1. 三元一次方程组$$\begin{cases}a + b = -1, \\ a + c = 0, \\ b + c = 1\end{cases}$$的解是 ______ 。

$\begin{cases}a=-1\\b=0\\c=1\end{cases}$
解题步骤：
1. 由$a + b = -1$得$a = -1 - b$；
2. 将$a = -1 - b$代入$a + c = 0$，得$-1 - b + c = 0$，即$c = b + 1$；
3. 将$c = b + 1$代入$b + c = 1$，得$b + (b + 1) = 1$，解得$b = 0$；
4. 把$b = 0$代入$a = -1 - b$，得$a = -1$；
5. 把$b = 0$代入$c = b + 1$，得$c = 1$。

2. 实数 $x$，$y$，$z$ 满足 $2x + y + 3z = 5$，$x + 2y - z = -4$，则 $x$，$z$ 之间具有的关系是【 】

A.$3x + 7z = 14$
B.$3x + 5z = 14$
C.$3x + 7z = 6$
D.$3x + 5z = 6$

A

已知方程组：
$\begin{cases}2x + y + 3z = 5 \quad (1), \\x + 2y - z = -4 \quad (2).\end{cases}$
为了消去 $y$，可以将方程(1)乘以2，然后减去方程(2)，即：
$2(2x + y + 3z) - (x + 2y - z) = 2 × 5 - (-4)$，
化简得：
$4x + 2y + 6z - x - 2y + z = 10 + 4$，
$3x + 7z = 14$。
由此，得到了 $x$ 和 $z$ 之间具有的关系是 $3x + 7z = 14$。

3. 已知某个三角形的周长为 18 cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的 2 倍，而它们的差等于第三条边长度的$\dfrac{1}{3}$，求这个三角形三边的长度。

5cm，6cm，7cm。

设三角形的三条边分别为$x$cm，$y$cm，$z$cm。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y + z = 18 \\x + y = 2z \\x - y = \dfrac{1}{3}z\end{cases}$
由②代入①，得$2z + z = 18$，解得$z = 6$。
将$z = 6$代入②，得$x + y = 12$。
将$z = 6$代入③，得$x - y = 2$。
联立$\begin{cases}x + y = 12 \\ x - y = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 7 \\ y = 5\end{cases}$。
所以三角形三边的长度分别为$5$cm，$6$cm，$7$cm。

4. 已知$-a^{x + y - z}b^5c^{x + z - y}$与$a^{11}b^{y + z - x}c$是同类项，则 $x =$，$y =$，$z =$。

因为两个单项式是同类项，所以相同字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}x + y - z = 11 \\y + z - x = 5 \\x + z - y = 1\end{cases}$
1. 方程①+②：$(x + y - z) + (y + z - x) = 11 + 5$，得$2y = 16$，解得$y = 8$。
2. 将$y = 8$代入①：$x + 8 - z = 11$，即$x - z = 3$ ④。
3. 将$y = 8$代入③：$x + z - 8 = 1$，即$x + z = 9$ ⑤。
4. ④+⑤：$(x - z) + (x + z) = 3 + 9$，得$2x = 12$，解得$x = 6$。
5. 将$x = 6$代入④：$6 - z = 3$，解得$z = 3$。
$x = 6$，$y = 8$，$z = 3$。
6；8；3

5. 已知 $y = ax^2 + bx + c$，当 $x = 1$ 时，$y = 3$；当 $x = -1$ 时，$y = 1$；当 $x = 0$ 时，$y = 1$。求 $a$，$b$，$c$ 的值。

由题意得：
$\begin{cases}a(1)^2 + b(1) + c = 3 \\a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 \\a(0)^2 + b(0) + c = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + b + c = 3 & (1) \\a - b + c = 1 & (2) \\c = 1 & (3)\end{cases}$
将(3)代入(1)：$a + b + 1 = 3$，即$a + b = 2$ (4)
将(3)代入(2)：$a - b + 1 = 1$，即$a - b = 0$ (5)
(4)+(5)：$2a = 2$，解得$a = 1$
将$a = 1$代入(5)：$1 - b = 0$，解得$b = 1$
综上，$a = 1$，$b = 1$，$c = 1$

6. 若 $|x + 2y - 5| + (2y + 3z - 13)^2 + \sqrt{3z + x - 10} = 0$，试求 $x$，$y$，$z$ 的值。

根据题意，因为绝对值、平方数和算术平方根都是非负数，且它们的和为$0$，所以可得：
$\begin{cases}x + 2y - 5 = 0 \quad (1) \\2y + 3z - 13 = 0 \quad (2) \\3z + x - 10 = 0 \quad (3)\end{cases}$
从$(1)$式，可以得到：
$x = 5 - 2y \quad (4)$
从$(2)$式，可以得到：
$3z = 13 - 2y \quad (5)$
将$(4)$和$(5)$代入$(3)$式，得到：
$13 - 2y + 5 - 2y - 10 = 0$
整理得：
$4y = 8$
从中解得：
$y = 2$
将$y = 2$代入$(4)$式，得到：
$x = 5 - 2× 2 = 1$
再将$y = 2$代入$(5)$式，得到：
$3z = 13 - 2× 2 = 9$
从中解得：
$z = 3$
因此，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1 \\y = 2 \\z = 3\end{cases}$