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1 端午节要到了,小锦和妈妈学着包粽子。妈妈包的粽子每个都一样重,小锦包的轻一些。小锦想吃掉自己包的粽子,如果用天平称,那么至少称几次能保证找到小锦包的粽子?
这13个粽子中,
有一个是我包的。
小锦
这13个粽子中,
有一个是我包的。
小锦
答案
1. 答:至少称3次能保证找到小锦包的粽子。
解析 13个粽子分成(4,4,5)，称量过程如下。
第一次称(4,4)
$\begin{cases}平衡\ \ 剩下的5个里有小锦包的\\不平衡\ \ 轻的4个里有小锦包的\end{cases}$
第二次称，有两种情况，分别对应平衡和不平衡。
①$5(2,2,1)$称$(2,2)$$\begin{cases}平衡\ \ 剩下的是小锦包的\\不平衡\ \ 轻的一边有小锦包的\end{cases}$
②$4(2,2)→$不平衡，轻的一边有小锦包的
第三次称，两种不平衡的情况的待测物品数都是2个，天平两边各放一个，轻的一边就是小锦包的粽子。
解析 13个粽子分成(4,4,5)，称量过程如下。
第一次称(4,4)
$\begin{cases}平衡\ \ 剩下的5个里有小锦包的\\不平衡\ \ 轻的4个里有小锦包的\end{cases}$
第二次称，有两种情况，分别对应平衡和不平衡。
①$5(2,2,1)$称$(2,2)$$\begin{cases}平衡\ \ 剩下的是小锦包的\\不平衡\ \ 轻的一边有小锦包的\end{cases}$
②$4(2,2)→$不平衡，轻的一边有小锦包的
第三次称，两种不平衡的情况的待测物品数都是2个，天平两边各放一个，轻的一边就是小锦包的粽子。
解析
【分析】
这是一道找次品问题，解题核心是利用天平“平衡时两边物品重量相等，不平衡时轻的一侧含有次品”的原理，通过合理分组逐步缩小次品范围，且要考虑最不利情况，确保能找到小锦包的轻粽子。我们将粽子尽量平均分组，这样能最快缩小排查范围。
【解析】
1. 分组与第一次称量：把13个粽子分成(4,4,5)三组，将两组4个的粽子放在天平两端。
若天平平衡，小锦包的粽子在剩下的5个中；
若天平不平衡，小锦包的粽子在轻的那4个中。
2. 第二次称量，分两种情况：
情况①：次品在5个中，把5个分成(2,2,1)三组，将两组2个的粽子放在天平两端。
若天平平衡，剩下的1个就是小锦包的粽子；
若天平不平衡，次品在轻的那2个中。
情况②：次品在4个中，把4个分成(2,2)两组，将两组2个的粽子放在天平两端，次品在轻的那2个中。
3. 第三次称量：针对第二次称量后剩余的2个粽子，将它们分别放在天平两端，轻的一侧就是小锦包的粽子。
综上，通过上述步骤，至少称3次能保证找到小锦包的粽子。
【答案】
至少称3次能保证找到小锦包的粽子。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，关键是将待测物品尽量平均分成三组，通过逐步称量缩小次品范围，同时需考虑最不利情况，能锻炼逻辑推理与统筹规划能力。
【难度系数】
0.6
这是一道找次品问题，解题核心是利用天平“平衡时两边物品重量相等，不平衡时轻的一侧含有次品”的原理，通过合理分组逐步缩小次品范围，且要考虑最不利情况，确保能找到小锦包的轻粽子。我们将粽子尽量平均分组，这样能最快缩小排查范围。
【解析】
1. 分组与第一次称量：把13个粽子分成(4,4,5)三组，将两组4个的粽子放在天平两端。
若天平平衡，小锦包的粽子在剩下的5个中；
若天平不平衡，小锦包的粽子在轻的那4个中。
2. 第二次称量，分两种情况：
情况①：次品在5个中，把5个分成(2,2,1)三组，将两组2个的粽子放在天平两端。
若天平平衡，剩下的1个就是小锦包的粽子；
若天平不平衡，次品在轻的那2个中。
情况②：次品在4个中，把4个分成(2,2)两组，将两组2个的粽子放在天平两端，次品在轻的那2个中。
3. 第三次称量：针对第二次称量后剩余的2个粽子，将它们分别放在天平两端，轻的一侧就是小锦包的粽子。
综上，通过上述步骤，至少称3次能保证找到小锦包的粽子。
【答案】
至少称3次能保证找到小锦包的粽子。
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，关键是将待测物品尽量平均分成三组，通过逐步称量缩小次品范围，同时需考虑最不利情况，能锻炼逻辑推理与统筹规划能力。
【难度系数】
0.6
2 小明要为运动会的32名运动员每人准备一瓶淡盐水。因为没有经验,刚开始时,小明往一瓶水里加盐后,不小心将其与其他未加盐的水混在了一起。假如用天平称,至少称几次能保证找到这瓶淡盐水?
