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1.(2024文山期中)数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-3xy(4y-2x-1)=-12xy^2+6x^2y+■$. ■的地方被墨水弄污了，你认为■内应填写().
A.$3xy$
B.$-3xy$
C.$-1$
D.$1$
A.$3xy$
B.$-3xy$
C.$-1$
D.$1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。本题中已经给出运算结果的前两项，只需要计算出单项式乘多项式最后一项的结果，即可得到被墨水污损的部分，计算时要注意符号的处理。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算：
$-3xy(4y-2x-1)$
$=-3xy·4y + (-3xy)·(-2x) + (-3xy)·(-1)$
$=-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$
对比等式右边的式子，可知■内应填写$3xy$。
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要注意不要漏乘多项式中的常数项，同时要准确判断每一项乘积的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需回忆单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。本题中已经给出运算结果的前两项，只需要计算出单项式乘多项式最后一项的结果，即可得到被墨水污损的部分，计算时要注意符号的处理。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算：
$-3xy(4y-2x-1)$
$=-3xy·4y + (-3xy)·(-2x) + (-3xy)·(-1)$
$=-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$
对比等式右边的式子，可知■内应填写$3xy$。
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要注意不要漏乘多项式中的常数项，同时要准确判断每一项乘积的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x^2 -2x +1=0$，则代数式$x(x-2)+3$的值为().
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
遇到已知方程求代数式值的题目，可优先用整体代入法简化计算：首先利用单项式乘多项式的法则化简待求代数式，再从已知方程中推导出化简后代数式含有的整体项的值，最后代入计算即可，无需先求解x的具体数值。
【解析】
1. 化简待求代数式
根据单项式乘多项式的法则展开计算：
$x(x-2)+3 = x^2 - 2x + 3$
2. 从已知方程推导整体值
已知$x^2 -2x +1=0$，移项可得：
$x^2 - 2x = -1$
3. 整体代入求值
将$x^2 - 2x = -1$代入化简后的式子：
原式$= -1 + 3 = 2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值，运用整体代入的思路可以快速得到结果，避免了解方程的多余步骤，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
遇到已知方程求代数式值的题目，可优先用整体代入法简化计算：首先利用单项式乘多项式的法则化简待求代数式，再从已知方程中推导出化简后代数式含有的整体项的值，最后代入计算即可，无需先求解x的具体数值。
【解析】
1. 化简待求代数式
根据单项式乘多项式的法则展开计算：
$x(x-2)+3 = x^2 - 2x + 3$
2. 从已知方程推导整体值
已知$x^2 -2x +1=0$，移项可得：
$x^2 - 2x = -1$
3. 整体代入求值
将$x^2 - 2x = -1$代入化简后的式子：
原式$= -1 + 3 = 2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值，运用整体代入的思路可以快速得到结果，避免了解方程的多余步骤，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1) $(-4x^2)(3x-1)$；
(2) $(3x^2y-4xy+1)(-\frac{1}{2}xy^2)$；
(3) $(2xy^2)^2(3x^2+y-1)$。
(1) $(-4x^2)(3x-1)$；
(2) $(3x^2y-4xy+1)(-\frac{1}{2}xy^2)$；
(3) $(2xy^2)^2(3x^2+y-1)$。
答案
解：
(1) 原式$=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)·(-1)$
$=-12x^3 + 4x^2$
(2) 原式$=3x^2y·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + (-4xy)·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + 1·(-\dfrac{1}{2}xy^2)$
$=-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2$
(3) 先计算乘方：$(2xy^2)^2=4x^2y^4$
原式$=4x^2y^4·(3x^2 + y - 1)$
$=4x^2y^4· 3x^2 + 4x^2y^4· y + 4x^2y^4·(-1)$
$=12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4$
(1) 原式$=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)·(-1)$
