【例 1】已知在 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中, 当 $ x = 0 $ 时, $ y = - 3 $; 当 $ x = 1 $ 时, $ y = - 4 $; 当 $ x = - 2 $ 时, $ y = 5 $. 求当 $ x = 3 $ 时, $ y $ 的值.

设二次函数为 $y = ax^{2} + bx + c$。
根据题意，当 $x = 0$ 时，$y = -3$，代入得：
$c = -3$，
当 $x = 1$ 时，$y = -4$，代入得：
$a + b + c = -4$，
当 $x = -2$ 时，$y = 5$，代入得：
$4a - 2b + c = 5$，
将 $c = -3$ 代入上述两个方程，得到：
$a + b - 3 = -4$，
$4a - 2b - 3 = 5$，
化简得：
$a + b = -1$，
$4a - 2b = 8$，
即$2a - b = 4$，
解这个二元一次方程组，将$a + b = -1$与$2a - b = 4$相加，得到：
$3a=3$，
解得：
$a = 1$，
将 $a = 1$ 代入 $a + b = -1$，得到：
$b = -2$，
因此，二次函数的解析式为：
$y = x^{2} - 2x - 3$，
当 $x = 3$ 时，代入解析式得：
$y = 3^{2} - 2 × 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$，
所以当 $x = 3$ 时，$y$ 的值为$0$。

【变式 1】一个三位数, 个位、百位上的数字的和等于十位上的数字, 百位上的数字的 7 倍比个位、十位上的数字的和大 2, 个位、十位、百位上的数字的和是 14. 求这个三位数.

275

设百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + z = y & (1) \\7x - (y + z) = 2 & (2) \\x + y + z = 14 & (3)\end{cases}$
由$(1)$得$y = x + z$，代入$(3)$：$x + (x + z) + z = 14$，化简得$2x + 2z = 14$，即$x + z = 7$，故$y = 7$。
将$y = 7$代入$(2)$：$7x - (7 + z) = 2$，即$7x - z = 9$。
联立$\begin{cases}x + z = 7 \\ 7x - z = 9\end{cases}$，两式相加得$8x = 16$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$x + z = 7$，得$z = 5$。
所以这个三位数为$100x + 10y + z = 100×2 + 10×7 + 5 = 275$。

【例 2】有甲、乙、丙三种商品, 购买甲种商品 3 件, 乙种商品 2 件, 丙种商品 1 件共需 215 元; 购买甲种商品 1 件, 乙种商品 2 件, 丙种商品 3 件共需 185 元. 那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元?

设甲、乙、丙三种商品的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 215 \\x + 2y + 3z = 185\end{cases}$
将两个方程相加，得：
$(3x + 2y + z) + (x + 2y + 3z) = 215 + 185$
$4x + 4y + 4z = 400$
两边同时除以4，得：
$x + y + z = 100$
答：购买甲、乙、丙三种商品各一件共需100元。