剧烈运动后,应适当喝淡盐水
来维持体内无机盐代谢平衡。
剧烈运动后,应适当喝淡盐水
来维持体内无机盐代谢平衡。
答案
2. 答:至少称4次能保证找到这瓶淡盐水。
解析 淡盐水比其他的水重，称量过程如下。
尽可能平均分成3份后，多的与少的最多相差1。因为待测物品个数越多，保证找到次品至少所需的称量次数不会越少，所以只要看几份中最多的待测物品需要称几次即可。
解析
【分析】
要找到混在32瓶水中的淡盐水，淡盐水比普通水重，我们需要利用天平找次品的最优策略来思考：首先明确找次品的核心是通过天平的平衡情况，每次尽可能缩小待测物品的范围，而最优方法是把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量能排除最多的非目标物品，我们可以逐步分析分组后的称量过程，确定最少的称量次数。
【解析】
淡盐水比普通水重，采用三分法进行称量：
1. 第一次称量：把32瓶分成11瓶、11瓶、10瓶，将两组11瓶放在天平两端。若天平不平衡，下沉一端的11瓶中包含淡盐水；若天平平衡，淡盐水在剩下的10瓶中。
2. 第二次称量：如果淡盐水在11瓶组，将其分成4瓶、4瓶、3瓶；如果在10瓶组，分成3瓶、3瓶、4瓶。称量数量相同的两组，确定淡盐水所在的小组。
3. 第三次称量：若淡盐水在4瓶组，分成1瓶、1瓶、2瓶；若在3瓶组，分成1瓶、1瓶、1瓶。称量其中两瓶，若天平不平衡，下沉的就是淡盐水；若平衡，淡盐水在剩下的1瓶或2瓶中。
4. 第四次称量：如果第三次后剩下2瓶，称量这两瓶，下沉的一端就是淡盐水。
结合图示：
尽可能平均分成3份后，多的与少的最多相差1。因为待测物品个数越多，保证找到次品至少所需的称量次数不会越少，所以只要看几份中最多的待测物品需要称几次即可，最终经过4次称量能保证找到淡盐水。
【答案】
至少称4次能保证找到这瓶淡盐水。
【知识点】
找次品问题，三分法策略
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，重点在于掌握将待测物品尽可能平均分成3份的方法，利用天平的平衡原理逐步缩小待测范围，需要学生具备逻辑分析和分步推理的能力，理解“保证找到”的含义是考虑最不利的情况。
【难度系数】
0.4
要找到混在32瓶水中的淡盐水，淡盐水比普通水重，我们需要利用天平找次品的最优策略来思考：首先明确找次品的核心是通过天平的平衡情况，每次尽可能缩小待测物品的范围，而最优方法是把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量能排除最多的非目标物品，我们可以逐步分析分组后的称量过程，确定最少的称量次数。
【解析】
淡盐水比普通水重，采用三分法进行称量：
1. 第一次称量：把32瓶分成11瓶、11瓶、10瓶，将两组11瓶放在天平两端。若天平不平衡，下沉一端的11瓶中包含淡盐水；若天平平衡，淡盐水在剩下的10瓶中。
2. 第二次称量：如果淡盐水在11瓶组，将其分成4瓶、4瓶、3瓶；如果在10瓶组，分成3瓶、3瓶、4瓶。称量数量相同的两组，确定淡盐水所在的小组。
3. 第三次称量：若淡盐水在4瓶组，分成1瓶、1瓶、2瓶；若在3瓶组，分成1瓶、1瓶、1瓶。称量其中两瓶，若天平不平衡，下沉的就是淡盐水；若平衡，淡盐水在剩下的1瓶或2瓶中。
