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7.将直线$y=x$沿$y$轴向下平移$m(m＞0)$个单位长度.若点$A(-1,3)$关于原点对称的点在平移后的直线上,则$m$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步，根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，写出直线$y=x$向下平移$m$个单位后的解析式；第二步，根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的特征，求出点$A(-1,3)$关于原点对称的点的坐标；第三步，因为对称点在平移后的直线上，所以将该点坐标代入平移后的解析式，建立关于$m$的一元一次方程，解方程即可得到$m$的值。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：直线$y=x$沿$y$轴向下平移$m(m＞0)$个单位，根据一次函数平移“上加下减”的规则，平移后的直线解析式为：$y = x - m$。
2. 求点$A$关于原点对称的点的坐标：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知点$A(-1,3)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(1, -3)$。
3. 代入解析式求解$m$：因为点$(1, -3)$在平移后的直线$y=x - m$上，将$x=1$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = 1 - m$
移项解得：$m = 1 + 3 = 4$
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数平移规律 2.关于原点对称的点的坐标 3.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了一次函数的图象平移、原点对称点的坐标性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识点，按步骤代入求解即可，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分三步思考：第一步，根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，写出直线$y=x$向下平移$m$个单位后的解析式；第二步，根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的特征，求出点$A(-1,3)$关于原点对称的点的坐标；第三步，因为对称点在平移后的直线上，所以将该点坐标代入平移后的解析式，建立关于$m$的一元一次方程，解方程即可得到$m$的值。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：直线$y=x$沿$y$轴向下平移$m(m＞0)$个单位，根据一次函数平移“上加下减”的规则，平移后的直线解析式为：$y = x - m$。
2. 求点$A$关于原点对称的点的坐标：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知点$A(-1,3)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(1, -3)$。
3. 代入解析式求解$m$：因为点$(1, -3)$在平移后的直线$y=x - m$上，将$x=1$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = 1 - m$
移项解得：$m = 1 + 3 = 4$
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数平移规律 2.关于原点对称的点的坐标 3.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了一次函数的图象平移、原点对称点的坐标性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识点，按步骤代入求解即可，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在平面直角坐标系中,△AOB是等边三角形,点A的坐标为(4,0),点B在第一象限.若将等边三角形AOB绕点O顺时针旋转180°,得到△A'OB',则点B'的坐标为
(-2,-2√3)
.答案
$(-2,-2\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求出等边三角形顶点B的坐标，已知点A坐标为(4,0)，可知OA边长为4，结合等边三角形三线合一的性质和勾股定理即可求出第一象限内点B的坐标；第二步根据绕原点顺时针旋转180°的图形性质，旋转后对应点与原点位关于原点对称，利用关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律，即可求出点B'的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(4,0)，
∴OA=4。
过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
又
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为(2,2$\sqrt{3}$)。
∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A'OB'，
∴点B'与点B关于原点O对称，
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B'的坐标为(-2,-2$\sqrt{3}$)。
【答案】
$(-2,-2\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；关于原点对称的点的坐标；旋转的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用等边三角形的性质求出原点点B的坐标，再结合旋转180°的坐标变化规律即可快速得到答案，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求出等边三角形顶点B的坐标，已知点A坐标为(4,0)，可知OA边长为4，结合等边三角形三线合一的性质和勾股定理即可求出第一象限内点B的坐标；第二步根据绕原点顺时针旋转180°的图形性质，旋转后对应点与原点位关于原点对称，利用关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律，即可求出点B'的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(4,0)，
∴OA=4。
过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
又
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为(2,2$\sqrt{3}$)。
∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A'OB'，
∴点B'与点B关于原点O对称，
关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B'的坐标为(-2,-2$\sqrt{3}$)。
【答案】
$(-2,-2\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质；关于原点对称的点的坐标；旋转的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先利用等边三角形的性质求出原点点B的坐标，再结合旋转180°的坐标变化规律即可快速得到答案，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
9.如图,在由小正方形(小正方形的边长为1)组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点都在格点上,且△A₁B₁C₁与△ABC关于原点对称,点C的坐标为(-2,1).
