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7. 按如图所示的数值运算流程图，若开始输入的值为$25$，则最后输出的$y$值为().
A.$\sqrt{5}$
B.$\pm \sqrt{5}$
C.$5$
D.$\pm 5$
A.$\sqrt{5}$
B.$\pm \sqrt{5}$
C.$5$
D.$\pm 5$
答案
A
解析
输入25，计算25÷5=5，5＞0，输出y=√5。
8. 下列说法：①$\frac{23}{9}$是无理数；②$-2$是$4$的平方根；③$\sqrt{12}$在两个连续整数$a$和$b$之间，那么$a + b = 7$；④若正实数$m$的平方根是$3a - 1$和$3a - 11$，则$m = 25$. 其中正确的有().
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
C
解析
①$\frac{23}{9}$是分数，属于有理数，故①错误；②$(-2)^2=4$，所以$-2$是$4$的平方根，故②正确；③$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，则$\sqrt{12}$在$3$和$4$之间，$a=3$，$b=4$，$a+b=7$，故③正确；④正实数$m$的平方根互为相反数，所以$(3a - 1)+(3a - 11)=0$，解得$a=2$，平方根为$5$和$-5$，$m=5^2=25$，故④正确。正确的有②③④，共3个。
二、填空题
9. 比较大小：$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(选填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$\frac{1}{2}$.
9. 比较大小：$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(选填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$\frac{1}{2}$.
答案
因为$\sqrt{5} ＞ 2$（由于$2=\sqrt{4} ＜ \sqrt{5}$），
所以$\sqrt{5}-1＞ 2 - 1 = 1$，
那么$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}＞ \frac{1}{2}$。
故答案为：$＞$。
所以$\sqrt{5}-1＞ 2 - 1 = 1$，
那么$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}＞ \frac{1}{2}$。
故答案为：$＞$。
10. 一个数的立方根是$-4$，则这个数是.
答案
$-64$
解析
设这个数为$x$，根据题意，它的立方根为$-4$，即$\sqrt[3]{x} = -4$。两边立方得$x = (-4)^3 = -64$。
11. 若$(x - 2)^2 = 9$，则$x =$.
答案
$5$或$-1$（填写形式依据题目空格可能为两个数字如“5或-1” ，若单独题目填空一般两个答案都写上）。
解析
方程 $(x - 2)^2 = 9$，根据平方根的定义，可得 $x - 2 = \pm 3$。
当 $x - 2 = 3$ 时，解得 $x = 5$；
当 $x - 2 = -3$ 时，解得 $x = -1$。
综上，$x$ 的值为 $5$ 或 $-1$。
当 $x - 2 = 3$ 时，解得 $x = 5$；
当 $x - 2 = -3$ 时，解得 $x = -1$。
综上，$x$ 的值为 $5$ 或 $-1$。
12. 观察下列各式：$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，$···$，试猜想第$n$个等式为.
答案
$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
解析
观察等式左边根号内的整数部分依次为1，2，3···，第n个为n；分数部分分母依次为3，4，5···，第n个为n+2，分子均为1，故左边为$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}}$。等式右边整数部分依次为2，3，4···，第n个为n+1；根号内分数部分与左边分数部分相同，为$\frac{1}{n + 2}$，故右边为$(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$。因此第n个等式为$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$。
三、解答题
13. 计算：
（1）$(-3)^2 + 2(\sqrt{2} - 2) - | - 2\sqrt{2}|$；
（2）$-1^{2026} + \sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{-\frac{27}{64}} + |\sqrt{3} - 2|$.
13. 计算：
（1）$(-3)^2 + 2(\sqrt{2} - 2) - | - 2\sqrt{2}|$；
（2）$-1^{2026} + \sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{-\frac{27}{64}} + |\sqrt{3} - 2|$.
答案
（1）
$(-3)^2 + 2(\sqrt{2} - 2) - | - 2\sqrt{2}|$
$= 9 + 2\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{2}$
$= 5$
（2）
$-1^{2026} + \sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{-\frac{27}{64}} + |\sqrt{3} - 2|$
$= -1 + 2 - 4 × (-\frac{3}{4}) + (2 - \sqrt{3})$
$= -1 + 2 + 3 + 2 - \sqrt{3}$
$= 6 - \sqrt{3}$
$(-3)^2 + 2(\sqrt{2} - 2) - | - 2\sqrt{2}|$
$= 9 + 2\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{2}$
$= 5$
（2）
$-1^{2026} + \sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{-\frac{27}{64}} + |\sqrt{3} - 2|$
$= -1 + 2 - 4 × (-\frac{3}{4}) + (2 - \sqrt{3})$
$= -1 + 2 + 3 + 2 - \sqrt{3}$
$= 6 - \sqrt{3}$
14. 如图 1，用两个面积为$200\mathrm{cm}^2$的小正方形纸片拼成一个大正方形.
（1）求拼成的大正方形的边长；
（2）小丽想沿此大正方形纸片边的方向剪出一个长方形，如图（2），使剪出的长方形纸片的长与宽的比为$4:3$，且面积为$360\mathrm{cm}^2$. 你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？请说明理由.
（1）求拼成的大正方形的边长；
（2）小丽想沿此大正方形纸片边的方向剪出一个长方形，如图（2），使剪出的长方形纸片的长与宽的比为$4:3$，且面积为$360\mathrm{cm}^2$. 你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？请说明理由.
答案
（1）
设小正方形边长为$a$，$a^{2}=200$，$a = \sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
大正方形边长$x=\sqrt{200 + 200}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
（2）
设长方形纸片的长为$4x\mathrm{cm}$，宽为$3x\mathrm{cm}$。
$4x·3x = 360$，$12x^{2}=360$，$x^{2}=30$，$x=\sqrt{30}$。
长方形纸片的长$4x = 4\sqrt{30}$，因为$4\sqrt{30}=\sqrt{16×30}=\sqrt{480}＞\sqrt{400}=20$。
所以小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片。
设小正方形边长为$a$，$a^{2}=200$，$a = \sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
大正方形边长$x=\sqrt{200 + 200}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
（2）
设长方形纸片的长为$4x\mathrm{cm}$，宽为$3x\mathrm{cm}$。
$4x·3x = 360$，$12x^{2}=360$，$x^{2}=30$，$x=\sqrt{30}$。
长方形纸片的长$4x = 4\sqrt{30}$，因为$4\sqrt{30}=\sqrt{16×30}=\sqrt{480}＞\sqrt{400}=20$。
所以小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片。
