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10. 下图是博物馆的 4 个展区。历史兴趣小组全员来到博物馆参观，不论怎么分，总有一个展区至少有 4 人参观。历史兴趣小组至少有()人。
A.13
B.15
C.16
D.17
A.13
B.15
C.16
D.17
答案
A
解析
根据抽屉原理，要保证总有一个展区至少有4人，最不利情况是每个展区先有3人，此时总人数为$3×4=12$人，再增加1人，就会出现至少一个展区有4人，所以至少有$12+1=13$人。
11. 把 18 枚棋子放入下面的小三角形中，一定有一个小三角形中至少放了()枚棋子。
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
由图可知小三角形有4个。18÷4=4（枚）……2（枚），4+1=5（枚），所以一定有一个小三角形中至少放了5枚棋子。
12. 六(1)班准备从全班 45 名学生中选 1 名班长。下表是 31 名学生投票后，3 名候选人的得票情况。小红至少再得()票就能保证得票数最多而选上班长。(候选人也能投票，每人投一票)
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
总人数45人，已投票31人，剩余票数：45-31=14票。当前小红13票，小华10票（第二高），小明8票。最不利情况为剩余票尽可能给小华。设小红再得x票，则小华最多得(14-x)票。需满足13+x ＞ 10+(14-x)，解得x＞5.5，x最小为6。
13. 某次马拉松比赛招募了一支由 1160 名青年志愿者组成的青年志愿服务队，在这些志愿者中至少有()名志愿者的生日会在同一天。
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
一年最多有366天（闰年），把这366天看作366个“抽屉”，将1160名志愿者放入这些“抽屉”。用志愿者总人数除以一年天数，$1160÷366 = 3······62$，即平均每天有3名志愿者过生日时，还剩余62名志愿者，这剩余的62名志愿者无论分配到哪一天，这样至少有$3 + 1=4$名志愿者的生日在同一天。
14. 一个袋子中有红、黄、白、蓝、绿 5 种颜色的玻璃球若干个(这些球除颜色不同，其余完全相同，且每种球的数量足够多)。如果每人从中摸出 2 个球，那么总有 2 人摸出的球颜色组合完全相同。参加摸球的至少有()人。
A.14
B.15
C.16
D.17
A.14
B.15
C.16
D.17
答案
C
解析
先确定摸出2个球的颜色组合种类（抽屉数）。分两种情况：同色组合有5种（红-红、黄-黄、白-白、蓝-蓝、绿-绿）；异色组合为从5种颜色中选2种，即C(5,2)=5×4÷2=10种。总组合数=5+10=15种。根据抽屉原理，至少需要15+1=16人，才能保证总有2人组合相同。
二、简答题
15. 不透明的盒子里装有若干个一模一样的小球。要想一次摸出的球一定有 2 个不同的号码，那么一次至少要摸几个球？连一连。
15. 不透明的盒子里装有若干个一模一样的小球。要想一次摸出的球一定有 2 个不同的号码，那么一次至少要摸几个球？连一连。
答案
第一个盒子（号码：①②⑤③④⑥，均为不同号码，最多1个同号）：
最坏情况先摸1个球，再摸1个必不同，至少摸2个球。
第二个盒子（号码：②③④②①①，最多2个同号，如①或②）：
最坏情况先摸2个同号球，再摸1个必不同，至少摸2+1=3个球。
第三个盒子（号码：⑤④⑤④①④，最多3个同号，如④）：
最坏情况先摸3个同号球，再摸1个必不同，至少摸3+1=4个球。
连线结果：
“至少要摸4个球”连第三个盒子；
“至少要摸2个球”连第一个盒子；
“至少要摸3个球”连第二个盒子。
最坏情况先摸1个球，再摸1个必不同，至少摸2个球。
第二个盒子（号码：②③④②①①，最多2个同号，如①或②）：
最坏情况先摸2个同号球，再摸1个必不同，至少摸2+1=3个球。
第三个盒子（号码：⑤④⑤④①④，最多3个同号，如④）：
最坏情况先摸3个同号球，再摸1个必不同，至少摸3+1=4个球。
连线结果：
“至少要摸4个球”连第三个盒子；
“至少要摸2个球”连第一个盒子；
“至少要摸3个球”连第二个盒子。
16. 南昌以其青春活力、烟火气息和浓厚的文化底蕴，吸引了众多外地游客。这个周末，小张和他的 12 名同学一起来到南昌游玩，他们明天上午准备从以下四个景点中选择两个景点游玩。
|①滕王阁|
|----|
|②八一起义纪念馆|
|③万寿宫历史文化街区|
|④南昌舰主题园|
(1)他们明天上午有几种游玩方案？
(2)如果每个人都选择一个自己最喜欢的方案，那么至少有几人选择的是同一方案？
|①滕王阁|
|----|
|②八一起义纪念馆|
|③万寿宫历史文化街区|
|④南昌舰主题园|
(1)他们明天上午有几种游玩方案？
(2)如果每个人都选择一个自己最喜欢的方案，那么至少有几人选择的是同一方案？
答案
(1) 从4个景点中选2个，组合数公式为 $ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $，这里 $ n = 4 $，$ k = 2 $。
$ C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4×3}{2×1} = 6 $（种）
答：他们明天上午有6种游玩方案。
(2) 总人数为 $ 1 + 12 = 13 $（人），方案数为6种。
$ 13÷6 = 2$（人）$······1$（人），$ 2 + 1 = 3 $（人）
答：至少有3人选择的是同一方案。
$ C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4×3}{2×1} = 6 $（种）
答：他们明天上午有6种游玩方案。
(2) 总人数为 $ 1 + 12 = 13 $（人），方案数为6种。
$ 13÷6 = 2$（人）$······1$（人），$ 2 + 1 = 3 $（人）
答：至少有3人选择的是同一方案。
