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基础知识·预习
问题1 解决传播问题时，我们通常设哪个量为未知数？
问题2 在平均变化率问题中，怎么找原来的量和变化后的量？
问题3 增长率和下降率在列式时有什么不一样？
问题1 解决传播问题时，我们通常设哪个量为未知数？
问题2 在平均变化率问题中，怎么找原来的量和变化后的量？
问题3 增长率和下降率在列式时有什么不一样？
答案
解：
问题1：解决传播问题时，我们通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2：我们将变化过程起始状态下的初始基准量作为原来的量，经过若干次增长或下降变化后得到的最终量就是变化后的量，可从题目描述的变化起点、变化终点对应的数值中直接提取得到这两个量。
问题3：设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率问题的列式为$a(1+x)^n = b$，是在基准量的基础上叠加增长部分，括号内为1加增长率；
下降率问题的列式为$a(1-x)^n = b$，是在基准量的基础上减去下降部分，括号内为1减下降率，二者括号内的运算符号一为加、一为减。
问题1：解决传播问题时，我们通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2：我们将变化过程起始状态下的初始基准量作为原来的量，经过若干次增长或下降变化后得到的最终量就是变化后的量，可从题目描述的变化起点、变化终点对应的数值中直接提取得到这两个量。
问题3：设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率问题的列式为$a(1+x)^n = b$，是在基准量的基础上叠加增长部分，括号内为1加增长率；
下降率问题的列式为$a(1-x)^n = b$，是在基准量的基础上减去下降部分，括号内为1减下降率，二者括号内的运算符号一为加、一为减。
解析
【分析】
这三个问题是传播问题与平均变化率问题的基础认知类问题，解题思路如下：1. 传播问题的核心是每轮传染的人数推导，因此要将影响每轮感染总人数的核心变量设为未知数；2. 平均变化率问题中，原来的量和变化后的量对应变化过程的两个端点，只需梳理清楚变化的起点和终点即可对应提取；3. 增长率和下降率的核心差异是变化方向相反，因此列式时的运算符号存在区别，结合变化次数即可明确二者的列式规则。
【解析】
问题1解答
传播问题中每轮感染的总人数由平均每人传染的人数决定，该量是搭建传播模型的核心变量，因此通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2解答
先梳理题目描述的完整变化过程，变化起始状态对应的初始基准量就是原来的量，经过若干次增长/下降后得到的最终状态对应的量就是变化后的量，直接从题目中变化起点、终点的描述里提取对应数值即可。
问题3解答
设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率是在基准量基础上叠加增长部分，因此列式为$\boldsymbol{a(1+x)^n = b}$，括号内为1加增长率；
下降率是在基准量基础上减去下降部分，因此列式为$\boldsymbol{a(1-x)^n = b}$，括号内为1减下降率；
二者核心差异为括号内的运算符号，增长率用加号，下降率用减号。
【答案】
问题1：解决传播问题时，我们通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2：我们将变化过程起始状态下的初始基准量作为原来的量，经过若干次增长或下降变化后得到的最终量就是变化后的量，可从题目描述的变化起点、变化终点对应的数值中直接提取得到这两个量。
问题3：设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率问题的列式为$a(1+x)^n = b$，是在基准量的基础上叠加增长部分，括号内为1加增长率；
下降率问题的列式为$a(1-x)^n = b$，是在基准量的基础上减去下降部分，括号内为1减下降率，二者括号内的运算符号一为加、一为减。
【知识点】
传播问题模型，平均变化率基础，增长率下降率列式
【点评】
这三个问题是传播与平均变化率类应用题的核心基础概念，熟练掌握后可快速梳理题目条件、建立对应方程模型，是解决这类实际应用题的重要前提。
【难度系数】
0.85
这三个问题是传播问题与平均变化率问题的基础认知类问题，解题思路如下：1. 传播问题的核心是每轮传染的人数推导，因此要将影响每轮感染总人数的核心变量设为未知数；2. 平均变化率问题中，原来的量和变化后的量对应变化过程的两个端点，只需梳理清楚变化的起点和终点即可对应提取；3. 增长率和下降率的核心差异是变化方向相反，因此列式时的运算符号存在区别，结合变化次数即可明确二者的列式规则。
【解析】
问题1解答
传播问题中每轮感染的总人数由平均每人传染的人数决定，该量是搭建传播模型的核心变量，因此通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2解答
先梳理题目描述的完整变化过程，变化起始状态对应的初始基准量就是原来的量，经过若干次增长/下降后得到的最终状态对应的量就是变化后的量，直接从题目中变化起点、终点的描述里提取对应数值即可。
问题3解答
设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率是在基准量基础上叠加增长部分，因此列式为$\boldsymbol{a(1+x)^n = b}$，括号内为1加增长率；
下降率是在基准量基础上减去下降部分，因此列式为$\boldsymbol{a(1-x)^n = b}$，括号内为1减下降率；
