登录
9. 已知一次函数$y_1=kx+2$和$y_2=x-3$.
(1)当$k=-2$时，若$y_1＞y_2$，求$x$的取值范围；
(2)当$x＞-1$时，$y_1$都大于$y_2$，结合图象，直接写出$k$的取值范围.
(1)当$k=-2$时，若$y_1＞y_2$，求$x$的取值范围；
(2)当$x＞-1$时，$y_1$都大于$y_2$，结合图象，直接写出$k$的取值范围.
答案
(1)$x＜\dfrac{5}{3}$
(2)$1≤ k≤6$
(2)$1≤ k≤6$
解析
【分析】
(1) 第一问先将给定的k=-2代入y₁的表达式，再根据y₁＞y₂的不等关系列出一元一次不等式，按解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
(2) 第二问是不等式恒成立求参数的问题，先将两个函数代入y₁＞y₂，整理为含参的一元一次不等式，再分一次项系数等于0、大于0、小于0三类讨论：系数为0时判断不等式是否恒成立；系数大于0时解出x的范围，结合x＞-1的前提列不等式求k的范围；系数小于0时判断是否符合恒成立要求，最终汇总得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=-2$时，$y_1=-2x+2$，
$\because y_1＞y_2$，
$\therefore -2x+2 ＞ x - 3$，
移项得：$-2x - x ＞ -3 - 2$，
合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) 由$y_1＞y_2$可得：$kx + 2 ＞ x - 3$，
整理得：$(k-1)x ＞ -5$，分三种情况讨论：
① 当$k-1=0$即$k=1$时，不等式变为$0 ＞ -5$，恒成立，符合$x＞-1$时$y_1＞y_2$的要求；
② 当$k-1＞0$即$k＞1$时，不等式解集为$x ＞ -\dfrac{5}{k-1}$，
要使$x＞-1$时$y_1＞y_2$恒成立，则需$-\dfrac{5}{k-1} ≤ -1$，
$\because k-1＞0$，两边同乘$k-1$不等号方向不变，得：$-5 ≤ -(k-1)$，
解得$k ≤ 6$，即此时$1 ＜ k ≤ 6$；
③ 当$k-1＜0$即$k＜1$时，不等式解集为$x ＜ -\dfrac{5}{k-1}$，
此时x越大越难满足不等式，$x＞-1$时无法保证所有值都满足$y_1＞y_2$，故舍去。
综上，$k$的取值范围是$1≤ k≤6$。
【答案】
(1)$x＜\dfrac{5}{3}$
(2)$1≤ k≤6$
【知识点】
一次函数与不等式，一元一次不等式解法，分类讨论思想
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，第一问为基础题型，第二问需要对参数分类讨论，解题时注意系数正负对不等号方向的影响，结合函数图象理解恒成立条件可降低解题难度。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问先将给定的k=-2代入y₁的表达式，再根据y₁＞y₂的不等关系列出一元一次不等式，按解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
(2) 第二问是不等式恒成立求参数的问题，先将两个函数代入y₁＞y₂，整理为含参的一元一次不等式，再分一次项系数等于0、大于0、小于0三类讨论：系数为0时判断不等式是否恒成立；系数大于0时解出x的范围，结合x＞-1的前提列不等式求k的范围；系数小于0时判断是否符合恒成立要求，最终汇总得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=-2$时，$y_1=-2x+2$，
$\because y_1＞y_2$，
$\therefore -2x+2 ＞ x - 3$，
移项得：$-2x - x ＞ -3 - 2$，
合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) 由$y_1＞y_2$可得：$kx + 2 ＞ x - 3$，
整理得：$(k-1)x ＞ -5$，分三种情况讨论：
① 当$k-1=0$即$k=1$时，不等式变为$0 ＞ -5$，恒成立，符合$x＞-1$时$y_1＞y_2$的要求；
② 当$k-1＞0$即$k＞1$时，不等式解集为$x ＞ -\dfrac{5}{k-1}$，
要使$x＞-1$时$y_1＞y_2$恒成立，则需$-\dfrac{5}{k-1} ≤ -1$，
$\because k-1＞0$，两边同乘$k-1$不等号方向不变，得：$-5 ≤ -(k-1)$，
解得$k ≤ 6$，即此时$1 ＜ k ≤ 6$；
③ 当$k-1＜0$即$k＜1$时，不等式解集为$x ＜ -\dfrac{5}{k-1}$，
此时x越大越难满足不等式，$x＞-1$时无法保证所有值都满足$y_1＞y_2$，故舍去。
综上，$k$的取值范围是$1≤ k≤6$。
【答案】
(1)$x＜\dfrac{5}{3}$
(2)$1≤ k≤6$
【知识点】
一次函数与不等式，一元一次不等式解法，分类讨论思想
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，第一问为基础题型，第二问需要对参数分类讨论，解题时注意系数正负对不等号方向的影响，结合函数图象理解恒成立条件可降低解题难度。
【难度系数】
0.6
10. A，B两地分别有垃圾20 t，30 t，现在要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24 t运到C厂.运费标准（单位：元/吨）如表2-9-1所示：
表2-9-1
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x t垃圾.从A，B两地运到C厂的总运费为$y_1$元，运到D厂的总运费为$y_2$元，分别求$y_1$，$y_2$关于x的函数解析式；
(2)根据函数的图象和性质，解决问题：当$y_1＞y_2$时，求x的取值范围.