4. 第四次称量：如果第三次后剩下2瓶，称量这两瓶，下沉的一端就是淡盐水。
结合图示：
尽可能平均分成3份后，多的与少的最多相差1。因为待测物品个数越多，保证找到次品至少所需的称量次数不会越少，所以只要看几份中最多的待测物品需要称几次即可，最终经过4次称量能保证找到淡盐水。
【答案】
至少称4次能保证找到这瓶淡盐水。
【知识点】
找次品问题，三分法策略
【点评】
本题考查找次品的最优解题策略，重点在于掌握将待测物品尽可能平均分成3份的方法，利用天平的平衡原理逐步缩小待测范围，需要学生具备逻辑分析和分步推理的能力，理解“保证找到”的含义是考虑最不利的情况。
【难度系数】
0.4
3 用天平称,要保证找出次品,且称的次数尽可能少。请你照样子,对待测物品分组,并找出至少需要称的次数。(每组有1个次品,且次品较轻)
(1)按上面的分法,你发现待测物品个数在2～3,4～9,10～27时,至少称的次数分别是几?
(可以继续写几组试一试)
(2)若干盒质量相同的月饼中,有1盒因保存不当,受潮变重。如果至少称4次能保证找到这盒受潮的月饼,那么这些月饼最多有(
A. 27
B. 28
C. 81
D. 82
(1)按上面的分法,你发现待测物品个数在2～3,4～9,10～27时,至少称的次数分别是几?
(可以继续写几组试一试)
(2)若干盒质量相同的月饼中,有1盒因保存不当,受潮变重。如果至少称4次能保证找到这盒受潮的月饼,那么这些月饼最多有(
C
)盒,最少有(B
)盒。A. 27
B. 28
C. 81
D. 82
答案
3.
(1)试一试略。
答:至少称的次数分别是1,2,3。
(2)C B
解析 本题是让学生通过合理分组，感知并应用教材中提到的规律。
要辨别的物品数目 保证能找到次品至少需要称的次数
2～3 1
4～9 2
10～27 3
28～81 4
…… ……
解析
【分析】
这道题属于找次品问题，核心思路是利用天平的平衡原理，将待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后能排除最多数量的正品，以此快速缩小次品所在的范围，保证用最少次数找到次品。
对于(1)，可结合给出的分组例子推导规律：2～3个物品时，通过1次称量就能确定次品；4～9个物品时，经过两次分组称量可锁定次品；10～27个物品时，每次将范围缩小到原来的1/3，需3次称量保证找到次品。
对于(2)，要依据找次品的次数规律：称n次时，能保证找到次品的待测物品数量范围是$3^{n-1}+1$到$3^n$，代入n=4即可计算出对应的最多和最少盒数。
【解析】
(1) 根据找次品的最优分组逻辑：
2～3个物品：分成1、1、1（或1、1），称1次就能通过天平平衡情况确定次品；
4～9个物品：先平均分成3份，第一次称量其中两份，确定次品所在的组，再对该组进行第二次称量，因此至少称2次；
10～27个物品：每次都将物品平均分成3份，通过3次称量逐步缩小次品范围，能保证找到次品。
所以至少称的次数分别是1、2、3。
(2) 根据找次品的次数规律：
当保证称4次找到次品时，
最多盒数：$3^4=81$盒，对应选项C；
最少盒数：$3^{4-1}+1=27+1=28$盒，对应选项B。
【答案】
3.
