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6. 如图，角$α$的顶点在直角坐标系的原点，一边在$x$轴上，另一边经过点$P(2,2\sqrt{3})$，求角$α$的正弦、余弦、正切值.
答案
6. $\sinα=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\cosα=\dfrac{1}{2}$ $\tanα=\sqrt{3}$
解析
【解析】
过点$ P $作$ PM ⊥ x $轴于点$ M $，则$ OM=2 $，$ PM=2\sqrt{3} $。
由勾股定理得：
$ OP=\sqrt{OM^2+PM^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4 $。
根据锐角三角函数的定义：
$ \sinα=\dfrac{PM}{OP}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $，
$ \cosα=\dfrac{OM}{OP}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} $，
$ \tanα=\dfrac{PM}{OM}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} $。
【答案】
$\sinα=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cosα=\dfrac{1}{2}$，$\tanα=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查利用坐标求锐角三角函数值，解题关键是构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数定义求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
过点$ P $作$ PM ⊥ x $轴于点$ M $，则$ OM=2 $，$ PM=2\sqrt{3} $。
由勾股定理得：
$ OP=\sqrt{OM^2+PM^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4 $。
根据锐角三角函数的定义：
$ \sinα=\dfrac{PM}{OP}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $，
$ \cosα=\dfrac{OM}{OP}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} $，
$ \tanα=\dfrac{PM}{OM}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} $。
【答案】
$\sinα=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cosα=\dfrac{1}{2}$，$\tanα=\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查利用坐标求锐角三角函数值，解题关键是构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数定义求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$CD$是平面镜，光线从$A$点出发经$CD$上点$E$反射后照射到$B$点，若入射角为$α$，$AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，垂足分别为$C$，$D$，且$AC = 3$，$BD = 6$，$CD = 11$，则$\tanα$的值为(
A.$\frac{11}{3}$
B.$\frac{3}{11}$
C.$\frac{9}{11}$
D.$\frac{11}{9}$
D
)A.$\frac{11}{3}$
B.$\frac{3}{11}$
C.$\frac{9}{11}$
D.$\frac{11}{9}$
答案
7. D
解析
【解析】
根据反射定律可知∠AEC=∠BED，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以∠ACE=∠BDE=90°，
因此△ACE∽△BDE。
设CE=x，则ED=11-x，由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{ED}$，即$\frac{3}{6}=\frac{x}{11-x}$，
解得$x=\frac{11}{3}$。
因为AC⊥CD，法线垂直于CD，所以∠A=α，
在Rt△ACE中，$\tan A=\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{11}{3}}{3}=\frac{11}{9}$，
故$\tanα=\frac{11}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反射定律
【点评】
本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及反射定律的应用，关键是通过反射角与入射角的关系证明三角形相似，进而求出线段长度，再利用锐角三角函数求解。
【难度系数】
0.6
根据反射定律可知∠AEC=∠BED，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以∠ACE=∠BDE=90°，
因此△ACE∽△BDE。
设CE=x，则ED=11-x，由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{ED}$，即$\frac{3}{6}=\frac{x}{11-x}$，
解得$x=\frac{11}{3}$。
因为AC⊥CD，法线垂直于CD，所以∠A=α，
在Rt△ACE中，$\tan A=\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{11}{3}}{3}=\frac{11}{9}$，
故$\tanα=\frac{11}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反射定律
【点评】
本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及反射定律的应用，关键是通过反射角与入射角的关系证明三角形相似，进而求出线段长度，再利用锐角三角函数求解。
【难度系数】
0.6
8. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，下列等式中不一定成立的是(
A.$b = a\tan B$
B.$a = c\cos B$
C.$c = \frac{a}{\sin A}$
D.$a = b\cos A$
D
)A.$b = a\tan B$
B.$a = c\cos B$
C.$c = \frac{a}{\sin A}$
D.$a = b\cos A$
答案
8. D
解析
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C = 90°$，根据锐角三角函数的定义逐一分析：
选项A：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形可得$b = a\tan B$，等式成立；
选项B：$\cos B = \frac{a}{c}$，变形可得$a = c\cos B$，等式成立；
选项C：$\sin A = \frac{a}{c}$，变形可得$c = \frac{a}{\sin A}$，等式成立；
选项D：$\cos A = \frac{b}{c}$，变形可得$b = c\cos A$，并非$a = b\cos A$，该等式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数定义的应用，需准确区分各锐角的对边、邻边与斜边，避免混淆边角关系。
【难度系数】
0.8
在$Rt△ABC$中，$∠ C = 90°$，根据锐角三角函数的定义逐一分析：
选项A：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形可得$b = a\tan B$，等式成立；
选项B：$\cos B = \frac{a}{c}$，变形可得$a = c\cos B$，等式成立；
选项C：$\sin A = \frac{a}{c}$，变形可得$c = \frac{a}{\sin A}$，等式成立；
选项D：$\cos A = \frac{b}{c}$，变形可得$b = c\cos A$，并非$a = b\cos A$，该等式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数定义的应用，需准确区分各锐角的对边、邻边与斜边，避免混淆边角关系。
【难度系数】
0.8
9. 一个直角三角形有两条边长为$3$和$4$，则较小锐角的正切值是
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
.答案
9. $\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
解析
【解析】
本题需分两种情况讨论：
1. 当边长为3和4的两条边为直角边时，较小锐角所对的直角边为3，邻边为4，根据正切的定义，其正切值为$\dfrac{3}{4}$；
2. 当边长为4的边为斜边时，根据勾股定理，另一条直角边的长度为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，此时较小锐角所对的直角边为$\sqrt{7}$，邻边为3，根据正切的定义，其正切值为$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略分类讨论而漏解，解题时需明确直角三角形中已知边长的两种可能情况，结合勾股定理和锐角三角函数定义求解。
【难度系数】
0.5
本题需分两种情况讨论：
1. 当边长为3和4的两条边为直角边时，较小锐角所对的直角边为3，邻边为4，根据正切的定义，其正切值为$\dfrac{3}{4}$；
2. 当边长为4的边为斜边时，根据勾股定理，另一条直角边的长度为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，此时较小锐角所对的直角边为$\sqrt{7}$，邻边为3，根据正切的定义，其正切值为$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略分类讨论而漏解，解题时需明确直角三角形中已知边长的两种可能情况，结合勾股定理和锐角三角函数定义求解。
【难度系数】
0.5
10. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 2$，$\sin A = \frac{1}{3}$，则$AB=$
6
.答案
10. 6
解析
【解析】
在$△ABC$中，$∠C=90°$，根据锐角正弦的定义：$\sin A=\frac{BC}{AB}$。
已知$BC=2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，代入得：$\frac{1}{3}=\frac{2}{AB}$，
解得$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
锐角正弦定义
【点评】
本题考查锐角正弦定义的应用，属于基础题型，需熟练掌握直角三角形中锐角三角函数的定义并能准确代入计算。
【难度系数】
0.8
在$△ABC$中，$∠C=90°$，根据锐角正弦的定义：$\sin A=\frac{BC}{AB}$。
已知$BC=2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，代入得：$\frac{1}{3}=\frac{2}{AB}$，
解得$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
锐角正弦定义
【点评】
本题考查锐角正弦定义的应用，属于基础题型，需熟练掌握直角三角形中锐角三角函数的定义并能准确代入计算。
【难度系数】
0.8
