27. （12分）如图，正比例函数$y = 2x$的图像和反比例函数的图像相交于点A（m，-2）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图像，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若反比例函数的图像上的点C（2，n）沿OA方向平移$\sqrt{5}$个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论.

（1）反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$ （2）$-1＜x＜0$或$x＞1$ （3）四边形$OABC$是菱形. $\because$点$A$的坐标为$(-1,-2)$，$\therefore OA=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$. 由题意知$CB// OA$且$CB=\sqrt{5}$. $\therefore CB = OA$. $\therefore$四边形$OABC$是平行四边形. $\because$点$C(2,n)$在$y=\frac{2}{x}$的图像上，$\therefore n = 1$. $\therefore OC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$. $\therefore OC = OA$. $\therefore\square OABC$是菱形

28. （12分）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，4）是矩形OACB的两个顶点，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$，$x＞0$）的图像经过AC的中点D，E是矩形OACB与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像的另一个交点.
（1）点D的坐标为_______，点E的坐标为_______.
（2）动点P在第一象限内，且△PBO的面积$S_{\triangle PBO}$与△ODE的面积$S_{\triangle ODE}$满足$S_{\triangle PBO}=\frac{8}{9}S_{\triangle ODE}$.
①若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
②连接PO、PE，当PO - PE的值最大时，求点P的坐标；
③若点Q在平面直角坐标系中，且以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.

（1）$(6,2)$ $(3,4)$ （2）①$P(4,3)$ ②$P(4,\frac{16}{3})$ ③$Q_{1}(4,4 + 2\sqrt{3})$、$Q_{2}(4,2\sqrt{3})$、$Q_{3}(4,-2\sqrt{3})$、$Q_{4}(8,2)$