登录
一、选择题
1. 如图1，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是()
A.
B.
C.
D.
1. 如图1，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案
解：设每个小正方形的边长为1，计算图1中三角形的三边长：
边长1：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
边长2：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
边长3：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
分别计算各选项三角形的三边及比例：
选项A：三边长为$3$，$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边之比为$3:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项B：三边长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，三边之比为$2\sqrt{5}:\sqrt{5}:\sqrt{17}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项C：三边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边之比为$\sqrt{10}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项D：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与图1中三角形三边之比相等，故两三角形相似。
答：正确答案为D。
边长1：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
边长2：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
边长3：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
分别计算各选项三角形的三边及比例：
选项A：三边长为$3$，$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边之比为$3:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项B：三边长为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，三边之比为$2\sqrt{5}:\sqrt{5}:\sqrt{17}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项C：三边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边之比为$\sqrt{10}:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不相似。
选项D：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$，与图1中三角形三边之比相等，故两三角形相似。
答：正确答案为D。
2. 已知△ABC的三边长分别是6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似()
A.2 cm，3 cm
B.4 cm，5 cm
C.5 cm，6 cm
D.6 cm，7 cm
A.2 cm，3 cm
B.4 cm，5 cm
C.5 cm，6 cm
D.6 cm，7 cm
答案
C
解析
1. 先化简△ABC的三边比：6:7.5:9=4:5:6；
2. 分三种情况讨论△DEF中4cm边的对应边：
若4cm对应△ABC的6cm边，比例为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，则另两边长为$7.5×\frac{2}{3}=5$cm，$9×\frac{2}{3}=6$cm，对应选项C；
若4cm对应△ABC的7.5cm边，比例为$\frac{4}{7.5}=\frac{8}{15}$，另两边长为$6×\frac{8}{15}=3.2$cm，$9×\frac{8}{15}=4.8$cm，无对应选项；
若4cm对应△ABC的9cm边，比例为$\frac{4}{9}$，另两边长为$6×\frac{4}{9}=\frac{8}{3}$cm，$7.5×\frac{4}{9}=\frac{10}{3}$cm，无对应选项；
3. 综上，只有选项C的边长能使两个三角形相似。
2. 分三种情况讨论△DEF中4cm边的对应边：
若4cm对应△ABC的6cm边，比例为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，则另两边长为$7.5×\frac{2}{3}=5$cm，$9×\frac{2}{3}=6$cm，对应选项C；
若4cm对应△ABC的7.5cm边，比例为$\frac{4}{7.5}=\frac{8}{15}$，另两边长为$6×\frac{8}{15}=3.2$cm，$9×\frac{8}{15}=4.8$cm，无对应选项；
若4cm对应△ABC的9cm边，比例为$\frac{4}{9}$，另两边长为$6×\frac{4}{9}=\frac{8}{3}$cm，$7.5×\frac{4}{9}=\frac{10}{3}$cm，无对应选项；
3. 综上，只有选项C的边长能使两个三角形相似。
3. 已知△ABC与△DEF满足下列条件，其中无法判定两个三角形相似的是()
A.$ AB = 10 $，$ BC = 15 $，$ CA = 20 $，$ DE = 7 $，$ EF = 10.5 $，$ FD = 14 $
B.$ AB = 10 $，$ BC = 15 $，$ CA = 20 $，$ DE:EF:FD = 2:3:4 $
C.$ ∠A = 57° $，$ AB = 12 $，$ AC = 15 $，$ ∠D = 57° $，$ ED = 16 $，$ EF = 20 $
D.$ ∠A = 57° $，$ AB = 12 $，$ AC = 15 $，$ ∠D = 57° $，$ ED = 16 $，$ DF = 20 $
A.$ AB = 10 $，$ BC = 15 $，$ CA = 20 $，$ DE = 7 $，$ EF = 10.5 $，$ FD = 14 $
B.$ AB = 10 $，$ BC = 15 $，$ CA = 20 $，$ DE:EF:FD = 2:3:4 $
C.$ ∠A = 57° $，$ AB = 12 $，$ AC = 15 $，$ ∠D = 57° $，$ ED = 16 $，$ EF = 20 $
D.$ ∠A = 57° $，$ AB = 12 $，$ AC = 15 $，$ ∠D = 57° $，$ ED = 16 $，$ DF = 20 $
答案
C
解析
根据相似三角形判定定理逐一分析：
1. 选项A：计算三边比例，$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{7}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10.5}=\frac{10}{7}$，$\frac{CA}{FD}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}$，三边成比例，由SSS判定定理可知△ABC∽△DEF。
