10. 如图，在$□ ABCD$中，$AC\bot BC$，$AC$与$BD$相交于点$O$，若$AB=5$，$AD=3$，则$BD$的长为()

A.$2\sqrt{13}$
B.$\sqrt{13}$
C.$2\sqrt{11}$

D.$\sqrt{11}$

10. A

11. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$作$OE\bot AC$交$AD$于点$E$，若$AE=4$，$DE=3$，$AB=5$，则$AC$的长为()

A.$4\sqrt{2}$
B.6
C.8
D.$5\sqrt{2}$

11. A

12. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，过点$O$的线段$EF$与$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$。若$AD=4$，$AB=5$，四边形$EFCD$的周长为12，则$OE=$。

12. $\frac{3}{2}$ [解析]
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=5,AD=BC=4,AO=OC,AD//BC,
∴∠OAD=∠OCF
在△AOE和△OCF中,
∵{∠OAD=∠OCF,
AO=CO,
∠AOE=∠COF,
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴OF=OE,CF=AE,
∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+CD+AE+OF+OE=AD+CD+OE +OF=12,
∴4+5+2OE=12,
∴OE=$\frac{3}{2}$。

13. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AE\bot BC$，垂足为点$E$，$AB=\sqrt{3}$，$AC=2$，$BD=4$。
（1）求证：$AB\bot AC$。
（2）求$AE$的长。

13. 解:(1)证明:
∵AC=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1,BO=$\frac{1}{2}$BD=2。
∵AB=$\sqrt{3}$,
∴AB²+AO²=BO²,
∴∠BAC=90°,
∴AB⊥AC。
(2)在Rt△BAC中,BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{7}$。
∵S_{△BAC}=$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$BC·AE,
∴$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{7}$AE,
∴AE=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$。

14. 探究：如图1，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$的直线交$AD$于点$E$，交$BC$于点$F$。
（1）求证：$OE=OF$。
（2）直线$EF$是否将$□ ABCD$的面积二等分？若是，请说明理由。
（3）应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井$P$，如图2所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点$P$，请你作图帮助张大爷把地分开。

14. 解:(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,AD//BC,
∴∠EAO=∠FCO。
在△AOE和△COF中,
∵{∠EAO=∠FCO,
OA=OC,
∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF。
(2)直线EF将▱ABCD的面积二等分,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD,
∴△AOB≌△COD(SSS)。
由(1)可知,△AOE≌△COF,同理得△DOE ≌△BOF,
∴$S_{△AOB}=S_{△COD},S_{△AOE}=S_{△COF},S_{△DOE}=S_{△BOF},$
∴$S_{四边形AEFB}=S_{△AOB}+S_{△AOE}+S_{△BOF}=S_{△COD}+S_{△COF}+S_{△DOE}=S_{四边形DEFC},$
因此，直线EF将▱ABCD的面积二等分。
(3)应用:如图,连结AC,BD交于点O,作直线OP,则直线OP两侧的四边形面积相等。