(1)点A₁的坐标为
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,将△ABC平移后,点P的对应点P'的坐标为(a+2,b−6),请画出平移后的△A₂B₂C₂.
(3)若△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于某一点对称,则对称中心的坐标为
(1)点A₁的坐标为
(3,-4)
.(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,将△ABC平移后,点P的对应点P'的坐标为(a+2,b−6),请画出平移后的△A₂B₂C₂.
(3)若△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于某一点对称,则对称中心的坐标为
(1,-3)
.答案
(1)$(3,-4)$
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(1,-3)$
解析
【分析】
(1) 先从网格中确定点A的坐标，再依据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出A₁的坐标；
(2) 根据点P的坐标变化，得出整个三角形的平移规则为横坐标加2、纵坐标减6，将△ABC的三个顶点按该规则平移得到对应点，再顺次连接即可得到平移后的△A₂B₂C₂；
(3) 中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点，求出一组对应点的坐标后，利用中点坐标公式计算即可得到对称中心的坐标。
【解析】
(1) 由网格可得点A的坐标为$(-3,4)$，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，因此点A₁的坐标为$(3,-4)$。
(2) 由$P(a,b)$平移后对应点为$P'(a+2,b-6)$，可知平移规则为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。
分别计算A、B、C平移后的坐标：
A$(-3,4)$平移后为$(-3+2,4-6)$，即$A₂(-1,-2)$；
B$(-4,2)$平移后为$(-4+2,2-6)$，即$B₂(-2,-4)$；
C$(-2,1)$平移后为$(-2+2,1-6)$，即$C₂(0,-5)$；
顺次连接$A₂、B₂、C₂$，得到的△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 点C$(-2,1)$关于原点对称的点$C₁$坐标为$(2,-1)$，已知$C₂$坐标为$(0,-5)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x₁,y₁)$、$(x₂,y₂)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入得：
横坐标：$\frac{2+0}{2}=1$，纵坐标：$\frac{-1+(-5)}{2}=-3$，因此对称中心坐标为$(1,-3)$。
【答案】
(1)$(3,-4)$
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(1,-3)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；图形的平移；中心对称的性质
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中的坐标变换，解题的关键是熟练掌握平移、关于原点对称的坐标变化规律，以及中心对称的性质，计算坐标时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.75
(1) 先从网格中确定点A的坐标，再依据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出A₁的坐标；
(2) 根据点P的坐标变化，得出整个三角形的平移规则为横坐标加2、纵坐标减6，将△ABC的三个顶点按该规则平移得到对应点，再顺次连接即可得到平移后的△A₂B₂C₂；
(3) 中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点，求出一组对应点的坐标后，利用中点坐标公式计算即可得到对称中心的坐标。
【解析】
(1) 由网格可得点A的坐标为$(-3,4)$，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，因此点A₁的坐标为$(3,-4)$。
(2) 由$P(a,b)$平移后对应点为$P'(a+2,b-6)$，可知平移规则为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。
分别计算A、B、C平移后的坐标：
A$(-3,4)$平移后为$(-3+2,4-6)$，即$A₂(-1,-2)$；
B$(-4,2)$平移后为$(-4+2,2-6)$，即$B₂(-2,-4)$；
C$(-2,1)$平移后为$(-2+2,1-6)$，即$C₂(0,-5)$；
顺次连接$A₂、B₂、C₂$，得到的△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 点C$(-2,1)$关于原点对称的点$C₁$坐标为$(2,-1)$，已知$C₂$坐标为$(0,-5)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x₁,y₁)$、$(x₂,y₂)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入得：