(1)试一试略。
答:至少称的次数分别是1,2,3。
(2)C B
【知识点】
1. 找次品最优策略
2. 找次品规律应用
【点评】
本题通过分组称量的实例，引导学生归纳找次品的次数规律，需要学生理解天平称量的原理，掌握“尽量平均分成3份”的最优策略，同时能将规律灵活应用到实际问题中，培养逻辑推理与归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
这道题属于找次品问题，核心思路是利用天平的平衡原理，将待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后能排除最多数量的正品，以此快速缩小次品所在的范围，保证用最少次数找到次品。
对于(1)，可结合给出的分组例子推导规律：2～3个物品时，通过1次称量就能确定次品；4～9个物品时，经过两次分组称量可锁定次品；10～27个物品时，每次将范围缩小到原来的1/3，需3次称量保证找到次品。
对于(2)，要依据找次品的次数规律：称n次时，能保证找到次品的待测物品数量范围是$3^{n-1}+1$到$3^n$，代入n=4即可计算出对应的最多和最少盒数。
【解析】
(1) 根据找次品的最优分组逻辑：
2～3个物品：分成1、1、1（或1、1），称1次就能通过天平平衡情况确定次品；
4～9个物品：先平均分成3份，第一次称量其中两份，确定次品所在的组，再对该组进行第二次称量，因此至少称2次；
10～27个物品：每次都将物品平均分成3份，通过3次称量逐步缩小次品范围，能保证找到次品。
所以至少称的次数分别是1、2、3。
(2) 根据找次品的次数规律：
当保证称4次找到次品时，
最多盒数：$3^4=81$盒，对应选项C；
最少盒数：$3^{4-1}+1=27+1=28$盒，对应选项B。
【答案】
3.
(1)试一试略。
答:至少称的次数分别是1,2,3。
(2)C B
【知识点】
1. 找次品最优策略
2. 找次品规律应用
【点评】
本题通过分组称量的实例，引导学生归纳找次品的次数规律，需要学生理解天平称量的原理，掌握“尽量平均分成3份”的最优策略，同时能将规律灵活应用到实际问题中，培养逻辑推理与归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
4 有8个工艺品,编号分别是①至⑧,其中有6个一样重,是合格产品,另外2个都轻10g,是不合格产品,明明用天平称了3次,结果如下,这2个不合格的工艺品是(
第一次:①+②比③+④重。
第二次:⑤+⑥比⑦+⑧轻。
第三次:①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
④
)和(⑤
)。第一次:①+②比③+④重。
第二次:⑤+⑥比⑦+⑧轻。
第三次:①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
答案
4. ④ ⑤
解析 第一步 根据第一次称量结果可知，③④中一定有1个或2个不合格产品；根据第二次称量结果可知，⑤⑥中一定有1个或2个不合格产品。第二步 两次结合来看，因为只有2个不合格产品，所以③④中一定有1个，⑤⑥中一定有1个。第三步 根据第三次称量结果可知，除了⑥，所有可能的不合格产品都在天平上，所以天平上一定有不合格产品。又因为天平平衡，所以天平左右两边各有一个不合格产品，为③④中的④，⑤⑥中的⑤。
解析 第一步 根据第一次称量结果可知，③④中一定有1个或2个不合格产品；根据第二次称量结果可知，⑤⑥中一定有1个或2个不合格产品。第二步 两次结合来看，因为只有2个不合格产品，所以③④中一定有1个，⑤⑥中一定有1个。第三步 根据第三次称量结果可知，除了⑥，所有可能的不合格产品都在天平上，所以天平上一定有不合格产品。又因为天平平衡，所以天平左右两边各有一个不合格产品，为③④中的④，⑤⑥中的⑤。
