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基础知识·预习
问题1 工程问题与行程问题中的基本数量关系是什么？
问题2 请你结合运用分式方程解决实际问题的实例，谈谈体会。
问题1 工程问题与行程问题中的基本数量关系是什么？
问题2 请你结合运用分式方程解决实际问题的实例，谈谈体会。
答案
解：
问题1
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$，
$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$，
$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，
若题目未给出具体工作总量，通常将总工作量设为单位“1”。
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$，
$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，
$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。
问题2
实例：甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成全部工程需要的时长。
解：设乙队单独施工完成全部工程需要$x$个月，根据题意列方程：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}×(\frac{1}{3} + \frac{1}{x}) = 1$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，原方程分母不为0，$x=1$是原分式方程的解，且符合实际意义。
体会：
1. 用分式方程解决实际问题的核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后即可列出方程，建模过程清晰；
2. 求解分式方程后必须进行双重检验：首先检验所得的解是否为原分式方程的根，排除增根；其次检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，不符合的解要舍去；
3. 对于涉及工作效率、运行速度等比值类数量关系的实际问题，用分式方程求解比整式方程更直观，能更便捷地梳理不同主体的工作/行程关联。
问题1
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$，
$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$，
$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，
若题目未给出具体工作总量，通常将总工作量设为单位“1”。
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$，
$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，
$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。
问题2
实例：甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成全部工程需要的时长。
解：设乙队单独施工完成全部工程需要$x$个月，根据题意列方程：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}×(\frac{1}{3} + \frac{1}{x}) = 1$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，原方程分母不为0，$x=1$是原分式方程的解，且符合实际意义。
体会：
1. 用分式方程解决实际问题的核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后即可列出方程，建模过程清晰；
2. 求解分式方程后必须进行双重检验：首先检验所得的解是否为原分式方程的根，排除增根；其次检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，不符合的解要舍去；
3. 对于涉及工作效率、运行速度等比值类数量关系的实际问题，用分式方程求解比整式方程更直观，能更便捷地梳理不同主体的工作/行程关联。
解析
【分析】
解答本题可分两个问题梳理思路：①处理问题1时，先分别明确工程问题、行程问题的三个核心关联量，再依据乘除互逆关系推导三个量之间的转换公式，同时牢记工程问题未给出具体工作总量时，通常将总工作量设为单位“1”的常用处理技巧；②处理问题2时，选取熟悉的工程类应用场景作为实例，按照分式方程解决实际问题的“设未知数→找准等量关系列方程→求解→双重检验”的步骤完成解答，再从建模逻辑、检验要求、应用优势三个角度梳理体会即可。
【解析】
问题1解答
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$
$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$
$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
若题目未给出具体工作总量，通常将总工作量设为单位“1”。
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$
$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$
$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$
问题2解答
实例：
甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成全部工程需要的时长。
求解过程：
设乙队单独施工完成全部工程需要$x$个月，根据“甲1个月的工作量+甲乙半个月的工作量=总工作量1”的等量关系列方程：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}×(\frac{1}{3} + \frac{1}{x}) = 1$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，原方程分母不为0，$x=1$是原分式方程的解，且符合实际意义。
体会：
1. 用分式方程解决实际问题的核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后即可列出方程，建模过程清晰；
2. 求解分式方程后必须进行双重检验：首先检验所得的解是否为原分式方程的根，排除增根；其次检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，不符合的解要舍去；
3. 对于涉及工作效率、运行速度等比值类数量关系的实际问题，用分式方程求解比整式方程更直观，能更便捷地梳理不同主体的工作/行程关联。
【答案】
问题1
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$，$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$，$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，未给出具体工作总量时通常将总工作量设为单位“1”；
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$，$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。
问题2
实例求解结果：乙队单独施工完成全部工程需要1个月；
体会见解析部分三点内容。
【知识点】
1. 实际问题数量关系
2. 分式方程的应用
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础预习类题目，既考查了常见实际问题的基础数量关系积累，也引导学生理解分式方程解决实际问题的完整流程与注意要点，为后续解决复杂的分式应用问题夯实基础。
【难度系数】
0.85
解答本题可分两个问题梳理思路：①处理问题1时，先分别明确工程问题、行程问题的三个核心关联量，再依据乘除互逆关系推导三个量之间的转换公式，同时牢记工程问题未给出具体工作总量时，通常将总工作量设为单位“1”的常用处理技巧；②处理问题2时，选取熟悉的工程类应用场景作为实例，按照分式方程解决实际问题的“设未知数→找准等量关系列方程→求解→双重检验”的步骤完成解答，再从建模逻辑、检验要求、应用优势三个角度梳理体会即可。
【解析】
问题1解答
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$
$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$
$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$
若题目未给出具体工作总量，通常将总工作量设为单位“1”。
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$
$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$
$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$
问题2解答
实例：
甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成全部工程需要的时长。
求解过程：
设乙队单独施工完成全部工程需要$x$个月，根据“甲1个月的工作量+甲乙半个月的工作量=总工作量1”的等量关系列方程：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}×(\frac{1}{3} + \frac{1}{x}) = 1$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，原方程分母不为0，$x=1$是原分式方程的解，且符合实际意义。
体会：
1. 用分式方程解决实际问题的核心是找准题目中的等量关系，合理设未知数后即可列出方程，建模过程清晰；
2. 求解分式方程后必须进行双重检验：首先检验所得的解是否为原分式方程的根，排除增根；其次检验所得的根是否符合实际问题的现实意义，不符合的解要舍去；
