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12. 已知方程$2x - ax = 3$的解是不等式$5(x - 2) - 7 ＜ 6(x - 1) - 8$的最小整数解，求代数式$4a - \frac{14}{a}$的值.
答案
12. $4a-\dfrac{14}{a}=10$
解析
【分析】
解题需分三步完成：第一步先求解给定的一元一次不等式，找出它的最小整数解；第二步将这个最小整数解代入含参数a的一元一次方程，求出a的取值；第三步把a的值代入待求的代数式，计算得到最终结果。
【解析】
1. 解不等式$5(x - 2) - 7 ＜ 6(x - 1) - 8$：
去括号，得：$5x -10 -7 ＜ 6x -6 -8$
合并同类项，得：$5x -17 ＜ 6x -14$
移项，得：$5x -6x ＜ -14 +17$
合并同类项，得：$-x ＜ 3$
系数化为1（不等号两边同乘-1，不等号方向改变），得：$x ＞ -3$
则不等式的最小整数解为$x=-2$。
2. 将$x=-2$代入方程$2x - ax =3$求a的值：
代入得：$2×(-2) - a×(-2) = 3$
计算得：$-4 + 2a = 3$
移项得：$2a = 3 +4$，即$2a=7$
系数化为1得：$a=\frac{7}{2}$。
3. 将$a=\frac{7}{2}$代入代数式$4a - \frac{14}{a}$求值：
$4a - \frac{14}{a} =4×\frac{7}{2} - \frac{14}{\frac{7}{2}} =14 - 14×\frac{2}{7}=14-4=10$
【答案】
$10$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先确定不等式的最小整数解，再依次代入求解参数和代数式，解题时需注意解不等式系数化为1时，若两边同乘负数，不等号方向要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题需分三步完成：第一步先求解给定的一元一次不等式，找出它的最小整数解；第二步将这个最小整数解代入含参数a的一元一次方程，求出a的取值；第三步把a的值代入待求的代数式，计算得到最终结果。
【解析】
1. 解不等式$5(x - 2) - 7 ＜ 6(x - 1) - 8$：
去括号，得：$5x -10 -7 ＜ 6x -6 -8$
合并同类项，得：$5x -17 ＜ 6x -14$
移项，得：$5x -6x ＜ -14 +17$
合并同类项，得：$-x ＜ 3$
系数化为1（不等号两边同乘-1，不等号方向改变），得：$x ＞ -3$
则不等式的最小整数解为$x=-2$。
2. 将$x=-2$代入方程$2x - ax =3$求a的值：
代入得：$2×(-2) - a×(-2) = 3$
计算得：$-4 + 2a = 3$
移项得：$2a = 3 +4$，即$2a=7$
系数化为1得：$a=\frac{7}{2}$。
3. 将$a=\frac{7}{2}$代入代数式$4a - \frac{14}{a}$求值：
$4a - \frac{14}{a} =4×\frac{7}{2} - \frac{14}{\frac{7}{2}} =14 - 14×\frac{2}{7}=14-4=10$
【答案】
$10$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先确定不等式的最小整数解，再依次代入求解参数和代数式，解题时需注意解不等式系数化为1时，若两边同乘负数，不等号方向要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的两个不等式$\frac{3x+a}{2}＜1$①与$1-3x＞0$②.
(1)若两个不等式的解集相同，求$a$的值.
(2)若不等式①的解都是②的解，求$a$的取值范围.
(1)若两个不等式的解集相同，求$a$的值.
(2)若不等式①的解都是②的解，求$a$的取值范围.
