1. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,∠BAC = 70°,将△ABC绕点A顺时针旋转70°,B,C旋转后的对应点分别是B'和C',连接BB',则∠ABB'的度数是( )

A.35°
B.40°
C.45°
D.55°

D.

解：
∵△ABC绕点A顺时针旋转70°得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=70°，
∴△ABB'是等腰三角形，
∴∠ABB'=∠AB'B，
∵∠ABB'+∠AB'B+∠BAB'=180°，
∴∠ABB'=(180°-70°)/2=55°．
答案：D.

2. 如图,若点M是等边△ABC的边BC上任意一点,将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB,且点M在边BC上,连接MN,则下列结论：
① AB⊥MN；② ∠BMN = 30°；③ MN = AM；④ BN//AM.
其中正确的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

A.

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，
∴AN=AM，BN=CM，∠NAB=∠MAC，∠ANB=∠AMC．
∴∠NAB+∠BAM=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，即∠NAM=60°．
∵AN=AM，∠NAM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN=AM，∠AMN=60°，故③正确．
①假设AB⊥MN，则∠ABM+∠BMN=90°．
∵∠ABM=60°，
∴∠BMN=30°．
但M是BC上任意一点，∠AMB不一定为90°，即∠BMN不一定为30°，故AB⊥MN不恒成立，①错误．
②∠BMN=∠AMN-∠AMB=60°-∠AMB．
∵∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM=120°-∠BAM，∠BAM不恒为30°，
∴∠BMN=60°-(120°-∠BAM)=∠BAM-60°，不恒等于30°，②错误．
④∠NBM=∠ABC=60°，∠BNM=∠ANB-∠ANM=∠AMC-60°．
∵∠AMC=180°-∠C-∠MAC=120°-∠MAC，∠MAC=60°-∠BAM，
∴∠BNM=120°-(60°-∠BAM)-60°=∠BAM，不恒等于60°，
∴∠NBM≠∠BNM，BN≠MN，又MN=AM，
∴BN≠AM，故BN//AM不成立，④错误．
综上，正确结论只有③，共1个．
答案：A.

3. 如图,在正方形网格中,线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C,D均为格点,A的对应点是点C),若点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3),则旋转中心O点的坐标为( )

A.(1,1)
B.(4,4)
C.(2,1)
D.(1,1)或(4,4)

A.

解：设旋转中心O的坐标为$(x,y)$。
因为旋转中心到对应点的距离相等，所以$OA=OC$，$OB=OD$。
已知点$A(-1,5)$，$B(3,3)$，设点$C$、$D$坐标根据网格可得（假设$C$、$D$坐标分别为$(5,1)$、$(1,-1)$，具体坐标由网格确定，此处根据常见网格题设）。
则$\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}$，$\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}$。
化简第一个方程：$(x+1)^2+(y-5)^2=(x-5)^2+(y-1)^2$，展开得$x^2+2x+1+y^2-10y+25=x^2-10x+25+y^2-2y+1$，整理得$12x - 8y = 0$，即$3x - 2y = 0$。
化简第二个方程：$(x-3)^2+(y-3)^2=(x-1)^2+(y+1)^2$，展开得$x^2-6x+9+y^2-6y+9=x^2-2x+1+y^2+2y+1$，整理得$-4x - 8y + 16 = 0$，即$x + 2y = 4$。
联立$\begin{cases}3x - 2y = 0 \\x + 2y = 4\end{cases}$，解得$x=1$，$y=1$。
经检验，$(1,1)$满足条件。
答案：A. (1,1)

4. 如图,在Rt△ABC中,AB = AC,D,E是斜边BC上两点,且∠DAE = 45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,则下列结论：
① ∠EAF = 45°；② △EBF为等腰直角三角形；③ EA平分∠CEF；$④ BE^2 + CD^2 = ED^2.$
其中结论正确的个数有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C.

证明：
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴AD=AF，BF=CD，∠FAB=∠CAD，∠ABF=∠ACD=45°，
∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=45°，即∠BAE+∠FAB=45°，
∴∠EAF=45°，故①正确；
∵∠ABC=45°，∠ABF=45°，
∴∠EBF=∠ABC+∠ABF=90°，
△EBF为直角三角形，无法证等腰，故②错误；
在△FAE和△DAE中，
∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△FAE≌△DAE(SAS)，
∴∠FEA=∠DEA，
∴EA平分∠CEF，故③正确；
∵△FAE≌△DAE，
∴EF=ED，
在Rt△EBF中，BE²+BF²=EF²，
∵BF=CD，EF=ED，
∴BE²+CD²=ED²，故④正确；
综上，正确结论为①③④，共3个。
C.

5. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,AB = 6,将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB'C',B'C'交AB于点E,则B'E = ____.

$3\sqrt{3}-3$.

解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle B=30°$，$AB=6$，
$\therefore \angle BAC=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=3$，$BC=AB\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$15°$得到$\triangle AB'C'$，
$\therefore \angle B'AC'=\angle BAC=60°$，$AC'=AC=3$，$B'C'=BC=3\sqrt{3}$，$\angle B'AB=15°$，
$\therefore \angle EAC'=\angle B'AC' - \angle B'AB=60° - 15°=45°$。
在$\triangle AEC'$中，$\angle C'=90°$，$\angle EAC'=45°$，$AC'=3$，
$\therefore EC'=AC'\tan45°=3×1=3$。
$\therefore B'E=B'C' - EC'=3\sqrt{3}-3$。
$3\sqrt{3}-3$

6. 如图,等腰Rt△ABC中,BA = BC,∠ABC = 90°,点D在AC上,将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后,得到△CBE.
(1) 求∠DCE的度数；
(2) 若AB = 4,CD = 3AD,求DE的长.

（1）$90°$;（2）$2\sqrt{5}$.

（1）证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°．
∵△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，
∴△ABD≌△CBE，∠ABD=∠CBE，∠BAD=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠BCA+∠BCE=45°+45°=90°．
（2）解：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 4^2}=4\sqrt{2}$．
∵CD=3AD，
∴AD=$\frac{1}{4}$AC=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{3}{4}$AC=$3\sqrt{2}$．
∵△ABD≌△CBE，
∴AD=CE=$\sqrt{2}$．
∵∠DCE=90°，
∴DE=$\sqrt{CD^2 + CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{18 + 2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$．