解析
【分析】
首先，根据第一次称量结果①+②比③+④重，可知不合格产品（轻10g）一定在③和④中（若③④均合格，两边重量应相等），即③④中有1个或2个不合格；接着看第二次称量⑤+⑥比⑦+⑧轻，同理可知不合格产品一定在⑤和⑥中，即⑤⑥中有1个或2个不合格。结合题目中只有2个不合格产品的条件，可确定③④中必有1个不合格，⑤⑥中必有1个不合格。最后根据第三次称量①+③+⑤与②+④+⑧一样重，因为天平平衡，说明左右两边各有1个不合格产品：假设③不合格，左边会比右边轻10g，无法平衡；假设⑥不合格，但第三次称量中没有⑥，左右两边不合格产品数量不一致，也无法平衡；只有当④（属于③④组）和⑤（属于⑤⑥组）不合格时，左边因⑤轻10g，右边因④轻10g，两边重量相等，符合第三次称量结果。
【解析】
第一步：根据第一次称量结果①+②＞③+④，可知不合格产品（轻10g）在③、④中，即③、④中有1个或2个不合格；根据第二次称量结果⑤+⑥＜⑦+⑧，可知不合格产品在⑤、⑥中，即⑤、⑥中有1个或2个不合格。
第二步：结合“只有2个不合格产品”的条件，可确定③、④中必有1个不合格，⑤、⑥中必有1个不合格。
第三步：根据第三次称量结果①+③+⑤=②+④+⑧，天平平衡说明左右两边各有1个不合格产品。若③不合格，左边会比右边轻10g，无法平衡；若⑥不合格，第三次称量未涉及⑥，左右不合格产品数量不等，无法平衡；只有④和⑤不合格时，左边因⑤轻10g，右边因④轻10g，两边重量相等，符合称量结果。因此不合格的工艺品是④和⑤。
【答案】
④；⑤
【知识点】
逻辑推理、找次品
【点评】
本题需要结合三次天平称量的结果，逐步缩小不合格产品的范围，通过假设验证排除不符合条件的情况，重点考查学生的逻辑分析与推理能力，需要严谨的思维来推导结论。
【难度系数】
0.3
首先，根据第一次称量结果①+②比③+④重，可知不合格产品（轻10g）一定在③和④中（若③④均合格，两边重量应相等），即③④中有1个或2个不合格；接着看第二次称量⑤+⑥比⑦+⑧轻，同理可知不合格产品一定在⑤和⑥中，即⑤⑥中有1个或2个不合格。结合题目中只有2个不合格产品的条件，可确定③④中必有1个不合格，⑤⑥中必有1个不合格。最后根据第三次称量①+③+⑤与②+④+⑧一样重，因为天平平衡，说明左右两边各有1个不合格产品：假设③不合格，左边会比右边轻10g，无法平衡；假设⑥不合格，但第三次称量中没有⑥，左右两边不合格产品数量不一致，也无法平衡；只有当④（属于③④组）和⑤（属于⑤⑥组）不合格时，左边因⑤轻10g，右边因④轻10g，两边重量相等，符合第三次称量结果。
【解析】
第一步：根据第一次称量结果①+②＞③+④，可知不合格产品（轻10g）在③、④中，即③、④中有1个或2个不合格；根据第二次称量结果⑤+⑥＜⑦+⑧，可知不合格产品在⑤、⑥中，即⑤、⑥中有1个或2个不合格。
第二步：结合“只有2个不合格产品”的条件，可确定③、④中必有1个不合格，⑤、⑥中必有1个不合格。
第三步：根据第三次称量结果①+③+⑤=②+④+⑧，天平平衡说明左右两边各有1个不合格产品。若③不合格，左边会比右边轻10g，无法平衡；若⑥不合格，第三次称量未涉及⑥，左右不合格产品数量不等，无法平衡；只有④和⑤不合格时，左边因⑤轻10g，右边因④轻10g，两边重量相等，符合称量结果。因此不合格的工艺品是④和⑤。
【答案】
④；⑤
【知识点】
逻辑推理、找次品
【点评】
本题需要结合三次天平称量的结果，逐步缩小不合格产品的范围，通过假设验证排除不符合条件的情况，重点考查学生的逻辑分析与推理能力，需要严谨的思维来推导结论。
【难度系数】
0.3
