1. 有下列条件: ① $ AB = CD $，$ AB // CD $；② $ ∠ A = ∠ C $，$ ∠ B = ∠ D $；③ $ AB = AD $，$ BC = CD $；④ $ AB = CD $，$ AD = BC $. 其中，能判定四边形 $ ABCD $ 为平行四边形的有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

【随堂练习】1. C

【解析】
1. 分析条件①：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由$AB = CD$且$AB // CD$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 分析条件②：根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，由$∠A = ∠C$，$∠B = ∠D$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
3. 分析条件③：$AB = AD$，$BC = CD$是两组邻边分别相等，只能判定四边形为筝形，不能判定为平行四边形；
4. 分析条件④：根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，由$AB = CD$，$AD = BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形。
综上，能判定的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定定理
【点评】
本题考查平行四边形的判定定理，需准确掌握不同判定条件，注意区分邻边相等与对边相等的差异，加深对判定定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点，则图中与 $ △ ABE $
A.5
B.4
C.3
D.2

2.A

【解析】
设平行四边形$ABCD$的面积为$S$。
因为$E$是$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BC$，$△ ABE$的高与平行四边形$ABCD$的高相等，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S$。
根据图形性质分析：
1. $△ AEC$：$EC=BE$，与$△ ABE$同高，故$S_{△ AEC}=S_{△ ABE}=\frac{1}{4}S$；
2. 平行四边形对角线互相平分，$O$为$AC$、$BD$中点，因此$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ DOA$的面积均为$\frac{1}{4}S$，都与$△ ABE$面积相等。
综上，与$△ ABE$面积相等的三角形共5个。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形的性质与三角形面积公式，通过分析底和高的关系寻找面积相等的三角形，需要准确梳理图形中各三角形的面积关系，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.4

3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，点 $ E $，$ F $ 分别在 $ OA $，$ OC $ 上.
(1) 给出以下条件: ① $ OB = OD $，② $ ∠ 1 = ∠ 2 $，③ $ OE = OF $. 请你从中选取两个条件证明 $ △ BEO ≌ △ DFO $.
(2) 在(1)中你所选条件的前提下，添加条件 $ AE = CF $，求证: 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.

【随堂练习】3. (1) 略 (2) 由$\triangle BEO\cong\triangle DFO$，可得 EO = FO，BO = DO。又因为 AE = CF，所以 AO = CO，可得四边形 ABCD 是平行四边形

【解析】
(1) 示例：选取条件①$OB=OD$，②$∠1=∠2$，证明如下：
在$△ BEO$和$△ DFO$中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2\\OB=OD\\∠BOE=∠DOF（对顶角相等）\end{array} $
$\therefore △ BEO≌△ DFO(ASA)$
（也可选取①③，利用SAS证明；或选取②③，利用AAS证明，过程类似）
(2) 由(1)中$△ BEO≌△ DFO$，可得$BO=DO$，$EO=FO$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EO=CF+FO$，即$AO=CO$。
又$\because BO=DO$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【答案】
(1) 选取任意两个条件均可证明$△ BEO≌△ DFO$，证明过程见解析；
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，证明见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定定理与性质是解题关键，需灵活选取条件完成证明。
【难度系数】
0.6

1. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $ 是边 $ BC $ 的中点，点 $ F $，$ E $ 分别在 $ AD $ 及其延长线上，$ CF // BE $.
(1) 试证明 $ △ BDE ≌ △ CDF $；
(2) 连接 $ BF $，$ CE $，判断四边形 $ BECF $ 是何种特殊四边形，并说明理由.

【迁移运用】1. (1) 根据“角角边”可证 (2) 四边形 BECF 是平行四边形，因为由(1)得全等之后，易得对角线互相平分

【解析】
(1) 证明：
∵ $CF// BE$，
∴ $∠E = ∠F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $D$ 是边 $BC$ 的中点，
∴ $BD = CD$。
在 $△BDE$ 和 $△CDF$ 中，
$\begin{cases}∠E = ∠F \\∠BDE = ∠CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△BDE ≌ △CDF$（AAS）；
(2) 四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由如下：
∵ $△BDE ≌ △CDF$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $BD = CD$，即四边形 $BECF$ 的对角线互相平分，
∴ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题考查全等三角形与平行四边形的综合运用，需熟练掌握全等三角形的判定定理及平行四边形的判定定理，利用平行线性质获取全等条件是解题突破口。
【难度系数】
0.6

2. 已知: 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AE ⊥ BD $，$ CF ⊥ BD $，垂足分别为 $ E $，$ F $. $ G $，$ H $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，$ GH $，$ BD $ 相交于点 $ O $.
求证: $ EF $，$ GH $ 互相平分.

【迁移运用】2. 如图，连接 BG、DH，$\because $四边形 ABCD 是平行四边形，$\therefore AB = CD$，AD = BC，AB// CD。$\therefore \angle ABE=\angle CDF$。$\because AE\perp BD$，$CF\perp BD$，$\therefore \angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。在$ \triangle ABE $和$ \triangle CDF $中，$\angle ABE=\angle CDF$，$\angle AEB=\angle CFD$，AB = CD，$\therefore \triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$。$\therefore BE = DF$。$\because G$、H 分别为 AD、BC 的中点，$\therefore DG = BH$。$\therefore $四边形 BHDG 是平行四边形。$\therefore OG = OH$，OB = OD。$\therefore OB - BE = OD - DF$。$\therefore OE = OF$，即 EF、GH 互相平分

【解析】
连接BG、DH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，AB//CD，
∴∠ABE = ∠CDF。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CDF\\∠AEB = ∠CFD\\AB = CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE = DF。
∵G、H分别为AD、BC的中点，
∴DG = $\frac{1}{2}$AD，BH = $\frac{1}{2}$BC，
又
∵AD = BC，
∴DG = BH，且DG//BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OG = OH，OB = OD。
∵OB - BE = OD - DF，
∴OE = OF，
∴EF、GH互相平分。
【答案】
EF、GH互相平分，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过构造辅助线，综合运用平行四边形和全等三角形的判定与性质完成证明，考查了对相关几何定理的理解与综合运用能力，需熟练掌握平行四边形和全等三角形的核心知识点。
【难度系数】
0.6