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1. 下列各式中是关于 $ x $ 的分式方程的是(
A.$\dfrac{1}{x}$
B.$x^{2}+1=y$
C.$\dfrac{x}{2}+1=0$
D.$\dfrac{1}{x + 1}=2$
D
)A.$\dfrac{1}{x}$
B.$x^{2}+1=y$
C.$\dfrac{x}{2}+1=0$
D.$\dfrac{1}{x + 1}=2$
答案
1. D
解析
【解析】
分式方程的定义是分母中含有未知数的方程。逐一分析选项：
选项A：$\dfrac{1}{x}$是分式，不是方程，不符合分式方程的定义；
选项B：$x^{2}+1=y$是二元方程，分母不含未知数，不符合；
选项C：$\dfrac{x}{2}+1=0$是一元一次方程，分母不含未知数，不符合；
选项D：$\dfrac{1}{x + 1}=2$，分母中含有未知数$x$，且是方程，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题考查分式方程的定义，需紧扣“是方程”且“分母中含有未知数”这两个核心条件来判断。
【难度系数】
0.8
分式方程的定义是分母中含有未知数的方程。逐一分析选项：
选项A：$\dfrac{1}{x}$是分式，不是方程，不符合分式方程的定义；
选项B：$x^{2}+1=y$是二元方程，分母不含未知数，不符合；
选项C：$\dfrac{x}{2}+1=0$是一元一次方程，分母不含未知数，不符合；
选项D：$\dfrac{1}{x + 1}=2$，分母中含有未知数$x$，且是方程，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题考查分式方程的定义，需紧扣“是方程”且“分母中含有未知数”这两个核心条件来判断。
【难度系数】
0.8
2. 解分式方程 $\dfrac{1}{x - 1}-2=\dfrac{3}{1 - x}$ 时，去分母得(
A.$1 - 2(x - 1)=-3$
B.$1 - 2x - 2=-3$
C.$1 - 2(x - 1)=3$
D.$1 - 2x + 2=3$
A
)A.$1 - 2(x - 1)=-3$
B.$1 - 2x - 2=-3$
C.$1 - 2(x - 1)=3$
D.$1 - 2x + 2=3$
答案
2. A
解析
【解析】
首先确定分式方程的最简公分母为$x - 1$，注意到$\dfrac{3}{1 - x}=-\dfrac{3}{x - 1}$，方程两边同时乘以最简公分母$x - 1$，得：$1 - 2(x - 1)=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、符号变形
【点评】
本题考查分式方程去分母的基本方法，关键在于处理分母互为相反数时的符号转化，同时需注意等式两边每一项都要乘以最简公分母，避免漏乘和符号错误。
【难度系数】
0.8
首先确定分式方程的最简公分母为$x - 1$，注意到$\dfrac{3}{1 - x}=-\dfrac{3}{x - 1}$，方程两边同时乘以最简公分母$x - 1$，得：$1 - 2(x - 1)=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、符号变形
【点评】
本题考查分式方程去分母的基本方法，关键在于处理分母互为相反数时的符号转化，同时需注意等式两边每一项都要乘以最简公分母，避免漏乘和符号错误。
【难度系数】
0.8
3. 把分式方程 $\dfrac{2}{x + 4}=\dfrac{1}{x}$ 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘(
A.$x$
B.$x - 2$
C.$x + 4$
D
)A.$x$
B.$x - 2$
C.$x + 4$
答案
3. D
解析
1
4. 已知 $ x = 2 $ 是分式方程 $\dfrac{k}{x}+\dfrac{x - 3}{x - 1}=1$ 的解，那么实数 $ k $ 的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4. B
解析
【解析】
因为$x=2$是分式方程$\dfrac{k}{x}+\dfrac{x - 3}{x - 1}=1$的解，将$x=2$代入方程得：
$\dfrac{k}{2}+\dfrac{2-3}{2-1}=1$
计算得：$\dfrac{k}{2}-1=1$
移项求解：$\dfrac{k}{2}=2$，解得$k=4$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解的应用
【点评】
本题考查分式方程解的定义，通过将已知解代入原方程，转化为关于参数$k$的一元一次方程求解，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
因为$x=2$是分式方程$\dfrac{k}{x}+\dfrac{x - 3}{x - 1}=1$的解，将$x=2$代入方程得：
$\dfrac{k}{2}+\dfrac{2-3}{2-1}=1$
计算得：$\dfrac{k}{2}-1=1$
移项求解：$\dfrac{k}{2}=2$，解得$k=4$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解的应用
【点评】
本题考查分式方程解的定义，通过将已知解代入原方程，转化为关于参数$k$的一元一次方程求解，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2+\dfrac{a}{x - 1}=\dfrac{x}{x - 1} $ 有增根，则 $ a $ 的值是(
A.1
B.$-1$
C.0
D.2
A
)A.1
B.$-1$
C.0
D.2
答案
5. A
解析
【解析】
1. 去分母：方程两边同乘$(x-1)$，得$2(x-1)+a=x$；
2. 确定增根：分式方程有增根，则分母$x-1=0$，即增根为$x=1$；
3. 代入求解：将$x=1$代入整式方程$2(x-1)+a=x$，得$2×(1-1)+a=1$，解得$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，且满足化为后的整式方程，通过代入整式方程可求出参数值。
【难度系数】
0.7
1. 去分母：方程两边同乘$(x-1)$，得$2(x-1)+a=x$；
2. 确定增根：分式方程有增根，则分母$x-1=0$，即增根为$x=1$；
