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现有一块长为 $7.5\mathrm{dm}$、宽为 $5\mathrm{dm}$ 的矩形木板, 能否采用如图 $11 - 1$ 所示的方式, 在这块木板上截出两个面积分别是 $8\mathrm{dm}^2$ 和 $18\mathrm{dm}^2$ 的正方形木板?
答案
根据题意，两个正方形的面积分别是 $8\mathrm{dm}^2$ 和 $18\mathrm{dm}^2$，因此它们的边长分别为：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
两个正方形并排排列，所需的总长度为：
$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
因为 $5\sqrt{2} \approx 7.07\mathrm{dm}$，
比较所需的总长度 $7.07\mathrm{dm}$ 与木板长度 $7.5\mathrm{dm}$，
$7.07 ＜ 7.5$，
比较所需的总高度（即较大正方形的边长 $3\sqrt{2}\mathrm{dm}$）与木板的高度 $5\mathrm{dm}$，
$3\sqrt{2} \approx 4.24\mathrm{dm}$，
$4.24 ＜ 5$，
由于 $7.07 ＜ 7.5$ 且 $4.24 ＜ 5$，因此可以在这块木板上截出两个面积分别是 $8\mathrm{dm}^2$ 和 $18\mathrm{dm}^2$ 的正方形木板。
结论：能。
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
两个正方形并排排列，所需的总长度为：
$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \mathrm{dm}$，
因为 $5\sqrt{2} \approx 7.07\mathrm{dm}$，
比较所需的总长度 $7.07\mathrm{dm}$ 与木板长度 $7.5\mathrm{dm}$，
$7.07 ＜ 7.5$，
比较所需的总高度（即较大正方形的边长 $3\sqrt{2}\mathrm{dm}$）与木板的高度 $5\mathrm{dm}$，
$3\sqrt{2} \approx 4.24\mathrm{dm}$，
$4.24 ＜ 5$，
由于 $7.07 ＜ 7.5$ 且 $4.24 ＜ 5$，因此可以在这块木板上截出两个面积分别是 $8\mathrm{dm}^2$ 和 $18\mathrm{dm}^2$ 的正方形木板。
结论：能。
例 计算:
(1) $\sqrt{32}-\sqrt{48}+\sqrt{0.5}-9\sqrt{\dfrac{1}{27}}$; (2) $(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(\sqrt{\dfrac{1}{8}}-0.2\sqrt{75})$.
(1) $\sqrt{32}-\sqrt{48}+\sqrt{0.5}-9\sqrt{\dfrac{1}{27}}$; (2) $(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(\sqrt{\dfrac{1}{8}}-0.2\sqrt{75})$.
答案
(1)
解：
首先化简各二次根式：
$\sqrt{32} = \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2},$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3},$
$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$9\sqrt{\frac{1}{27}} = 9 × \frac{\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}.$
然后合并同类二次根式：
$4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{2}}{2} - 5\sqrt{3}.$
(2)
解：
首先化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2},$
$2\sqrt{\frac{1}{3}} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3},$
$\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4},$
$0.2\sqrt{75} = 0.2 × 5\sqrt{3} = \sqrt{3}.$
然后去括号并合并同类二次根式：
$\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{3} = \frac{13\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3}.$
解：
首先化简各二次根式：
$\sqrt{32} = \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2},$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3},$
$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$9\sqrt{\frac{1}{27}} = 9 × \frac{\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}.$
然后合并同类二次根式：
$4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{2}}{2} - 5\sqrt{3}.$
(2)
解：
首先化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2},$
$2\sqrt{\frac{1}{3}} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3},$
$\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4},$
$0.2\sqrt{75} = 0.2 × 5\sqrt{3} = \sqrt{3}.$
然后去括号并合并同类二次根式：
$\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{3} = \frac{13\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3}.$
1. 下列根式中, 与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是().