答案
13. (1)$a=1$ (2)$a≥1$
解析
【分析】
解题思路：首先分别求出两个不等式的解集，再根据题目给出的解集关系列等式或不等式求解。
(1) 若两个不等式解集相同，说明两个解集的边界值相等，据此列方程即可求出a的值；
(2) 若不等式①的解都是②的解，说明①的解集完全包含在②的解集内，即①解集的边界值小于等于②解集的边界值，据此列不等式求解即可，注意解不等式时系数为负要变号。
【解析】
先分别求解两个不等式：
解不等式①：$\frac{3x+a}{2}＜1$
两边同时乘2得：$3x+a＜2$
移项得：$3x＜2-a$
系数化为1得：$x＜\frac{2-a}{3}$
解不等式②：$1-3x＞0$
移项得：$-3x＞-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜\frac{1}{3}$
(1) 若两个不等式解集相同，则两个解集的边界值相等，即：
$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a=1$
解得：$a=1$
(2) 若不等式①的解都是②的解，说明①的解集是②解集的子集，即①解集的边界值不大于②解集的边界值，可得：
$\frac{2-a}{3}≤\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a≤1$
移项得：$-a≤-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$a≥1$
【答案】
(1) $a=1$；(2) $a≥1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式的解集
3. 解集包含关系
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的解法以及对解集关系的理解，解题的核心是正确求出两个不等式的解集，再根据题意建立对应的等量或不等关系求解，需要注意系数化为1时，若系数为负，不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先分别求出两个不等式的解集，再根据题目给出的解集关系列等式或不等式求解。
(1) 若两个不等式解集相同，说明两个解集的边界值相等，据此列方程即可求出a的值；
(2) 若不等式①的解都是②的解，说明①的解集完全包含在②的解集内，即①解集的边界值小于等于②解集的边界值，据此列不等式求解即可，注意解不等式时系数为负要变号。
【解析】
先分别求解两个不等式：
解不等式①：$\frac{3x+a}{2}＜1$
两边同时乘2得：$3x+a＜2$
移项得：$3x＜2-a$
系数化为1得：$x＜\frac{2-a}{3}$
解不等式②：$1-3x＞0$
移项得：$-3x＞-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜\frac{1}{3}$
(1) 若两个不等式解集相同，则两个解集的边界值相等，即：
$\frac{2-a}{3}=\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a=1$
解得：$a=1$
(2) 若不等式①的解都是②的解，说明①的解集是②解集的子集，即①解集的边界值不大于②解集的边界值，可得：
$\frac{2-a}{3}≤\frac{1}{3}$
两边同乘3得：$2-a≤1$
移项得：$-a≤-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$a≥1$
【答案】
(1) $a=1$；(2) $a≥1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式的解集
3. 解集包含关系
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的解法以及对解集关系的理解，解题的核心是正确求出两个不等式的解集，再根据题意建立对应的等量或不等关系求解，需要注意系数化为1时，若系数为负，不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.65
14. 为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品. 已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？
答案
14. 该校最多能购进羽毛球拍 37 副.
解析
【分析】
这是一道利用一元一次不等式求解的实际最值问题，解题思路如下：首先明确问题求羽毛球拍的最大购进数量，我们先设购进羽毛球拍的数量为未知数，结合两种球拍总数量为100副，即可表示出乒乓球拍的数量；再抓住“总费用不超过4500元”的核心不等关系，总费用=羽毛球拍总费用+乒乓球拍总费用，据此列出一元一次不等式；解不等式得到未知数的取值范围后，结合球拍数量必须是正整数的实际要求，取范围内的最大整数即为所求答案。
【解析】
解：设该校购进羽毛球拍$x$副，则购进乒乓球拍$(100-x)$副。
根据总费用不超过4500元，列不等式：
$50x + 42(100 - x) ≤ 4500$
展开括号得：$50x + 4200 - 42x ≤ 4500$
合并同类项得：$8x + 4200 ≤ 4500$
移项计算得：$8x ≤ 300$
解得：$x ≤ 37.5$
由于球拍数量为非负整数，因此$x$可取的最大正整数为37。
【答案】
该校最多能购进羽毛球拍37副。
【知识点】
一元一次不等式应用、解一元一次不等式、实际问题整数解
【点评】
本题是常见的费用类最值实际应用题，解题核心是准确提取题干中的不等关系建立不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，不能直接取不等式解集的端点值。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次不等式求解的实际最值问题，解题思路如下：首先明确问题求羽毛球拍的最大购进数量，我们先设购进羽毛球拍的数量为未知数，结合两种球拍总数量为100副，即可表示出乒乓球拍的数量；再抓住“总费用不超过4500元”的核心不等关系，总费用=羽毛球拍总费用+乒乓球拍总费用，据此列出一元一次不等式；解不等式得到未知数的取值范围后，结合球拍数量必须是正整数的实际要求，取范围内的最大整数即为所求答案。
【解析】
解：设该校购进羽毛球拍$x$副，则购进乒乓球拍$(100-x)$副。
根据总费用不超过4500元，列不等式：
$50x + 42(100 - x) ≤ 4500$
展开括号得：$50x + 4200 - 42x ≤ 4500$
合并同类项得：$8x + 4200 ≤ 4500$
移项计算得：$8x ≤ 300$
解得：$x ≤ 37.5$
由于球拍数量为非负整数，因此$x$可取的最大正整数为37。
【答案】
该校最多能购进羽毛球拍37副。
【知识点】
一元一次不等式应用、解一元一次不等式、实际问题整数解
【点评】
本题是常见的费用类最值实际应用题，解题核心是准确提取题干中的不等关系建立不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，不能直接取不等式解集的端点值。
【难度系数】
0.7