横坐标：$\frac{2+0}{2}=1$，纵坐标：$\frac{-1+(-5)}{2}=-3$，因此对称中心坐标为$(1,-3)$。
【答案】
(1)$(3,-4)$
(2)如图,$△A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(1,-3)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；图形的平移；中心对称的性质
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中的坐标变换，解题的关键是熟练掌握平移、关于原点对称的坐标变化规律，以及中心对称的性质，计算坐标时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.75
10.【阅读理解】我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点对称，在平面直角坐标系中，任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$的对称中心的坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
【观察应用】
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点$P_1(0,-1),P_2(2,3)$的对称中心是点A，则点A的坐标为
(2)另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$。有一动点从点$P_1$处开始依次关于点A,B,C对称循环跳动，即第一次跳到点$P_1$关于点A的对称点$P_2$处；第二次跳到点$P_2$关于点B的对称点$P_3$处；第三次跳到点$P_3$关于点C的对称点$P_4$处；第四次跳到点$P_4$关于点A的对称点$P_5$处；……若按这样的跳法，求点$P_3,P_8$的坐标。
【拓展延伸】
(3)按(2)中的跳法，直接写出点$P_{5018}$的坐标。
【观察应用】
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点$P_1(0,-1),P_2(2,3)$的对称中心是点A，则点A的坐标为
(1,1)
。(2)另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$。有一动点从点$P_1$处开始依次关于点A,B,C对称循环跳动，即第一次跳到点$P_1$关于点A的对称点$P_2$处；第二次跳到点$P_2$关于点B的对称点$P_3$处；第三次跳到点$P_3$关于点C的对称点$P_4$处；第四次跳到点$P_4$关于点A的对称点$P_5$处；……若按这样的跳法，求点$P_3,P_8$的坐标。
【拓展延伸】
(3)按(2)中的跳法，直接写出点$P_{5018}$的坐标。
答案
(1)$(1,1)$
(2)设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$,点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$.
∵点$P_3$与点$P_2(2,3)$关于点B对称，且$B(-1.6,2.1)$，
∴$\frac{2+x_3}{2}=-1.6,\frac{3+y_3}{2}=2.1$.
∴$x_3=-5.2,y_3=1.2$.
∴点$P_3$的坐标为$(-5.2,1.2)$.
又点$P_4$与点$P_3$关于点C对称,且$C(-1,0)$,
∴$\frac{-5.2+x_4}{2}=-1,\frac{1.2+y_4}{2}=0$.
∴$x_4=3.2,y_4=-1.2$.
∴点$P_4$的坐标为$(3.2,-1.2)$.
同理可得$P_5(-1.2,3.2),P_6(-2,1)$,$P_7(0,-1),P_8(2,3)$.
故点$P_3$的坐标为$(-5.2,1.2)$,点$P_8$的坐标为$(2,3)$.
(3)点$P_{5018}$的坐标为$(2,3)$.
(2)设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$,点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$.
∵点$P_3$与点$P_2(2,3)$关于点B对称，且$B(-1.6,2.1)$，
∴$\frac{2+x_3}{2}=-1.6,\frac{3+y_3}{2}=2.1$.
∴$x_3=-5.2,y_3=1.2$.
∴点$P_3$的坐标为$(-5.2,1.2)$.
又点$P_4$与点$P_3$关于点C对称,且$C(-1,0)$,
∴$\frac{-5.2+x_4}{2}=-1,\frac{1.2+y_4}{2}=0$.
∴$x_4=3.2,y_4=-1.2$.
∴点$P_4$的坐标为$(3.2,-1.2)$.
同理可得$P_5(-1.2,3.2),P_6(-2,1)$,$P_7(0,-1),P_8(2,3)$.
故点$P_3$的坐标为$(-5.2,1.2)$,点$P_8$的坐标为$(2,3)$.
(3)点$P_{5018}$的坐标为$(2,3)$.
