(2)建立平面直角坐标系,写出四个顶点的坐标。
(1)求正方形 $ ABCD $ 的面积和边长；
(2)建立平面直角坐标系,写出四个顶点的坐标。
答案
(1)
方法一：用正方形面积公式求
正方形 $ABCD$ 边长 $a=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$，面积 $S = a^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10$。
方法二：用大正方形面积减四个三角形面积求
大正方形边长为 $4$，面积为 $4×4 = 16$，四个三角形每个面积为 $\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，四个三角形总面积为 $4×\frac{3}{2}=6$，所以正方形 $ABCD$ 面积 $S=16 - 6 = 10$，边长 $a=\sqrt{10}$。
(2)
以点 $A$ 为原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系，则 $A(0,0)$，$B(3, - 1)$，$C(4,2)$，$D(1,3)$。
方法一：用正方形面积公式求
正方形 $ABCD$ 边长 $a=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$，面积 $S = a^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10$。
方法二：用大正方形面积减四个三角形面积求
大正方形边长为 $4$，面积为 $4×4 = 16$，四个三角形每个面积为 $\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，四个三角形总面积为 $4×\frac{3}{2}=6$，所以正方形 $ABCD$ 面积 $S=16 - 6 = 10$，边长 $a=\sqrt{10}$。
(2)
以点 $A$ 为原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系，则 $A(0,0)$，$B(3, - 1)$，$C(4,2)$，$D(1,3)$。
9. 如图,在长方形 $ ABCD $ 中,已知 $ AB = 6 $,$ AD = 4 $,在长方形 $ ABCD $ 外画 $ \triangle ABE $,使 $ AE = BE = 5 $,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标。
答案
以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
长方形ABCD顶点坐标：
A(0,0)
∵AB=6，∴B(6,0)
∵AD=4，∴D(0,4)
C(6,4)
△ABE中，AE=BE=5，E在AB垂直平分线上。AB中点为(3,0)，设E(3,y)。由AE=5得：
√[(3-0)²+(y-0)²]=5，解得y=±4。
∵E在长方形外，长方形上边界为y=4，y=4时E在边上，舍去；故y=-4，E(3,-4)。
各顶点坐标：A(0,0)，B(6,0)，C(6,4)，D(0,4)，E(3,-4)。
长方形ABCD顶点坐标：
A(0,0)
∵AB=6，∴B(6,0)
∵AD=4，∴D(0,4)
C(6,4)
△ABE中，AE=BE=5，E在AB垂直平分线上。AB中点为(3,0)，设E(3,y)。由AE=5得：
√[(3-0)²+(y-0)²]=5，解得y=±4。
∵E在长方形外，长方形上边界为y=4，y=4时E在边上，舍去；故y=-4，E(3,-4)。
各顶点坐标：A(0,0)，B(6,0)，C(6,4)，D(0,4)，E(3,-4)。
