例1（2023·宁波）
有如下定义：有两个相邻的内角是直角，且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，其中相等两邻边的夹角称为邻等角.

（1）如图①，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$∠ A = 90^{\circ}$，对角线 $BD$ 平分 $∠ ADC$.求证：四边形 $ABCD$ 为邻等四边形.
（2）如图②，在 $6 × 5$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$，且 $A$，$B$，$C$ 三点均在格点上.若四边形 $ABCD$ 是邻等四边形，请在图中画出所有符合条件的格点 $D$.
（3）如图③，四边形 $ABCD$ 是邻等四边形，$∠ DAB = ∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ BCD$ 为邻等角，连接 $AC$，过点 $B$ 作 $BE // AC$ 交 $DA$ 的延长线于点 $E$.若 $AC = 8$，$DE = 10$，求四边形 $EBCD$ 的周长.
分析 （1）根据邻等四边形定义证明即可；
（2）根据邻等四边形的定义利用网格画图即可；
（3）先证明四边形 $AEBC$ 是平行四边形，得 $AE = BC = DC$，设 $AE = BC = DC = x$，得 $AD = DE - AE = 10 - x$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于点 $F$，得矩形 $ABFD$，得 $AB = DF$，$AD = BF = 10 - x$，则 $CF = 2x - 10$，根据勾股定理求出 $x$ 的值，进而可得四边形 $EBCD$ 的周长.

（1）见证明；（2）见解析；（3）38 - 6√2。

（1）证明：∵AD//BC，∠A=90°，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=90°，即∠A和∠B是相邻直角。
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴BC=DC。
在Rt△ABD中，sin∠ADB=AB/BD；在△DBC中，sin∠DBC=DC/BD，∵∠ADB=∠DBC，DC=BC，∴AB=BC。
∵∠A和∠B是相邻直角，AB=BC（邻边相等），∴四边形ABCD为邻等四边形。
（2）符合条件的格点D有3个，位置如下：
点D₁（2,5）
点D₂（2,3）
点D₃（4,1）
（3）解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD//BC。
∵BE//AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴AE=BC，BE=AC=8。
设AE=BC=DC=x，则AD=DE - AE=10 - x。
过D作DF⊥BC于F，得矩形ABFD，∴AB=DF，AD=BF=10 - x，CF=BC - BF=2x - 10。
在Rt△ABC中，AB² + x²=8²=64，∴AB²=64 - x²。
在Rt△DFC中，DF² + CF²=DC²，即64 - x² + (2x - 10)²=x²，解得x=10 - 3√2（x=10 + 3√2舍去）。
四边形EBCD周长=EB + BC + CD + DE=8 + x + x + 10=38 - 6√2。