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10. 如图所示,下列条件中,能判定$AB// CD$的有.(填序号)
①$∠ B + ∠ BCD = 180°$;②$∠ 1 = ∠ 2$;③$∠ 3 = ∠ 4$;④$∠ BAD = ∠ BCD$;⑤$∠ B = ∠ 5$.
①$∠ B + ∠ BCD = 180°$;②$∠ 1 = ∠ 2$;③$∠ 3 = ∠ 4$;④$∠ BAD = ∠ BCD$;⑤$∠ B = ∠ 5$.
答案
解：
①∠B和∠BCD是直线AB、CD被直线BC所截形成的同旁内角，由∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定$AB// CD$；
②∠1和∠2是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，由∠1=∠2可判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$；
③∠3和∠4是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，由∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行，可判定$AB// CD$；
④∠BAD=∠BCD无法推出$AB// CD$；
⑤∠B和∠5是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，由∠B=∠5，根据同位角相等，两直线平行，可判定$AB// CD$。
综上，能判定$AB// CD$的有①③⑤。
①∠B和∠BCD是直线AB、CD被直线BC所截形成的同旁内角，由∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定$AB// CD$；
②∠1和∠2是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，由∠1=∠2可判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$；
③∠3和∠4是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，由∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行，可判定$AB// CD$；
④∠BAD=∠BCD无法推出$AB// CD$；
⑤∠B和∠5是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，由∠B=∠5，根据同位角相等，两直线平行，可判定$AB// CD$。
综上，能判定$AB// CD$的有①③⑤。
11. 如图所示，长方形ABCD沿EF对折后，若∠1 = 48°,则∠DEF的度数是.
答案
$\boldsymbol{66°}$
解析
解：
∵ 长方形ABCD沿EF对折，
∴ 折叠前后对应角相等，可得 $2∠ EFB + ∠ 1 = 180°$。
∵ $∠ 1 = 48°$，
∴ $∠ EFB = \frac{180° - 48°}{2} = 66°$。
又∵ 长方形ABCD中 $AD// BC$，
∴ $∠ DEF = ∠ EFB = 66°$（两直线平行，内错角相等）。
最终
∵ 长方形ABCD沿EF对折，
∴ 折叠前后对应角相等，可得 $2∠ EFB + ∠ 1 = 180°$。
∵ $∠ 1 = 48°$，
∴ $∠ EFB = \frac{180° - 48°}{2} = 66°$。
又∵ 长方形ABCD中 $AD// BC$，
∴ $∠ DEF = ∠ EFB = 66°$（两直线平行，内错角相等）。
最终
12. 如图所示，$AB// CD$，点$M$在$AB$上，点$N$在$CD$上，则$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$ 。
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
答案
$\boldsymbol{540°}$
解析
解：
分别过点E作$EP// AB$，过点F作$FQ// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EP// FQ// CD$。
由两直线平行，同旁内角互补可得：
$∠ 1 + ∠ MEP = 180°$，
$∠ PEF + ∠ EFQ = 180°$，
$∠ QFN + ∠ 4 = 180°$。
将三式左右两边分别相加，得：
$∠ 1 + ∠ MEP + ∠ PEF + ∠ EFQ + ∠ QFN + ∠ 4 = 180° × 3 = 540°$，
又$\because ∠ MEP + ∠ PEF = ∠ 2$，$∠ EFQ + ∠ QFN = ∠ 3$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 540°$。
最终
分别过点E作$EP// AB$，过点F作$FQ// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EP// FQ// CD$。
由两直线平行，同旁内角互补可得：
$∠ 1 + ∠ MEP = 180°$，
$∠ PEF + ∠ EFQ = 180°$，
$∠ QFN + ∠ 4 = 180°$。
将三式左右两边分别相加，得：
$∠ 1 + ∠ MEP + ∠ PEF + ∠ EFQ + ∠ QFN + ∠ 4 = 180° × 3 = 540°$，
又$\because ∠ MEP + ∠ PEF = ∠ 2$，$∠ EFQ + ∠ QFN = ∠ 3$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 540°$。
最终
13. 由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格如图所示，$△ ABC$的顶点都在格点上，将$△ ABC$向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到$△ DEF$，其中点$A,B,C$的对应点分别为点$D,E,F.$
(1) 在图中画出平移后的$△ DEF$；
(2) 过点$A$画$BC$的垂线$AH$，垂足为点$H$；
(3) 在整个平移过程中，线段$AC$扫过的面积为.
