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1. 化简$\frac{2}{m + n} ÷ (\frac{1}{m + n} + \frac{1}{m - n})$的结果为()
A.$\frac{-n}{m - n}$
B.$\frac{m}{m - n}$
C.$\frac{m + n}{m}$
D.$\frac{m - n}{m}$
A.$\frac{-n}{m - n}$
B.$\frac{m}{m - n}$
C.$\frac{m + n}{m}$
D.$\frac{m - n}{m}$
答案
D
解析
原式为：$\frac{2}{m+n} ÷ ( \frac{1}{m+n} + \frac{1}{m-n} )$，
先计算括号内的分式加法：
$\frac{1}{m+n} + \frac{1}{m-n} = \frac{(m-n) + (m+n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{2m}{(m+n)(m-n)}$，
将除法转化为乘法，并简化：
$\frac{2}{m+n} ÷ \frac{2m}{(m+n)(m-n)} = \frac{2}{m+n} × \frac{(m+n)(m-n)}{2m} = \frac{m-n}{m}$。
先计算括号内的分式加法：
$\frac{1}{m+n} + \frac{1}{m-n} = \frac{(m-n) + (m+n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{2m}{(m+n)(m-n)}$，
将除法转化为乘法，并简化：
$\frac{2}{m+n} ÷ \frac{2m}{(m+n)(m-n)} = \frac{2}{m+n} × \frac{(m+n)(m-n)}{2m} = \frac{m-n}{m}$。
2. 代数式$(1 - \frac{1}{m + 1}) · (1 - \frac{1}{m})$的值一定不等于()
A.3
B.2
C.1
D.0
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
C
解析
首先对代数式进行化简：
$(1 - \frac{1}{m + 1}) · (1 - \frac{1}{m}) = \frac{m + 1 - 1}{m + 1} · \frac{m - 1}{m} = \frac{m}{m + 1} · \frac{m - 1}{m} = \frac{m(m - 1)}{m(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 1$时，
$m - 1 = m + 1$，
方程无解，
所以代数式的值一定不等于1。
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 0$时，
$m - 1 = 0$，
解得$m=1$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 2$时，
$m - 1 = 2m + 2$，
解得$m = -3$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 3$时，
$m - 1 = 3m + 3$，
解得$m = -2$，
综上所述答案为：C。
$(1 - \frac{1}{m + 1}) · (1 - \frac{1}{m}) = \frac{m + 1 - 1}{m + 1} · \frac{m - 1}{m} = \frac{m}{m + 1} · \frac{m - 1}{m} = \frac{m(m - 1)}{m(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 1$时，
$m - 1 = m + 1$，
方程无解，
所以代数式的值一定不等于1。
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 0$时，
$m - 1 = 0$，
解得$m=1$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 2$时，
$m - 1 = 2m + 2$，
解得$m = -3$，
当$\frac{m - 1}{m + 1} = 3$时，
$m - 1 = 3m + 3$，
解得$m = -2$，
综上所述答案为：C。
3. 试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷$★$= \frac{2}{a + b}$被小颖不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的代数式★为。
答案
$\frac{a}{a - b}$
解析
设★为$x$，则$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ x = \frac{2}{a + b}$，故$x = (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) ÷ \frac{2}{a + b}$。
计算括号内：$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a}{(a + b)(a - b)}$。
则$x = \frac{2a}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{2} = \frac{a}{a - b}$。
计算括号内：$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b) + (a + b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{2a}{(a + b)(a - b)}$。
则$x = \frac{2a}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{2} = \frac{a}{a - b}$。
4. 已知$a^2 - 3ab + b^2 = 0$,且$ab ≠ 0$,则$\frac{a - b}{a + b} ÷ (\frac{2a}{a - b} - 1) =$。
答案
$\frac{1}{5}$
解析
先化简括号内式子：$\frac{2a}{a - b} - 1 = \frac{2a - (a - b)}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}$；原式变为$\frac{a - b}{a + b} ÷ \frac{a + b}{a - b} = (\frac{a - b}{a + b})^2$。由$a^2 - 3ab + b^2 = 0$得$a^2 + b^2 = 3ab$，则$(\frac{a - b}{a + b})^2 = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{3ab - 2ab}{3ab + 2ab} = \frac{ab}{5ab} = \frac{1}{5}$。
5. 计算：
(1)$x + 1 - \frac{x^2}{x - 1}$；
(2)$(\frac{2x}{x - 3} - \frac{x}{x + 3}) · \frac{x^2 - 9}{x}$。
(1)$x + 1 - \frac{x^2}{x - 1}$；
(2)$(\frac{2x}{x - 3} - \frac{x}{x + 3}) · \frac{x^2 - 9}{x}$。
答案
1. （1）
解：
先通分：
$x + 1-\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}-\frac{x^{2}}{x - 1}$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$。
所以$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}-\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}-1-x^{2}}{x - 1}$。
再化简：
$\frac{x^{2}-1-x^{2}}{x - 1}=\frac{-1}{x - 1}=-\frac{1}{x - 1}$。
2. （2）
解：
先对$(\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3})$通分：
$\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3}=\frac{2x(x + 3)-x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$。
展开分子：$2x(x + 3)-x(x - 3)=2x^{2}+6x-(x^{2}-3x)=2x^{2}+6x - x^{2}+3x=x^{2}+9x$。
又因为$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$。
则$(\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3})·\frac{x^{2}-9}{x}=\frac{x^{2}+9x}{(x - 3)(x + 3)}·\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}$。
然后约分：
$\frac{x(x + 9)}{(x - 3)(x + 3)}·\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}=x + 9$。