2. 选项B：△ABC三边比为$10:15:20=2:3:4$，与△DEF三边比一致，三边成比例，由SSS判定定理可知△ABC∽△DEF。
3. 选项C：∠A与∠D相等，但$\frac{AB}{ED}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，AC的对应边应为DF而非EF，两边对应成比例但非夹角的两边，无法判定相似。
4. 选项D：∠A=∠D=57°，$\frac{AB}{ED}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，两边对应成比例且夹角相等，由SAS判定定理可知△ABC∽△DEF。
综上，无法判定相似的是选项C。
1. 选项A：计算三边比例，$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{7}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10.5}=\frac{10}{7}$，$\frac{CA}{FD}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}$，三边成比例，由SSS判定定理可知△ABC∽△DEF。
2. 选项B：△ABC三边比为$10:15:20=2:3:4$，与△DEF三边比一致，三边成比例，由SSS判定定理可知△ABC∽△DEF。
3. 选项C：∠A与∠D相等，但$\frac{AB}{ED}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，AC的对应边应为DF而非EF，两边对应成比例但非夹角的两边，无法判定相似。
4. 选项D：∠A=∠D=57°，$\frac{AB}{ED}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，两边对应成比例且夹角相等，由SAS判定定理可知△ABC∽△DEF。
综上，无法判定相似的是选项C。
4. 在△ABC和△A′B′C′中，$ AB = 9 $ cm，$ BC = 8 $ cm，$ CA = 5 $ cm，$ A'B' = 4.5 $ cm，$ B'C' = 2.5 $ cm，$ C'A' = 4 $ cm，则有()
A.$ ∠A = ∠A' $
B.$ ∠A = ∠B' $
C.$ ∠A = ∠C' $
D.$ ∠C = ∠B' $
A.$ ∠A = ∠A' $
B.$ ∠A = ∠B' $
C.$ ∠A = ∠C' $
D.$ ∠C = ∠B' $
答案
B
解析
1. 计算三边比例：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{9}{4.5}=2$，$\frac{BC}{C'A'}=\frac{8}{4}=2$，$\frac{CA}{B'C'}=\frac{5}{2.5}=2$；
2. 由三边对应成比例，得$△ ABC ∼ △ B'A'C'$；
3. 根据相似三角形对应角相等，得$∠ A = ∠ B'$。
2. 由三边对应成比例，得$△ ABC ∼ △ B'A'C'$；
3. 根据相似三角形对应角相等，得$∠ A = ∠ B'$。
5. 已知AD，BC相交于点O，$ OB:OD = 3:1 $，$ OA = 12 $ cm，$ OC = 4 $ cm，$ AB = 30 $ cm，则CD等于()
A.5 cm
B.10 cm
C.45 cm
D.90 cm
A.5 cm
B.10 cm
C.45 cm
D.90 cm
答案
B
解析
1. 计算比例：$OA:OC = 12:4 = 3:1$，已知$OB:OD = 3:1$，故$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$；
2. 判定相似：$∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等），根据两边对应成比例且夹角相等，可得$△ AOB ∼ △ COD$；
3. 求$CD$：由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{1}$，代入$AB=30$cm，解得$CD=10$cm。
2. 判定相似：$∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等），根据两边对应成比例且夹角相等，可得$△ AOB ∼ △ COD$；
3. 求$CD$：由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{1}$，代入$AB=30$cm，解得$CD=10$cm。
6. 如图2，在▱ABCD中，$ AB = 10 $，$ AD = 6 $，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()
A.5
B.8.2
C.6.4
D.1.8
A.5
B.8.2
C.6.4
D.1.8
答案
D
解析
1. 根据平行四边形性质，得$BC=AD=6$，$CD=AB=10$，$∠ B=∠ D$；
2. 因为E是AD中点，所以$DE=\frac{1}{2}AD=3$；
3. 由$△ CBF ∽ △ CDE$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$；
4. 代入数值$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，解得$BF=1.8$。
2. 因为E是AD中点，所以$DE=\frac{1}{2}AD=3$；
3. 由$△ CBF ∽ △ CDE$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$；
4. 代入数值$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，解得$BF=1.8$。
二、填空题
1. 如图3，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是(只需添加一个条件).
1. 如图3，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是(只需添加一个条件).
答案
解：
可添加的条件为$\boldsymbol{∠ ACD=∠ B}$（答案不唯一）。
在$△ ADC$和$△ ACB$中，
$∠ A=∠ A$（公共角），
$∠ ACD=∠ B$，
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（或添加$\boldsymbol{∠ ADC=∠ ACB}$，利用两角分别相等判定相似；或添加$\boldsymbol{\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}}$，利用两边成比例且夹角相等判定相似，任选其一即可）
可添加的条件为$\boldsymbol{∠ ACD=∠ B}$（答案不唯一）。
在$△ ADC$和$△ ACB$中，
$∠ A=∠ A$（公共角），
$∠ ACD=∠ B$，
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（或添加$\boldsymbol{∠ ADC=∠ ACB}$，利用两角分别相等判定相似；或添加$\boldsymbol{\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}}$，利用两边成比例且夹角相等判定相似，任选其一即可）