(1) 在图中画出平移后的$△ DEF$；
(2) 过点$A$画$BC$的垂线$AH$，垂足为点$H$；
(3) 在整个平移过程中，线段$AC$扫过的面积为.
答案
$\boldsymbol{18}$
解析
解：
(1) 将点A、B、C分别向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D、E、F，顺次连接DE、EF、FD，即可得到平移后的△DEF；
(2) 由于BC为水平线段，过点A作竖直向下的直线，交CB的延长线于点H，线段AH即为所求的BC的垂线；
(3) 线段AC扫过的图形为平行四边形ADFC，通过割补法计算得该图形面积为18。
(1) 将点A、B、C分别向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D、E、F，顺次连接DE、EF、FD，即可得到平移后的△DEF；
(2) 由于BC为水平线段，过点A作竖直向下的直线，交CB的延长线于点H，线段AH即为所求的BC的垂线；
(3) 线段AC扫过的图形为平行四边形ADFC，通过割补法计算得该图形面积为18。
14. 如图所示,已知直线$AE$,$BF$被直线$AB$所截,且$AE// BF$,$AC_1$,$BC_1$分别平分$∠ EAB$,$∠ FBA$;$AC_2$,$BC_2$分别平分$∠ BAC_1$和$∠ ABC_1$;$AC_3$,$BC_3$分别平分$∠ BAC_2$,$∠ ABC_2$……依此规律,得点$C_n$,则$∠ C_n$的度数为().
A.$90° - \frac{90°}{2^n}$
B.$180° - \frac{90°}{2^{n-1}}$
C.$\frac{90°}{2^{n-1}}$
D.$\frac{180°}{2^n}$
A.$90° - \frac{90°}{2^n}$
B.$180° - \frac{90°}{2^{n-1}}$
C.$\frac{90°}{2^{n-1}}$
D.$\frac{180°}{2^n}$
答案
B
解析
1. 由$AE// BF$，根据平行线同旁内角互补，得$∠ EAB + ∠ FBA = 180°$。
2. 因为$AC_1,BC_1$分别平分$∠ EAB,∠ FBA$，所以$∠ BAC_1 + ∠ ABC_1 = \frac{1}{2}(∠ EAB + ∠ FBA) = 90°$，结合三角形内角和为$180°$，得$∠ C_1 = 180° - 90° = 90°$。
3. 同理，$AC_2,BC_2$分别平分$∠ BAC_1,∠ ABC_1$，得$∠ BAC_2 + ∠ ABC_2 = \frac{1}{2}(∠ BAC_1 + ∠ ABC_1) = 45°$，因此$∠ C_2 = 180° - 45° = 135°$。
4. 依规律推导：$∠ BAC_n + ∠ ABC_n = \frac{1}{2^n}(∠ EAB + ∠ FBA) = \frac{90°}{2^{n-1}}$，因此$∠ C_n = 180° - \frac{90°}{2^{n-1}}$。
2. 因为$AC_1,BC_1$分别平分$∠ EAB,∠ FBA$，所以$∠ BAC_1 + ∠ ABC_1 = \frac{1}{2}(∠ EAB + ∠ FBA) = 90°$，结合三角形内角和为$180°$，得$∠ C_1 = 180° - 90° = 90°$。
3. 同理，$AC_2,BC_2$分别平分$∠ BAC_1,∠ ABC_1$，得$∠ BAC_2 + ∠ ABC_2 = \frac{1}{2}(∠ BAC_1 + ∠ ABC_1) = 45°$，因此$∠ C_2 = 180° - 45° = 135°$。
4. 依规律推导：$∠ BAC_n + ∠ ABC_n = \frac{1}{2^n}(∠ EAB + ∠ FBA) = \frac{90°}{2^{n-1}}$，因此$∠ C_n = 180° - \frac{90°}{2^{n-1}}$。