3. 代入求解：将$x=1$代入整式方程$2(x-1)+a=x$，得$2×(1-1)+a=1$，解得$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，且满足化为后的整式方程，通过代入整式方程可求出参数值。
【难度系数】
0.7
6. 当 $ x = $
$-1$
时，分式 $\dfrac{4 - 2x}{4 - x}$ 的值与分式 $\dfrac{x - 5}{x - 4}$ 的值相等.答案
6. $-1$
解析
【解析】
根据题意列方程：
$\dfrac{4 - 2x}{4 - x} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$
观察到$4 - x = -(x - 4)$，方程变形为：
$\dfrac{4 - 2x}{-(x - 4)} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$，即$\dfrac{2x - 4}{x - 4} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$
由于分母不能为0，故$x ≠ 4$，两边同乘$(x - 4)$得：
$2x - 4 = x - 5$
移项求解得：$x = -1$
检验：将$x = -1$代入原方程分母，$4 - (-1) = 5 ≠ 0$，$-1 - 4 = -5 ≠ 0$，且左边$\dfrac{4 - 2×(-1)}{4 - (-1)} = \dfrac{6}{5}$，右边$\dfrac{-1 - 5}{-1 - 4} = \dfrac{6}{5}$，左右两边相等，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，解题关键是利用分母的相反数关系简化方程，同时需牢记解分式方程必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
根据题意列方程：
$\dfrac{4 - 2x}{4 - x} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$
观察到$4 - x = -(x - 4)$，方程变形为：
$\dfrac{4 - 2x}{-(x - 4)} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$，即$\dfrac{2x - 4}{x - 4} = \dfrac{x - 5}{x - 4}$
由于分母不能为0，故$x ≠ 4$，两边同乘$(x - 4)$得：
$2x - 4 = x - 5$
移项求解得：$x = -1$
检验：将$x = -1$代入原方程分母，$4 - (-1) = 5 ≠ 0$，$-1 - 4 = -5 ≠ 0$，且左边$\dfrac{4 - 2×(-1)}{4 - (-1)} = \dfrac{6}{5}$，右边$\dfrac{-1 - 5}{-1 - 4} = \dfrac{6}{5}$，左右两边相等，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，解题关键是利用分母的相反数关系简化方程，同时需牢记解分式方程必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
7. 解分式方程：
(1) $\dfrac{2 - x}{x - 3}=\dfrac{1}{3 - x}-2$.
(2) $\dfrac{x + 1}{x - 1}+\dfrac{4}{1 - x^{2}}=1$.
(1) $\dfrac{2 - x}{x - 3}=\dfrac{1}{3 - x}-2$.
(2) $\dfrac{x + 1}{x - 1}+\dfrac{4}{1 - x^{2}}=1$.
答案
7. (1) 去分母，得 $2 - x = -1 - 2x + 6$，解得 $x = 3$。经检验，$x = 3$ 是分式方程的增根，故分式方程无解。
(2) 去分母，得 $x^{2} + 2x + 1 - 4 = x^{2} - 1$，解得 $x = 1$。经检验，$x = 1$ 是分式方程的增根，故原方程无解。
(2) 去分母，得 $x^{2} + 2x + 1 - 4 = x^{2} - 1$，解得 $x = 1$。经检验，$x = 1$ 是分式方程的增根，故原方程无解。
解析
【解析】
(1) 对分式方程$\dfrac{2 - x}{x - 3}=\dfrac{1}{3 - x}-2$，两边同乘最简公分母$x-3$去分母，得$2 - x = -1 - 2x + 6$，解得$x = 3$。经检验，$x=3$时原方程分母为0，是增根，故该分式方程无解。
(2) 对分式方程$\dfrac{x + 1}{x - 1}+\dfrac{4}{1 - x^{2}}=1$，先变形为$\dfrac{x + 1}{x - 1}-\dfrac{4}{x^2 - 1}=1$，两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$去分母，得$x^{2} + 2x + 1 - 4 = x^{2} - 1$，解得$x = 1$。经检验，$x=1$时原方程分母为0，是增根，故原方程无解。
【答案】
(1) 无解；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法、增根的判定
【点评】
解分式方程需先去分母转化为整式方程求解，关键是要检验所得解是否使原方程分母为0，若分母为0则为增根，原方程无解，检验步骤不可遗漏。
【难度系数】
0.6
(1) 对分式方程$\dfrac{2 - x}{x - 3}=\dfrac{1}{3 - x}-2$，两边同乘最简公分母$x-3$去分母，得$2 - x = -1 - 2x + 6$，解得$x = 3$。经检验，$x=3$时原方程分母为0，是增根，故该分式方程无解。
(2) 对分式方程$\dfrac{x + 1}{x - 1}+\dfrac{4}{1 - x^{2}}=1$，先变形为$\dfrac{x + 1}{x - 1}-\dfrac{4}{x^2 - 1}=1$，两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$去分母，得$x^{2} + 2x + 1 - 4 = x^{2} - 1$，解得$x = 1$。经检验，$x=1$时原方程分母为0，是增根，故原方程无解。
【答案】
(1) 无解；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法、增根的判定
【点评】
解分式方程需先去分母转化为整式方程求解，关键是要检验所得解是否使原方程分母为0，若分母为0则为增根，原方程无解，检验步骤不可遗漏。
【难度系数】
0.6