综上，（1）的结果为$-\frac{1}{x - 1}$；（2）的结果为$x + 9$。
解：
先通分：
$x + 1-\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}-\frac{x^{2}}{x - 1}$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则$(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1$。
所以$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}-\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}-1-x^{2}}{x - 1}$。
再化简：
$\frac{x^{2}-1-x^{2}}{x - 1}=\frac{-1}{x - 1}=-\frac{1}{x - 1}$。
2. （2）
解：
先对$(\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3})$通分：
$\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3}=\frac{2x(x + 3)-x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$。
展开分子：$2x(x + 3)-x(x - 3)=2x^{2}+6x-(x^{2}-3x)=2x^{2}+6x - x^{2}+3x=x^{2}+9x$。
又因为$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$。
则$(\frac{2x}{x - 3}-\frac{x}{x + 3})·\frac{x^{2}-9}{x}=\frac{x^{2}+9x}{(x - 3)(x + 3)}·\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}$。
然后约分：
$\frac{x(x + 9)}{(x - 3)(x + 3)}·\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}=x + 9$。
综上，（1）的结果为$-\frac{1}{x - 1}$；（2）的结果为$x + 9$。
6. 先化简：$(\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} - \frac{a}{a - 2}) ÷ \frac{a + 1}{a^2 - 2a}$,然后在2,-2,-1中选一个你认为合适的$a$的值，代入求值。
答案
$\frac{2a}{a+1}$，当$a=-2$时，值为4
解析
化简过程：
1. 处理括号内分式：
$\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2} = \frac{a+2}{a-2}$
则括号内为：$\frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} = \frac{(a+2)-a}{a-2} = \frac{2}{a-2}$
2. 除法变乘法：
原式变为$\frac{2}{a-2} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a} = \frac{2}{a-2} × \frac{a(a-2)}{a+1}$
3. 约分：
$\frac{2}{a-2} × \frac{a(a-2)}{a+1} = \frac{2a}{a+1}$
代入求值：
需使原分式有意义，分母不为0：
$a^2 - 4a + 4 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2$；
$a - 2 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2$；
$a^2 - 2a ≠ 0 ⇒ a ≠ 0, 2$；
$a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1$。
故选择$a = -2$，代入$\frac{2a}{a+1}$：
$\frac{2×(-2)}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4$
1. 处理括号内分式：
$\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2} = \frac{a+2}{a-2}$
则括号内为：$\frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} = \frac{(a+2)-a}{a-2} = \frac{2}{a-2}$
2. 除法变乘法：
原式变为$\frac{2}{a-2} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a} = \frac{2}{a-2} × \frac{a(a-2)}{a+1}$
3. 约分：
$\frac{2}{a-2} × \frac{a(a-2)}{a+1} = \frac{2a}{a+1}$
代入求值：
需使原分式有意义，分母不为0：
$a^2 - 4a + 4 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2$；
$a - 2 ≠ 0 ⇒ a ≠ 2$；
$a^2 - 2a ≠ 0 ⇒ a ≠ 0, 2$；
$a + 1 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1$。
故选择$a = -2$，代入$\frac{2a}{a+1}$：
$\frac{2×(-2)}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4$
7. 提升题 若两个分式$M$与$N$的和为常数$k$,且$k$为正整数，则称$M$与$N$互为“和整分式”，常数$k$称为“和整值”。如分式$M = \frac{x}{x + 1}$,$N = \frac{1}{x + 1}$,$M + N = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$,则$M$与$N$互为“和整分式”，“和整值”$k = 1$。
（1）已知分式$A = \frac{x - 7}{x - 2}$,$B = \frac{2x + 1}{x - 2}$,判断$A$与$B$是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”$k$。
（2）已知分式$C = \frac{3x - 4}{x - 2}$,$D = \frac{G}{x^2 - 4}$,$C$与$D$互为“和整分式”，且“和整值”$k = 3$,求$G$。
（1）已知分式$A = \frac{x - 7}{x - 2}$,$B = \frac{2x + 1}{x - 2}$,判断$A$与$B$是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”$k$。
（2）已知分式$C = \frac{3x - 4}{x - 2}$,$D = \frac{G}{x^2 - 4}$,$C$与$D$互为“和整分式”，且“和整值”$k = 3$,求$G$。
答案
（1）是，$k = 3$；（2）$G = -2x - 4$。
解析
（1）$A + B = \frac{x - 7}{x - 2} + \frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 7) + (2x + 1)}{x - 2} = \frac{3x - 6}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} = 3$，$3$是正整数，故$A$与$B$互为“和整分式”，“和整值”$k = 3$。
（2）$C + D = \frac{3x - 4}{x - 2} + \frac{G}{x^2 - 4} = 3$，$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$，通分得：$\frac{(3x - 4)(x + 2) + G}{(x - 2)(x + 2)} = 3$，分子需满足$(3x - 4)(x + 2) + G = 3(x^2 - 4)$。展开左边：$3x^2 + 6x - 4x - 8 + G = 3x^2 + 2x - 8 + G$，右边：$3x^2 - 12$。对比系数得$2x = 0$（即$2 = 0$，需$G$含$-2x$项）且$-8 + G = -12$，解得$G = -2x - 4$。
（2）$C + D = \frac{3x - 4}{x - 2} + \frac{G}{x^2 - 4} = 3$，$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$，通分得：$\frac{(3x - 4)(x + 2) + G}{(x - 2)(x + 2)} = 3$，分子需满足$(3x - 4)(x + 2) + G = 3(x^2 - 4)$。展开左边：$3x^2 + 6x - 4x - 8 + G = 3x^2 + 2x - 8 + G$，右边：$3x^2 - 12$。对比系数得$2x = 0$（即$2 = 0$，需$G$含$-2x$项）且$-8 + G = -12$，解得$G = -2x - 4$。
