6 如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,下列方案能使从A地到B地的路径A-M-N-B最短的是(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直) （）

6. D

【分析】
要解决这个问题，需明确桥MN垂直河岸，其长度为定值，因此路径A-M-N-B的长度由AM + NB决定，只需让AM + NB最短即可。这类问题可通过平移法转化线段和：将点A沿垂直河岸方向向下平移，平移距离等于河宽，得到点A'，此时AM = A'N，AM + NB转化为A'N + NB，根据两点之间线段最短，当A'、N、B共线时，线段和最短，此时AM与BN平行，据此判断选项。
【解析】
因为河的两岸是平行直线，桥MN需与河岸垂直，所以MN的长度为河宽，是固定值。路径A-M-N-B的长度 = AM + MN + NB，要使路径最短，只需AM + NB最短。
将点A沿垂直于河岸的方向向下平移，平移长度等于河宽，得到点A'，则AA'//MN且AA' = MN，因此四边形AMNA'是平行四边形，故AM = A'N。此时AM + NB = A'N + NB，根据“两点之间线段最短”，当A'、N、B三点共线时，A'N + NB取得最小值，此时AM//BN，观察选项，只有D选项符合该条件。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；平行四边形的判定
【点评】
本题是经典的最短路径几何应用题，核心是利用平移法将分散的线段转化为共线线段，结合两点之间线段最短求解，需掌握平移转化的技巧，属于几何应用的基础题型。
【难度系数】
0.4

7 阅读以下材料,并解决问题.
如图①,A,B 两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为 a. 现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A 村到 B 村的路程最短,试画出造桥的位置. 对于此题,我们可以这样解决:
如图②,把点 A 向下平移到点 $A'$,使 $AA'=a$,连接 $A'B$ 交 $l_2$ 于点 C;过点 C 作 $CD ⊥ l_1$ 于点 D,则 CD 就是造桥的位置.
如图③,A,B 两村之间有两条互相平行的河(每条河的两岸也互相平行).一条河宽为 a,另一条河宽为 b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A 村到 B 村的路程最短,试画出造桥的位置.

7. 如图,$MN,EF$ 即为所求作(其中 $AA'=a$,$A'A''=b$)

【分析】
要解决两条河上造桥使A村到B村路程最短的问题，需借鉴单河造桥的思路：桥必须与河岸垂直，因此每座桥的长度等于对应河的宽度（固定值），只需让A到第一座桥起点、两桥间路径、第二座桥到B的路径之和最短。方法是通过两次平移，将问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，从而确定桥的位置。
【解析】
步骤如下：
1. 将点A沿垂直第一条河（河岸l₁、l₂）的方向向下平移，平移距离等于第一条河宽a，得到点A'；
2. 再将点A'沿垂直第二条河（河岸l₃、l₄）的方向向下平移，平移距离等于第二条河宽b，得到点A''；
3. 连接A''B，交第二条河的下河岸l₄于点F；
4. 过点F作EF⊥l₃，交第二条河的上河岸l₃于点E，EF即为第二条河上的桥；
5. 连接A'E，交第一条河的下河岸l₂于点N；
6. 过点N作MN⊥l₁，交第一条河的上河岸l₁于点M，MN即为第一条河上的桥。
此时A到B的路程（AM + MN + EF + FB）最短，满足要求。
【答案】
如图，MN、EF即为所求作（其中AA'=a，A'A''=b）
【知识点】
平移的应用；最短路径问题
【点评】
本题通过两次平移将多河造桥的最短路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础问题，体现了转化的数学思想，是造桥选址问题的拓展应用，需要学生掌握平移转化的方法。
【难度系数】
0.5