$=-12x^3 + 4x^2$
(2) 原式$=3x^2y·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + (-4xy)·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + 1·(-\dfrac{1}{2}xy^2)$
$=-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2$
(3) 先计算乘方：$(2xy^2)^2=4x^2y^4$
原式$=4x^2y^4·(3x^2 + y - 1)$
$=4x^2y^4· 3x^2 + 4x^2y^4· y + 4x^2y^4·(-1)$
$=12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4$
解析
【分析】
这三道题均属于单项式与多项式相乘的整式乘法运算，解题核心是运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。运算时需注意三点：一是不要漏乘多项式的任意一项；二是准确判断每一项乘积的符号；三是若式子中包含乘方运算，需先计算乘方，再进行乘法运算。第(1)问直接将$-4x^2$分别乘$3x-1$的两项，结合同底数幂乘法法则计算即可；第(2)问将$-\frac{1}{2}xy^2$分别乘多项式的三项，逐项计算后合并结果；第(3)问先根据积的乘方法则计算$(2xy^2)^2$，再将得到的单项式乘后续多项式的三项即可。
【解析】
(1) 根据乘法分配律展开计算：
原式$=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)·(-1)$
$=-12x^3 + 4x^2$
(2) 根据乘法分配律展开计算：
原式$=3x^2y·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + (-4xy)·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + 1·(-\dfrac{1}{2}xy^2)$
$=-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2$
(3) 先计算乘方，再展开计算：
先算乘方：$(2xy^2)^2=4x^2y^4$
原式$=4x^2y^4·(3x^2 + y - 1)$
$=4x^2y^4· 3x^2 + 4x^2y^4· y + 4x^2y^4·(-1)$
$=12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4$
【答案】
(1) $\boxed{-12x^3 + 4x^2}$
(2) $\boxed{-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2}$
(3) $\boxed{12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4}$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考察单项式乘多项式的运算法则，运算时要遵循“先乘方、再乘法”的顺序，同时要注意各项的符号和指数的运算，避免出现漏乘、符号错误或指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.85
这三道题均属于单项式与多项式相乘的整式乘法运算，解题核心是运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。运算时需注意三点：一是不要漏乘多项式的任意一项；二是准确判断每一项乘积的符号；三是若式子中包含乘方运算，需先计算乘方，再进行乘法运算。第(1)问直接将$-4x^2$分别乘$3x-1$的两项，结合同底数幂乘法法则计算即可；第(2)问将$-\frac{1}{2}xy^2$分别乘多项式的三项，逐项计算后合并结果；第(3)问先根据积的乘方法则计算$(2xy^2)^2$，再将得到的单项式乘后续多项式的三项即可。
【解析】
(1) 根据乘法分配律展开计算：
原式$=(-4x^2)· 3x + (-4x^2)·(-1)$
$=-12x^3 + 4x^2$
(2) 根据乘法分配律展开计算：
原式$=3x^2y·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + (-4xy)·(-\dfrac{1}{2}xy^2) + 1·(-\dfrac{1}{2}xy^2)$
$=-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2$
(3) 先计算乘方，再展开计算：
先算乘方：$(2xy^2)^2=4x^2y^4$
原式$=4x^2y^4·(3x^2 + y - 1)$
$=4x^2y^4· 3x^2 + 4x^2y^4· y + 4x^2y^4·(-1)$
$=12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4$
【答案】
(1) $\boxed{-12x^3 + 4x^2}$
(2) $\boxed{-\dfrac{3}{2}x^3y^3 + 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}xy^2}$
(3) $\boxed{12x^4y^4 + 4x^2y^5 - 4x^2y^4}$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考察单项式乘多项式的运算法则，运算时要遵循“先乘方、再乘法”的顺序，同时要注意各项的符号和指数的运算，避免出现漏乘、符号错误或指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.85
4.若$(-6x^3)(x^2 + ax - 3)$的展开式中不含$x^4$项，则$a$的值为().