3. 对于涉及工作效率、运行速度等比值类数量关系的实际问题，用分式方程求解比整式方程更直观，能更便捷地梳理不同主体的工作/行程关联。
【答案】
问题1
工程问题基本数量关系：
$\mathrm{工作总量} = \mathrm{工作效率} × \mathrm{工作时间}$，$\mathrm{工作效率} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作时间}}$，$\mathrm{工作时间} = \frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，未给出具体工作总量时通常将总工作量设为单位“1”；
行程问题基本数量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{速度} × \mathrm{时间}$，$\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，$\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。
问题2
实例求解结果：乙队单独施工完成全部工程需要1个月；
体会见解析部分三点内容。
【知识点】
1. 实际问题数量关系
2. 分式方程的应用
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础预习类题目，既考查了常见实际问题的基础数量关系积累，也引导学生理解分式方程解决实际问题的完整流程与注意要点，为后续解决复杂的分式应用问题夯实基础。
【难度系数】
0.85
【典型例题1】某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标，经测算，若由两个工程队共同工作，则恰好12天能够完成；若两队共同工作9天后，剩下的由甲队单独完成，则还需5天。现要从这两个工程队中选出一队单独完成，从尽快完工的角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
思路导引 根据一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于总工作量，列出方程解决问题。
【解】设甲队单独完成工程需$ x $天，根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{1}{x} × 5 = 1$。
方程两边乘$ x $，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$。
解得$ x = 20 $。
检验：$ x = 20 ≠ 0 $。
所以$ x = 20 $是原分式方程的解，且符合题意。
因为$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$，所以乙队单独完成工程需30天。
因为$ 20 ＜ 30 $，所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队。
规律方法 工程问题所涉及的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间。当工作总量给出时，按照公式列方程求解；当工作总量没有给出时，一般将工作总量记为1，再根据题目中的等量关系列出方程求解。
思路导引 根据一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于总工作量，列出方程解决问题。
【解】设甲队单独完成工程需$ x $天，根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{1}{x} × 5 = 1$。
方程两边乘$ x $，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$。
解得$ x = 20 $。
检验：$ x = 20 ≠ 0 $。
所以$ x = 20 $是原分式方程的解，且符合题意。
因为$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$，所以乙队单独完成工程需30天。
因为$ 20 ＜ 30 $，所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队。
规律方法 工程问题所涉及的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间。当工作总量给出时，按照公式列方程求解；当工作总量没有给出时，一般将工作总量记为1，再根据题目中的等量关系列出方程求解。
答案
解：设甲队单独完成工程需$x$天，
根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{5}{x} = 1$。
方程两边乘$x$，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$，
解得$x=20$。
检验：$x=20≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
乙队的工作效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$，因此乙队单独完成工程需30天。
因为$20＜30$，甲队单独完成工程的用时更短，所以应选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队，因为甲队单独完成该工程仅需20天，比乙队单独完成的30天短，完工速度更快。
根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{5}{x} = 1$。
方程两边乘$x$，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$，
解得$x=20$。
检验：$x=20≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
乙队的工作效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$，因此乙队单独完成工程需30天。
因为$20＜30$，甲队单独完成工程的用时更短，所以应选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队，因为甲队单独完成该工程仅需20天，比乙队单独完成的30天短，完工速度更快。
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，未给出具体工作总量时，默认将总工作量记为1。解题思路如下：第一步，根据两队合作12天完成工程，可得两队合作的工作效率为$\frac{1}{12}$；第二步，设甲队单独完成工程需$x$天，则甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，结合“两队合作9天的工作量+甲单独做5天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程；第三步，解方程并检验得到甲单独完工的时间；第四步，用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，进而算出乙单独完工的时间；第五步，比较两队单独完工的时长，选择用时更短的队伍即可。
【解析】
解：设甲队单独完成工程需$x$天，
根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{5}{x} = 1$，
方程两边乘$x$，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$，
解得$x=20$。
检验：$x=20≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
乙队的工作效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$，因此乙队单独完成工程需30天。
因为$20＜30$，甲队单独完成工程的用时更短，所以应选择甲队。
【答案】
从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队，因为甲队单独完成该工程仅需20天，比乙队单独完成的30天短，完工速度更快。
【知识点】
1.分式方程的应用 2.工程问题的数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题核心是掌握工程问题的基本数量关系，未明确总工作量时将其设为1，根据工作量的和差关系列方程求解，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，未给出具体工作总量时，默认将总工作量记为1。解题思路如下：第一步，根据两队合作12天完成工程，可得两队合作的工作效率为$\frac{1}{12}$；第二步，设甲队单独完成工程需$x$天，则甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，结合“两队合作9天的工作量+甲单独做5天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程；第三步，解方程并检验得到甲单独完工的时间；第四步，用合作效率减去甲的效率得到乙的工作效率，进而算出乙单独完工的时间；第五步，比较两队单独完工的时长，选择用时更短的队伍即可。
【解析】
解：设甲队单独完成工程需$x$天，
根据题意，得$\frac{1}{12} × 9 + \frac{5}{x} = 1$，
方程两边乘$x$，得$\frac{3}{4}x + 5 = x$，
解得$x=20$。
检验：$x=20≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合题意。
乙队的工作效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$，因此乙队单独完成工程需30天。
因为$20＜30$，甲队单独完成工程的用时更短，所以应选择甲队。
【答案】
从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队，因为甲队单独完成该工程仅需20天，比乙队单独完成的30天短，完工速度更快。
【知识点】
1.分式方程的应用 2.工程问题的数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题核心是掌握工程问题的基本数量关系，未明确总工作量时将其设为1，根据工作量的和差关系列方程求解，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