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
答案
A
解析
要判断与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。
A. $\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，被开方数为 2，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式；
B. $\sqrt{3}$ 已是最简形式，被开方数为 3，与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式；
C. $\sqrt{5}$ 已是最简形式，被开方数为 5，与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式；
D. $\sqrt{6}$ 已是最简形式，被开方数为 6，与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式。
2. 下列各组二次根式中, 属于同类二次根式的是().
A.$\sqrt{0.25}$ 与 $\sqrt{2.5}$
B.$\sqrt{75}$ 与 $\sqrt{\dfrac{1}{45}}$
C.$-\sqrt{\dfrac{1}{12}}$ 与 $\sqrt{48}$
D.$\sqrt{27}$ 与 $\sqrt{54}$
A.$\sqrt{0.25}$ 与 $\sqrt{2.5}$
B.$\sqrt{75}$ 与 $\sqrt{\dfrac{1}{45}}$
C.$-\sqrt{\dfrac{1}{12}}$ 与 $\sqrt{48}$
D.$\sqrt{27}$ 与 $\sqrt{54}$
答案
C
解析
同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
选项A：$\sqrt{0.25}=0.5$，不是二次根式，$\sqrt{2.5}$化简为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，二者不是同类二次根式。
选项B：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{45}}=\frac{\sqrt{5}}{15}$，被开方数不同，不是同类二次根式。
选项C：$-\sqrt{\frac{1}{12}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，被开方数都是$3$，是同类二次根式。
选项D：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，被开方数不同，不是同类二次根式。
选项A：$\sqrt{0.25}=0.5$，不是二次根式，$\sqrt{2.5}$化简为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，二者不是同类二次根式。
选项B：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{45}}=\frac{\sqrt{5}}{15}$，被开方数不同，不是同类二次根式。
选项C：$-\sqrt{\frac{1}{12}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，被开方数都是$3$，是同类二次根式。
选项D：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，被开方数不同，不是同类二次根式。
3. 计算:
(1) $4\sqrt{3}-\sqrt{3}$; (2) $\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{2}$;
(3) $\sqrt{9ab}-\sqrt{4ab}+\dfrac{1}{3}\sqrt{ab}-\sqrt{ab}$; (4) $5\sqrt{12}-2\sqrt{8}-3\sqrt{27}$.
(1) $4\sqrt{3}-\sqrt{3}$; (2) $\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{2}$;
(3) $\sqrt{9ab}-\sqrt{4ab}+\dfrac{1}{3}\sqrt{ab}-\sqrt{ab}$; (4) $5\sqrt{12}-2\sqrt{8}-3\sqrt{27}$.
答案
(1)
$4\sqrt{3}-\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{2} &= \sqrt{18} - \sqrt{2}\\&= 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \\&= 2\sqrt{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt{9ab}-\sqrt{4ab}+\frac{1}{3}\sqrt{ab}-\sqrt{ab} &= 3\sqrt{ab} - 2\sqrt{ab} + \frac{1}{3}\sqrt{ab} - \sqrt{ab} \\&= \frac{1}{3}\sqrt{ab}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}5\sqrt{12} - 2\sqrt{8} - 3\sqrt{27} &= 10\sqrt{3} - 4\sqrt{2} - 9\sqrt{3} \\&= \sqrt{3} - 4\sqrt{2}\end{aligned}$
$4\sqrt{3}-\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{2} &= \sqrt{18} - \sqrt{2}\\&= 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \\&= 2\sqrt{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt{9ab}-\sqrt{4ab}+\frac{1}{3}\sqrt{ab}-\sqrt{ab} &= 3\sqrt{ab} - 2\sqrt{ab} + \frac{1}{3}\sqrt{ab} - \sqrt{ab} \\&= \frac{1}{3}\sqrt{ab}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}5\sqrt{12} - 2\sqrt{8} - 3\sqrt{27} &= 10\sqrt{3} - 4\sqrt{2} - 9\sqrt{3} \\&= \sqrt{3} - 4\sqrt{2}\end{aligned}$