A.1
B.0
C.-1
D.$\frac{1}{6}$
A.1
B.0
C.-1
D.$\frac{1}{6}$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再定位展开式中$x^4$项的系数；题目明确展开式不含$x^4$项，说明$x^4$项的系数为0，据此列关于$a$的方程，解方程即可求出$a$的取值。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(-6x^3)(x^2 + ax - 3)&=(-6x^3)· x^2 + (-6x^3)· ax + (-6x^3)· (-3)\\&=-6x^5 -6ax^4 + 18x^3\end{aligned}$
因为展开式不含$x^4$项，所以$x^4$项的系数为0，可得：
$-6a=0$
解得$a=0$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式项的系数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是理解“多项式不含某一项等价于该项的系数为0”，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再定位展开式中$x^4$项的系数；题目明确展开式不含$x^4$项，说明$x^4$项的系数为0，据此列关于$a$的方程，解方程即可求出$a$的取值。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(-6x^3)(x^2 + ax - 3)&=(-6x^3)· x^2 + (-6x^3)· ax + (-6x^3)· (-3)\\&=-6x^5 -6ax^4 + 18x^3\end{aligned}$
因为展开式不含$x^4$项，所以$x^4$项的系数为0，可得：
$-6a=0$
解得$a=0$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；整式项的系数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，解题核心是理解“多项式不含某一项等价于该项的系数为0”，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
5. 若$x(x^2+a)+3x-2b=x^3+5x+4$恒成立，则$a$，$b$的值分别为（）。
A.$-2,-2$
B.$2,2$
C.$2,-2$
D.$-2,2$
A.$-2,-2$
B.$2,2$
C.$2,-2$
D.$-2,2$
答案
C
解析
【分析】
要解决整式恒成立求参数的问题，思路如下：首先利用单项式乘多项式的法则展开等式左边的式子，再合并同类项；由于等式对任意x都恒成立，因此等式左右两边同类项的系数必须对应相等，据此列出关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的取值。
【解析】
第一步：展开并整理等式左边的整式
根据单项式乘多项式的运算规则：
$x(x^2+a)+3x-2b = x^3 + ax + 3x - 2b = x^3 + (a+3)x - 2b$
第二步：根据多项式恒等的性质列方程求解
已知$x^3 + (a+3)x - 2b = x^3+5x+4$恒成立，左右两边同类项的系数对应相等：
1. 一次项系数相等：$a+3=5$，解得$a=5-3=2$
2. 常数项相等：$-2b=4$，解得$b=4÷(-2)=-2$
因此a=2，b=-2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式，多项式恒等条件，解一元一次方程
【点评】
本题是整式运算章节的典型基础题，主要考查整式乘法运算与恒等式的性质，解题核心是掌握“恒成立的多项式中同类项系数对应相等”的规律，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决整式恒成立求参数的问题，思路如下：首先利用单项式乘多项式的法则展开等式左边的式子，再合并同类项；由于等式对任意x都恒成立，因此等式左右两边同类项的系数必须对应相等，据此列出关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的取值。
【解析】
第一步：展开并整理等式左边的整式
根据单项式乘多项式的运算规则：
$x(x^2+a)+3x-2b = x^3 + ax + 3x - 2b = x^3 + (a+3)x - 2b$
第二步：根据多项式恒等的性质列方程求解
已知$x^3 + (a+3)x - 2b = x^3+5x+4$恒成立，左右两边同类项的系数对应相等：
1. 一次项系数相等：$a+3=5$，解得$a=5-3=2$
2. 常数项相等：$-2b=4$，解得$b=4÷(-2)=-2$
因此a=2，b=-2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式，多项式恒等条件，解一元一次方程
【点评】
本题是整式运算章节的典型基础题，主要考查整式乘法运算与恒等式的性质，解题核心是掌握“恒成立的多项式中同类项系数对应相等”的规律，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 若$ab^2 = -\dfrac{1}{2}$，则$ab(a^2b^5 - ab^3 - b)$的值是。
答案
$\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
解题时首先利用单项式乘多项式的法则将所求式子展开，再根据积的乘方的性质，把展开后的各项变形为含$ab^2$的幂的形式，最后将已知条件$ab^2=-\dfrac{1}{2}$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}ab(a^2b^5 - ab^3 - b)&=ab· a^2b^5 + ab· (-ab^3) + ab· (-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
逆用积的乘方公式变形可得：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=-\dfrac{1}{2}$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\dfrac{1}{2})^3 - (-\dfrac{1}{2})^2 - (-\dfrac{1}{2})\\&=-\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\\&=-\dfrac{1}{8} - \dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8}\\&=\dfrac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