表2-9-1
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x t垃圾.从A，B两地运到C厂的总运费为$y_1$元，运到D厂的总运费为$y_2$元，分别求$y_1$，$y_2$关于x的函数解析式；
(2)根据函数的图象和性质，解决问题：当$y_1＞y_2$时，求x的取值范围.
答案
(1)$y_1=11x+360$，$y_2=-5x+620$
(2)$\dfrac{65}{4}＜x≤20$
(2)$\dfrac{65}{4}＜x≤20$
解析
【分析】
(1) 要构建两个运费的函数解析式，首先需用设定的x表示出各条运输路线的运量：设A地运到C厂x t，则A地剩余的(20-x)t运到D厂；C厂共需24 t，因此B地需运到C厂(24-x)t，B地总共有30 t垃圾，因此B地运到D厂的量为30-(24-x)=(x+6)t；再根据“总运费=各路线运费之和（单价×运量）”分别计算$y_1$、$y_2$即可。
(2) 要求$y_1＞y_2$时x的范围，首先列不等式求解，再结合x的实际意义（运量不能为负数，且不能超过始发地的垃圾总量）确定x的合法取值范围，两者取交集即可得到最终结果。
【解析】
(1) 设从A地运到C厂x t垃圾，根据各路线运量分析：
运到C厂的总运费$y_1$为A地到C厂运费加B地到C厂运费，计算如下：
$\begin{aligned}y_1 &= 26x + 15(24 - x)\\&= 26x + 360 - 15x\\&= 11x + 360\end{aligned}$
运到D厂的总运费$y_2$为A地到D厂运费加B地到D厂运费，计算如下：
$\begin{aligned}y_2 &= 25(20 - x) + 20(x + 6)\\&= 500 - 25x + 20x + 120\\&= -5x + 620\end{aligned}$
(2) 当$y_1＞y_2$时，列不等式求解：
$\begin{aligned}11x + 360 &＞ -5x + 620\\11x +5x &＞ 620 - 360\\16x &＞ 260\\x &＞ \frac{65}{4}\end{aligned}$
结合实际意义确定x的取值限制：x是A地运到C厂的垃圾量，不能为负，且不能超过A地总垃圾量20t，同时B地运到C厂的(24-x)t也不能为负，因此x的取值范围为$0≤x≤20$。
综上，x的取值范围是$\dfrac{65}{4}＜x≤20$。
【答案】
(1)$y_1=11x+360$，$y_2=-5x+620$
(2)$\dfrac{65}{4}＜x≤20$
【知识点】
一次函数建模；一元一次不等式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际运输场景，考察了利用函数和不等式解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理各运输路线的运量，同时注意结合实际意义限制自变量的取值，避免得到不符合现实的解集。
【难度系数】
0.6
(1) 要构建两个运费的函数解析式，首先需用设定的x表示出各条运输路线的运量：设A地运到C厂x t，则A地剩余的(20-x)t运到D厂；C厂共需24 t，因此B地需运到C厂(24-x)t，B地总共有30 t垃圾，因此B地运到D厂的量为30-(24-x)=(x+6)t；再根据“总运费=各路线运费之和（单价×运量）”分别计算$y_1$、$y_2$即可。
(2) 要求$y_1＞y_2$时x的范围，首先列不等式求解，再结合x的实际意义（运量不能为负数，且不能超过始发地的垃圾总量）确定x的合法取值范围，两者取交集即可得到最终结果。
【解析】
(1) 设从A地运到C厂x t垃圾，根据各路线运量分析：
运到C厂的总运费$y_1$为A地到C厂运费加B地到C厂运费，计算如下：
$\begin{aligned}y_1 &= 26x + 15(24 - x)\\&= 26x + 360 - 15x\\&= 11x + 360\end{aligned}$
运到D厂的总运费$y_2$为A地到D厂运费加B地到D厂运费，计算如下：
$\begin{aligned}y_2 &= 25(20 - x) + 20(x + 6)\\&= 500 - 25x + 20x + 120\\&= -5x + 620\end{aligned}$
(2) 当$y_1＞y_2$时，列不等式求解：
$\begin{aligned}11x + 360 &＞ -5x + 620\\11x +5x &＞ 620 - 360\\16x &＞ 260\\x &＞ \frac{65}{4}\end{aligned}$
结合实际意义确定x的取值限制：x是A地运到C厂的垃圾量，不能为负，且不能超过A地总垃圾量20t，同时B地运到C厂的(24-x)t也不能为负，因此x的取值范围为$0≤x≤20$。
综上，x的取值范围是$\dfrac{65}{4}＜x≤20$。
【答案】
(1)$y_1=11x+360$，$y_2=-5x+620$
(2)$\dfrac{65}{4}＜x≤20$
【知识点】
一次函数建模；一元一次不等式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际运输场景，考察了利用函数和不等式解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理各运输路线的运量，同时注意结合实际意义限制自变量的取值，避免得到不符合现实的解集。
【难度系数】
0.6
