综合运用
我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得,如果$ax + b = 0$,其中$a,b$为有理数,$x$为无理数,那么$a = 0$且$b = 0$.运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果$\sqrt{5}(a - 2) - b + 6 = 0$,其中$a,b$为有理数,那么$a =$ ,$b =$ ;
(2)如果$\sqrt{2}(a - b) + a + b = 8$,其中$a,b$为有理数,求$ab$的平方根.

解：
(1) 整理原式得：$\sqrt{5}(a-2) + (-b + 6) = 0$
因为$a,b$为有理数，$\sqrt{5}$是无理数，由题中结论可得：
$a-2=0$，$-b+6=0$
解得$a=2$，$b=6$。
(2) 整理原式得：$\sqrt{2}(a-b) + (a + b - 8) = 0$
因为$a,b$为有理数，$\sqrt{2}$是无理数，由题中结论可得：
$\begin{cases}a - b = 0 \\ a + b - 8 = 0\end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}a=4 \\ b=4\end{cases}$
所以$ab=4×4=16$，
因此$ab$的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$。

知行合一
下面是小亮写的数学日记的一部分,请你认真阅读,并完成相应的任务.
正方形的剪拼与无理数
2024年9月12日 天气:晴
今天在数学课上,同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼(无缝隙、不重叠的拼接),得到了一个大的正方形,并在老师的引导下认识了无理数.
我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的,课后我有了进一步的思考.
问题1:能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形?
对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法.
问题2:一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗? 如果能,该如何剪拼呢?

任务:
(1)图1中拼成的大正方形的边长为,图2和图3中拼成的大正方形的边长为;
(2)请参考材料中图2或图3的剪拼方法,解决问题2.
要求:①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度;
②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线.

解：
(1) 两个边长为1的小正方形总面积为$1^2+1^2=2$，因此拼成的大正方形边长为$\sqrt{2}$；
边长为1和边长为2的两个正方形总面积为$1^2+2^2=5$，因此拼成的大正方形边长为$\sqrt{5}$。
(2) 能剪拼出符合要求的大正方形。
两个正方形的总面积为$1^2+3^2=10$，因此拼成的大正方形的边长为$\sqrt{10}$，该长度是直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长。
① 仿照图3的剪法：将图4组合图形的底边从左到右依次标注长度1、1、2，在边长为3的大正方形的左边缘，距离底部高度为1的位置取点，连接该点与大正方形底边上距离最左端长度为2的点，得到第一条长为$\sqrt{10}$的剪切线；再从该点向右上方作这条线段的平行线，终点落在大正方形的上边缘，得到第二条等长的剪切线，在图中对应位置标注出各线段的长度1、3。
② 将剪下的4块图形以长度为$\sqrt{10}$的边作为大正方形的边无缝隙拼接，得到边长为$\sqrt{10}$的大正方形，内部保留对应拼接线段，整体结构与图3类似，大正方形内部有一个小正方形，四周环绕4个全等的直角边为1、3的直角三角形。