单项式乘多项式、积的乘方、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算的综合应用，核心是通过化简将所求式子转化为含已知代数式的形式，再利用整体代入思想计算，解题时要注意各项符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用单项式乘多项式的法则将所求式子展开，再根据积的乘方的性质，把展开后的各项变形为含$ab^2$的幂的形式，最后将已知条件$ab^2=-\dfrac{1}{2}$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}ab(a^2b^5 - ab^3 - b)&=ab· a^2b^5 + ab· (-ab^3) + ab· (-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
逆用积的乘方公式变形可得：$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=-\dfrac{1}{2}$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\dfrac{1}{2})^3 - (-\dfrac{1}{2})^2 - (-\dfrac{1}{2})\\&=-\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\\&=-\dfrac{1}{8} - \dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8}\\&=\dfrac{1}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
单项式乘多项式、积的乘方、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算的综合应用，核心是通过化简将所求式子转化为含已知代数式的形式，再利用整体代入思想计算，解题时要注意各项符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
7. 先化简,再求值:
$3a(2a^2 -4a +3) -2a^2(3a -4)$,其中$a=-2$.
$3a(2a^2 -4a +3) -2a^2(3a -4)$,其中$a=-2$.
答案
解：
原式$=3a· 2a^2 - 3a· 4a + 3a· 3 - 2a^2· 3a + 2a^2· 4$
$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 +8a^2$
$=-4a^2 +9a$
当$a=-2$时，
原式$=-4×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-4×4 -18$
$=-16-18$
$=-34$
原式$=3a· 2a^2 - 3a· 4a + 3a· 3 - 2a^2· 3a + 2a^2· 4$
$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 +8a^2$
$=-4a^2 +9a$
当$a=-2$时，
原式$=-4×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-4×4 -18$
$=-16-18$
$=-34$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路清晰分为三步：第一步先去括号，运用单项式乘多项式法则，用单项式分别乘多项式的每一项，注意第二个括号前是负号，去括号后各项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入数值计算，把a=-2代入化简后的式子求值，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
原式$=3a· 2a^2 - 3a· 4a + 3a· 3 - 2a^2· 3a + 2a^2· 4$
$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 +8a^2$
$=-4a^2 +9a$
当$a=-2$时，
原式$=-4×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-4×4 -18$
$=-16-18$
$=-34$
【答案】
$-34$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，解题时要格外注意去括号的符号变化，化简后代入求值能有效降低计算难度，运算时要注意乘方、乘法的计算顺序，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路清晰分为三步：第一步先去括号，运用单项式乘多项式法则，用单项式分别乘多项式的每一项，注意第二个括号前是负号，去括号后各项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入数值计算，把a=-2代入化简后的式子求值，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
原式$=3a· 2a^2 - 3a· 4a + 3a· 3 - 2a^2· 3a + 2a^2· 4$
$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 +8a^2$
$=-4a^2 +9a$
当$a=-2$时，
原式$=-4×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-4×4 -18$
$=-16-18$
$=-34$
【答案】
$-34$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，解题时要格外注意去括号的符号变化，化简后代入求值能有效降低计算难度，运算时要注意乘方、乘法的计算顺序，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
8.(运算能力)请先阅读下列解题过程,再回答后面的问题.
已知$x^2+x-1=0$,求$x^3+2x^2+3$的值.
解:$\because x^2+x-1=0$,
$\therefore x^2=1-x,x^2+x=1$.
$\therefore x^3+2x^2+3=x· x^2+2x^2+3=x(1-x)+2x^2+3=x-x^2+2x^2+3=x^2+x+3=1+3=4$.
