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1. 化简$(a - 1) \div \frac{1 - a}{a} \cdot a$的结果是 （ ）
A. $-a^{2}$
B. 1
C. $a^{2}$
D. -1
A. $-a^{2}$
B. 1
C. $a^{2}$
D. -1
答案
A
2.（2024·大同模拟）如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“$\square$”代表的是 （ ）
A. $\frac{1}{4 - a}$
B. $\frac{9 - 2a}{a - 4}$
C. $\frac{1}{a - 4}$
D. $\frac{2a - 9}{a - 4}$
A. $\frac{1}{4 - a}$
B. $\frac{9 - 2a}{a - 4}$
C. $\frac{1}{a - 4}$
D. $\frac{2a - 9}{a - 4}$
答案
C
3. 计算：
（1）（扬州中考改编）$(a + b) \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ = ________.
（2）（陕西中考）$(\frac{a + 1}{a - 1} + 1) \div \frac{2a}{a^{2} - 1}$ = ________.
（3）（包头中考）$(\frac{2m}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}) \div \frac{1}{m + 2}$ = ________.
（1）（扬州中考改编）$(a + b) \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ = ________.
（2）（陕西中考）$(\frac{a + 1}{a - 1} + 1) \div \frac{2a}{a^{2} - 1}$ = ________.
（3）（包头中考）$(\frac{2m}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}) \div \frac{1}{m + 2}$ = ________.
答案
(1) $ab$ (2) $a + 1$ (3) 1
4. 已知$m = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}$，$n = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$，那么$m^{2} - n^{2}$ = ________.
答案
-4
5. 教材P111练习变式 计算：
（1）（2023·南通中考）$\frac{a^{2}}{a^{2} - 2a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a} - \frac{1}{a - 1}$；
（2）（2023·重庆中考）$(3 + \frac{n}{m}) \div \frac{9m^{2} - n^{2}}{m}$；
（3）（2024·泸州中考）$(\frac{y^{2}}{x} + x - 2y) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x}$；
（4）（常德中考）$(a - 1 + \frac{a + 3}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 1}{a + 2}$.
（1）（2023·南通中考）$\frac{a^{2}}{a^{2} - 2a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a} - \frac{1}{a - 1}$；
（2）（2023·重庆中考）$(3 + \frac{n}{m}) \div \frac{9m^{2} - n^{2}}{m}$；
（3）（2024·泸州中考）$(\frac{y^{2}}{x} + x - 2y) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x}$；
（4）（常德中考）$(a - 1 + \frac{a + 3}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 1}{a + 2}$.
答案
(1) 原式=$\frac{a^{2}}{(a - 1)^{2}} \cdot \frac{a - 1}{a} - \frac{1}{a - 1} = \frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a - 1} = \frac{a - 1}{a - 1} = 1$.
(2) 原式=$\frac{3m + n}{m} \cdot \frac{m}{(3m + n)(3m - n)} = \frac{1}{3m - n}$.
(3) 原式=$\frac{y^{2}+x^{2}-2xy}{x} \cdot \frac{x}{x^{2}-y^{2}} = \frac{(x - y)^{2}}{x} \cdot \frac{x}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y}{x + y}$.
(4) 原式=$[\frac{(a - 1)(a + 2)}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2}] \cdot \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}$
=$\frac{a^{2}-a + 2a - 2 + a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}$
=$\frac{a^{2}+2a + 1}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{(a + 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$.
(2) 原式=$\frac{3m + n}{m} \cdot \frac{m}{(3m + n)(3m - n)} = \frac{1}{3m - n}$.
(3) 原式=$\frac{y^{2}+x^{2}-2xy}{x} \cdot \frac{x}{x^{2}-y^{2}} = \frac{(x - y)^{2}}{x} \cdot \frac{x}{(x + y)(x - y)} = \frac{x - y}{x + y}$.
(4) 原式=$[\frac{(a - 1)(a + 2)}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2}] \cdot \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}$
=$\frac{a^{2}-a + 2a - 2 + a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}$
=$\frac{a^{2}+2a + 1}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{(a + 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$.
6.（1）（2024·苏州中考）先化简，再求值：$(\frac{x + 1}{x - 2} + 1) \div \frac{2x^{2} - x}{x^{2} - 4}$，其中$x = - 3$.
（2）（2024·广元中考）先化简，再求值：$\frac{a}{a - b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2ab + b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$，其中$a、b$满足$b - 2a = 0$.
（2）（2024·广元中考）先化简，再求值：$\frac{a}{a - b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2ab + b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$，其中$a、b$满足$b - 2a = 0$.
答案
(1) 原式=$(\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2}) \div \frac{x(2x - 1)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x - 1}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(2x - 1)} = \frac{x + 2}{x}$.
当$x = -3$时，原式=$\frac{-3 + 2}{-3} = \frac{1}{3}$.
(2) 原式=$\frac{a}{a - b} \div \frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a}{a - b} \times \frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a + b}=\frac{b}{a + b}$，$\because b - 2a = 0$，$\therefore b = 2a$，$\therefore$原式=$\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2}{3}$.
当$x = -3$时，原式=$\frac{-3 + 2}{-3} = \frac{1}{3}$.
(2) 原式=$\frac{a}{a - b} \div \frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a}{a - b} \times \frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a + b}=\frac{b}{a + b}$，$\because b - 2a = 0$，$\therefore b = 2a$，$\therefore$原式=$\frac{2a}{a + 2a} = \frac{2}{3}$.
