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6. 如图，已知$P$是边长为$1$的正方形$ABCD$对角线$BD$上一点，且$BP = BC$.求：
（1）$∠ ACP$度数；
（2）$DP$的长.
（1）$∠ ACP$度数；
（2）$DP$的长.
答案
解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC = ∠BCA = 45°。
又 ∵ BP = BC，
∴$∠BCP = ∠BPC = \frac {1}{2}(180° - ∠DBC) = 67.5°$，
∴∠ACP = ∠BCP - ∠BCA = 67.5° - 45° = 22.5°。
(2) ∵ BC = CD = 1，
∴$BD = \sqrt {BC^2 + CD^2} = \sqrt {1^2 + 1^2} = \sqrt {2}$，
∴$DP = BD - BP = \sqrt {2} - 1$。
∴∠DBC = ∠BCA = 45°。
又 ∵ BP = BC，
∴$∠BCP = ∠BPC = \frac {1}{2}(180° - ∠DBC) = 67.5°$，
∴∠ACP = ∠BCP - ∠BCA = 67.5° - 45° = 22.5°。
(2) ∵ BC = CD = 1，
∴$BD = \sqrt {BC^2 + CD^2} = \sqrt {1^2 + 1^2} = \sqrt {2}$，
∴$DP = BD - BP = \sqrt {2} - 1$。
7. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，点$D$为其内一点，且$AD$，$BD$分别平分$∠ BAC$，$∠ ABC$.已知$DE⊥BC$，垂足为$E$，$DF⊥AC$，垂足为$F$，求证：四边形$DECF$是正方形.
答案
解：四边形 DECF 是正方形
理由: 如图, 过点 D 作 DG⊥ AB , 交 AB 于点 G.
由题意, 得 ∠ C=∠ DEC=∠ DFC = 90° ,
∴ 四边形 DECF 为矩形.
∵AD 平分 ∠ BAC , DF⊥ AC , DG⊥ AB ,
∴DF = DG .
∵BD 平分 ∠ ABC , DG⊥ AB , DE⊥ BC ,
∴DE = DG .
∴DE = DF .
∴ 四边形 DECF 为正方形.
8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ A = 90°$.求作正方形$ADEF$，使得点$D$，$E$，$F$分别在直线$AB$，$BC$，$AC$上.（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
答案
解：如图所示。