问题:若实数$x$满足$x^2-2x-1=0$,求$2x^3-7x^2+4x-2025$的值.
已知$x^2+x-1=0$,求$x^3+2x^2+3$的值.
解:$\because x^2+x-1=0$,
$\therefore x^2=1-x,x^2+x=1$.
$\therefore x^3+2x^2+3=x· x^2+2x^2+3=x(1-x)+2x^2+3=x-x^2+2x^2+3=x^2+x+3=1+3=4$.
问题:若实数$x$满足$x^2-2x-1=0$,求$2x^3-7x^2+4x-2025$的值.
答案
解：$\because x^2 - 2x - 1 = 0$,
$\therefore x^2 = 2x + 1$, $x^2 - 2x = 1$.
$\therefore 2x^3 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x · x^2 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x(2x + 1) - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 4x^2 + 2x - 7x^2 + 4x - 2025$
$= -3x^2 + 6x - 2025$
$= -3(x^2 - 2x) - 2025$
$= -3 × 1 - 2025$
$= -2028$.
$\therefore x^2 = 2x + 1$, $x^2 - 2x = 1$.
$\therefore 2x^3 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x · x^2 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x(2x + 1) - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 4x^2 + 2x - 7x^2 + 4x - 2025$
$= -3x^2 + 6x - 2025$
$= -3(x^2 - 2x) - 2025$
$= -3 × 1 - 2025$
$= -2028$.
解析
【分析】
本题已知二次方程，所求代数式为三次多项式，直接求解x代入计算较繁琐，因此采用降次法解题：首先从已知等式$x^2-2x-1=0$推导得到$x^2=2x+1$和$x^2-2x=1$两个结论，将三次项$x^3$拆分为$x·x^2$，用$x^2=2x+1$替换三次项实现降次，合并同类项后整理出含$x^2-2x$的整体结构，最后代入$x^2-2x=1$计算即可得到结果。
【解析】
$\because x^2 - 2x - 1 = 0$,
$\therefore x^2 = 2x + 1$, $x^2 - 2x = 1$.
$\therefore 2x^3 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x · x^2 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x(2x + 1) - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 4x^2 + 2x - 7x^2 + 4x - 2025$
$= -3x^2 + 6x - 2025$
$= -3(x^2 - 2x) - 2025$
$= -3 × 1 - 2025$
$= -2028$.
【答案】
$-2028$
【知识点】
整体代入求值、单项式乘多项式运算、降次思想
【点评】
本题是整式运算的典型题型，不需要求解未知数的具体值，通过降次转化将高次代数式变形为含已知整体式的结构再代入计算，能很好地考查运算能力和转化思维，是代数式求值类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题已知二次方程，所求代数式为三次多项式，直接求解x代入计算较繁琐，因此采用降次法解题：首先从已知等式$x^2-2x-1=0$推导得到$x^2=2x+1$和$x^2-2x=1$两个结论，将三次项$x^3$拆分为$x·x^2$，用$x^2=2x+1$替换三次项实现降次，合并同类项后整理出含$x^2-2x$的整体结构，最后代入$x^2-2x=1$计算即可得到结果。
【解析】
$\because x^2 - 2x - 1 = 0$,
$\therefore x^2 = 2x + 1$, $x^2 - 2x = 1$.
$\therefore 2x^3 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x · x^2 - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 2x(2x + 1) - 7x^2 + 4x - 2025$
$= 4x^2 + 2x - 7x^2 + 4x - 2025$
$= -3x^2 + 6x - 2025$
$= -3(x^2 - 2x) - 2025$
$= -3 × 1 - 2025$
$= -2028$.
【答案】
$-2028$
【知识点】
整体代入求值、单项式乘多项式运算、降次思想
【点评】
本题是整式运算的典型题型，不需要求解未知数的具体值，通过降次转化将高次代数式变形为含已知整体式的结构再代入计算，能很好地考查运算能力和转化思维，是代数式求值类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