二者核心差异为括号内的运算符号，增长率用加号，下降率用减号。
【答案】
问题1：解决传播问题时，我们通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
问题2：我们将变化过程起始状态下的初始基准量作为原来的量，经过若干次增长或下降变化后得到的最终量就是变化后的量，可从题目描述的变化起点、变化终点对应的数值中直接提取得到这两个量。
问题3：设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后得到的量为$b$：
增长率问题的列式为$a(1+x)^n = b$，是在基准量的基础上叠加增长部分，括号内为1加增长率；
下降率问题的列式为$a(1-x)^n = b$，是在基准量的基础上减去下降部分，括号内为1减下降率，二者括号内的运算符号一为加、一为减。
【知识点】
传播问题模型，平均变化率基础，增长率下降率列式
【点评】
这三个问题是传播与平均变化率类应用题的核心基础概念，熟练掌握后可快速梳理题目条件、建立对应方程模型，是解决这类实际应用题的重要前提。
【难度系数】
0.85
【典型例题1】流感的传染速度很快.已知开始有1个人感染了流感病毒,经过两轮传染后共有64个人感染了流感病毒.
(1)每轮传染中平均1个人传染了多少个人?
(2)如果不及时控制,第三轮又将有多少个人被传染?
【解】(1)设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人.
根据题意,得 $1+x+x(1+x)=64$.
解得 $x_1=7,x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
(2)$64×7=448$(个).
因此,如果不及时控制,第三轮又将有448个人被传染.
规律方法 设$a$为传染源数,$x$为每个传染源每轮传染的人数,则传染两轮后感染的总人数为 $a(1+x)^2$.
(1)每轮传染中平均1个人传染了多少个人?
(2)如果不及时控制,第三轮又将有多少个人被传染?
【解】(1)设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人.
根据题意,得 $1+x+x(1+x)=64$.
解得 $x_1=7,x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
(2)$64×7=448$(个).
因此,如果不及时控制,第三轮又将有448个人被传染.
规律方法 设$a$为传染源数,$x$为每个传染源每轮传染的人数,则传染两轮后感染的总人数为 $a(1+x)^2$.
答案
解：(1)设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据题意，得$1+x+x(1+x)=64$。
整理得$(1+x)^2=64$，
解得$x_1=7$，$x_2=-9$（不合题意，舍去）。
(2)经过两轮传染后共有64人感染流感，因此第三轮新增被传染的人数为$64×7=448$（个）。
答：每轮传染中平均1个人传染了7个人；如果不及时控制，第三轮又将有448个人被传染。
根据题意，得$1+x+x(1+x)=64$。
整理得$(1+x)^2=64$，
解得$x_1=7$，$x_2=-9$（不合题意，舍去）。
(2)经过两轮传染后共有64人感染流感，因此第三轮新增被传染的人数为$64×7=448$（个）。
答：每轮传染中平均1个人传染了7个人；如果不及时控制，第三轮又将有448个人被传染。
解析
【分析】
本题属于一元二次方程应用中的传播问题，解题思路如下：
(1) 首先明确传播规律：初始有1个传染源，每轮每人传染x人，第一轮结束后总感染人数为初始1人加第一轮新增的x人，即(1+x)人；第二轮传染时，传染源为第一轮结束的(1+x)个感染者，每人传染x人，因此第二轮新增感染人数为x(1+x)人，两轮后总感染人数为64人，据此列方程求解即可，注意传染人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 第三轮传染的传染源是第二轮结束后的64个感染者，每人传染人数和前两轮一致，用总传染源数乘每人传染的人数即可得到第三轮新增被传染人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据题意，得$1+x+x(1+x)=64$。
整理得$(1+x)^2=64$，
解得$x_1=7$，$x_2=-9$（传染人数不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 经过两轮传染后共有64人感染流感，每轮每人传染7人，因此第三轮新增被传染的人数为$64×7=448$（个）。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了7个人；如果不及时控制，第三轮又将有448个人被传染。
【知识点】
一元二次方程的应用、传播问题计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是传播类应用题的典型例题，解题核心是理清每轮传染的传染源数量、新增感染人数与总感染人数的数量关系，求解方程后要结合实际意义对根进行筛选，掌握传播问题的通用公式可以快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于一元二次方程应用中的传播问题，解题思路如下：