解析
【分析】
（1）题直接根据题干给出的两点对称中心（即中点）的坐标公式，将$P_1$、$P_2$的坐标代入计算即可得到点A的坐标。
（2）每次跳动的本质是：跳动前后的两个点关于对称中心对称，即对称中心是这两个点连线的中点，因此已知其中一个点和对称中心的坐标，就可以利用中点坐标公式列方程，求出另一个点的坐标；依次计算出前几个点的坐标后，可发现坐标存在周期循环规律。
（3）利用（2）中找到的周期规律，计算5018除以周期的余数，对应周期内的点即可得到$P_{5018}$的坐标。
【解析】
(1) 根据中点坐标公式，点A的横坐标为$\dfrac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\dfrac{-1+3}{2}=1$，因此点A的坐标为$(1,1)$。
(2) 设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$，
∵点$P_3$与$P_2(2,3)$关于$B(-1.6,2.1)$对称，即B是$P_2P_3$的中点，
∴$\dfrac{2+x_3}{2}=-1.6$，$\dfrac{3+y_3}{2}=2.1$，
解得$x_3=-5.2$，$y_3=1.2$，即$P_3(-5.2,1.2)$。
设点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$，
∵点$P_4$与$P_3(-5.2,1.2)$关于$C(-1,0)$对称，即C是$P_3P_4$的中点，
∴$\dfrac{-5.2+x_4}{2}=-1$，$\dfrac{1.2+y_4}{2}=0$，
解得$x_4=3.2$，$y_4=-1.2$，即$P_4(3.2,-1.2)$。
同理依次计算可得：$P_5(-1.2,3.2)$，$P_6(-2,1)$，$P_7(0,-1)$，$P_8(2,3)$。
故$P_3$坐标为$(-5.2,1.2)$，$P_8$坐标为$(2,3)$。
(3) 由上述计算可知，点的坐标每6次为一个循环周期（$P_7=P_1$，$P_8=P_2$，周期为6），
$5018÷6=836······2$，即余数为2，对应周期内第2个点$P_2$的坐标，因此$P_{5018}(2,3)$。
【答案】
(1)$(1,1)$
(2)$P_3(-5.2,1.2)$，$P_8(2,3)$
(3)$(2,3)$
【知识点】
中点坐标公式，点对称的坐标性质，周期规律探究
【点评】
本题以新定义的形式给出对称中心的坐标计算方法，侧重考查对新定义的理解应用能力，需要通过计算前几个点的坐标找到循环规律，整体解题思路清晰，掌握中点坐标公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
（1）题直接根据题干给出的两点对称中心（即中点）的坐标公式，将$P_1$、$P_2$的坐标代入计算即可得到点A的坐标。
（2）每次跳动的本质是：跳动前后的两个点关于对称中心对称，即对称中心是这两个点连线的中点，因此已知其中一个点和对称中心的坐标，就可以利用中点坐标公式列方程，求出另一个点的坐标；依次计算出前几个点的坐标后，可发现坐标存在周期循环规律。
（3）利用（2）中找到的周期规律，计算5018除以周期的余数，对应周期内的点即可得到$P_{5018}$的坐标。
【解析】
(1) 根据中点坐标公式，点A的横坐标为$\dfrac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\dfrac{-1+3}{2}=1$，因此点A的坐标为$(1,1)$。
(2) 设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$，
∵点$P_3$与$P_2(2,3)$关于$B(-1.6,2.1)$对称，即B是$P_2P_3$的中点，
∴$\dfrac{2+x_3}{2}=-1.6$，$\dfrac{3+y_3}{2}=2.1$，
解得$x_3=-5.2$，$y_3=1.2$，即$P_3(-5.2,1.2)$。
设点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$，
∵点$P_4$与$P_3(-5.2,1.2)$关于$C(-1,0)$对称，即C是$P_3P_4$的中点，
∴$\dfrac{-5.2+x_4}{2}=-1$，$\dfrac{1.2+y_4}{2}=0$，
解得$x_4=3.2$，$y_4=-1.2$，即$P_4(3.2,-1.2)$。
同理依次计算可得：$P_5(-1.2,3.2)$，$P_6(-2,1)$，$P_7(0,-1)$，$P_8(2,3)$。
故$P_3$坐标为$(-5.2,1.2)$，$P_8$坐标为$(2,3)$。
(3) 由上述计算可知，点的坐标每6次为一个循环周期（$P_7=P_1$，$P_8=P_2$，周期为6），
$5018÷6=836······2$，即余数为2，对应周期内第2个点$P_2$的坐标，因此$P_{5018}(2,3)$。
【答案】
(1)$(1,1)$
(2)$P_3(-5.2,1.2)$，$P_8(2,3)$
(3)$(2,3)$
【知识点】
中点坐标公式，点对称的坐标性质，周期规律探究
【点评】
本题以新定义的形式给出对称中心的坐标计算方法，侧重考查对新定义的理解应用能力，需要通过计算前几个点的坐标找到循环规律，整体解题思路清晰，掌握中点坐标公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
