26. (本小题 14 分)已知一次函数$y = 2x + b$的图象经过点$A$,$B$.点$A$的坐标为$(1,5)$,点$B$的横坐标为$m$.
(1) 求$b$的值;
(2) 若线段$AB$的最高点与最低点的纵坐标之差为 6,求$m$的值;
(3) 已知点$C(m + 1,2m + 2)$,以坐标原点$O$为中心构造矩形$CDEF$,且$CD ⊥ x$轴.若线段$AB$与矩形$CDEF$的边只有一个公共点,求$m$的取值范围.

(1)$3$；(2)$4$或$-2$；(3)$\frac{3}{2}$或$-\frac{7}{4}$。

(1) 将点$A(1,5)$代入$y=2x+b$，得$5=2×1+b$，解得$b=3$。
(2) 点$B$坐标为$(m,2m+3)$。
当$m＞1$时，线段$AB$纵坐标差为$(2m+3)-5=2m-2=6$，解得$m=4$；
当$m＜1$时，纵坐标差为$5-(2m+3)=2-2m=6$，解得$m=-2$。
综上，$m=4$或$m=-2$。
(3) 矩形$CDEF$顶点坐标：$C(m+1,2m+2)$，$D(m+1,-(2m+2))$，$E(-(m+1),-(2m+2))$，$F(-(m+1),2m+2)$。线段$AB$为$y=2x+3$上从$A(1,5)$到$B(m,2m+3)$的线段。
当$m＞1$时，仅当$m=\frac{3}{2}$时，线段$AB$与$FC$边交于点$A$，有一个公共点；
当$m＜1$时，仅当$m=-\frac{7}{4}$时，线段$AB$与$CD$边交于点$D$，有一个公共点。
综上，$m=\frac{3}{2}$或$m=-\frac{7}{4}$。