(1) 首先明确传播规律：初始有1个传染源，每轮每人传染x人，第一轮结束后总感染人数为初始1人加第一轮新增的x人，即(1+x)人；第二轮传染时，传染源为第一轮结束的(1+x)个感染者，每人传染x人，因此第二轮新增感染人数为x(1+x)人，两轮后总感染人数为64人，据此列方程求解即可，注意传染人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 第三轮传染的传染源是第二轮结束后的64个感染者，每人传染人数和前两轮一致，用总传染源数乘每人传染的人数即可得到第三轮新增被传染人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据题意，得$1+x+x(1+x)=64$。
整理得$(1+x)^2=64$，
解得$x_1=7$，$x_2=-9$（传染人数不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 经过两轮传染后共有64人感染流感，每轮每人传染7人，因此第三轮新增被传染的人数为$64×7=448$（个）。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了7个人；如果不及时控制，第三轮又将有448个人被传染。
【知识点】
一元二次方程的应用、传播问题计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是传播类应用题的典型例题，解题核心是理清每轮传染的传染源数量、新增感染人数与总感染人数的数量关系，求解方程后要结合实际意义对根进行筛选，掌握传播问题的通用公式可以快速解题。
【难度系数】
0.8
1.现在需要传播一条信息，开始有1个人收到了这条信息，经过两轮传播后共有25个人收到了这条信息。
(1)每轮传播中平均1个人传播给了多少个人？
(2)不停止传播的话，第三轮将有多少个人收到这条信息？
(1)每轮传播中平均1个人传播给了多少个人？
(2)不停止传播的话，第三轮将有多少个人收到这条信息？
答案
1.【解】(1)设每轮传播中平均1个人传播给了x个人.
根据题意,得$(1+x)^2=25$.
解得$x_1=4,x_2=-6$(不合题意,舍去).
因此,每轮传播中平均1个人传播给了4个人.
(2)$25×4=100$(个).
因此,不停止传播的话,第三轮将有100个人收到这条信息.
根据题意,得$(1+x)^2=25$.
解得$x_1=4,x_2=-6$(不合题意,舍去).
因此,每轮传播中平均1个人传播给了4个人.
(2)$25×4=100$(个).
因此,不停止传播的话,第三轮将有100个人收到这条信息.
解析
【分析】
（1）本题属于传播类实际应用问题，解题时先明确传播规律：初始有1人收到信息，设每轮平均1人传播给x个人，第一轮传播后总共有(1+x)人收到信息；第二轮传播时，已收到信息的(1+x)人每人都传播给x个人，因此第二轮结束后总收到信息的人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共25人收到信息的条件即可列方程求解，注意传播人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
（2）第三轮传播以第二轮结束后已收到信息的25人为传播源，每人传播4人，直接用传播源总人数乘每人传播的人数，即可得到第三轮新收到信息的人数。
【解析】
(1) 设每轮传播中平均1个人传播给了x个人。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=25$
开平方得$1+x=\pm5$，解得$x_1=4$，$x_2=-6$。
因为传播人数不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
(2) 第二轮结束后共有25人收到信息，每人均传播4人，因此第三轮收到信息的人数为：
$25×4=100$（个）
【答案】
(1) 4个；(2) 100个
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题模型
3. 实际问题的根的取舍
【点评】
本题是典型的实际应用基础题，解题关键是理清传播过程中总人数的变化规律，建立正确的方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于传播类实际应用问题，解题时先明确传播规律：初始有1人收到信息，设每轮平均1人传播给x个人，第一轮传播后总共有(1+x)人收到信息；第二轮传播时，已收到信息的(1+x)人每人都传播给x个人，因此第二轮结束后总收到信息的人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共25人收到信息的条件即可列方程求解，注意传播人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
（2）第三轮传播以第二轮结束后已收到信息的25人为传播源，每人传播4人，直接用传播源总人数乘每人传播的人数，即可得到第三轮新收到信息的人数。
【解析】
(1) 设每轮传播中平均1个人传播给了x个人。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=25$
开平方得$1+x=\pm5$，解得$x_1=4$，$x_2=-6$。
因为传播人数不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
(2) 第二轮结束后共有25人收到信息，每人均传播4人，因此第三轮收到信息的人数为：
$25×4=100$（个）
【答案】
(1) 4个；(2) 100个
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题模型
3. 实际问题的根的取舍
【点评】
本题是典型的实际应用基础题，解题关键是理清传播过程中总人数的变化规律，建立正确的方程模型，求解时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.8
