9 如果单项式$-3x^{4a-b}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{a+b}$是同类项,那么这两个单项式的积是（）

A.$x^{6}y^{4}$
B.$-x^{3}y^{2}$
C.$-\dfrac{8}{3}x^{3}y^{2}$
D.$-x^{6}y^{4}$

9. D

【分析】首先明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项。根据该定义列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后确定两个单项式，再依据单项式乘单项式的运算法则计算乘积，最终选出正确选项。
【解析】
1. 根据同类项定义，相同字母的指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}4a - b = 3 \\ a + b = 2\end{cases}$
2. 解方程组：将两式相加，得$5a=5$，解得$a=1$；把$a=1$代入$a+b=2$，得$b=1$。
3. 确定两个单项式：
第一个单项式：$-3x^{4a-b}y^2=-3x^{3}y^2$
第二个单项式：$\frac{1}{3}x^3y^{a+b}=\frac{1}{3}x^3y^2$
4. 计算乘积：
$(-3x^3y^2)·(\frac{1}{3}x^3y^2)=(-3×\frac{1}{3})· x^{3+3}· y^{2+2}=-x^6y^4$
【答案】D
【知识点】同类项，单项式乘单项式，二元一次方程组的解法
【点评】本题综合考查同类项概念、单项式乘法法则及二元一次方程组求解，属于基础题型，按步骤运用知识点即可得出结果。
【难度系数】0.6

10 已知一个长方体的长为$2a\ \mathrm{cm}$,宽为$\dfrac{4}{3}a\ \mathrm{cm}$,高为$\dfrac{3}{2}b\ \mathrm{cm}$,则这个长方体的体积为$\mathrm{cm^3}$.

10. $4a^{2}b$ 【解析】根据长方体的体积公式，可知这个长方体的体积为$2a · \dfrac{4}{3}a · \dfrac{3}{2}b=4a^{2}b(\mathrm{cm^3}).$

【分析】
要计算长方体的体积，需运用长方体体积公式：体积=长×宽×高。本题已给出长、宽、高的表达式，只需将三者相乘，再通过单项式乘法法则计算结果，计算时注意系数的约分和同底数幂的运算即可。
【解析】
根据长方体的体积公式：体积=长×宽×高，将长$2a\ \mathrm{cm}$、宽$\dfrac{4}{3}a\ \mathrm{cm}$、高$\dfrac{3}{2}b\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$V = 2a · \dfrac{4}{3}a · \dfrac{3}{2}b$
计算时，先算系数部分：$2 × \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{2} = 4$；再算字母部分：$a · a · b = a^2b$；因此结果为$4a^2b\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
$4a^2b$
【知识点】
长方体体积公式，单项式乘单项式
【点评】
本题为基础题，考查长方体体积公式的应用及单项式乘法的运算，计算过程中需注意系数的约分和同底数幂的乘法规则，难度较低，适合巩固代数运算基础。
【难度系数】
0.9

11 教材 P104 练习第3题变式 计算：
(1) $(-4ab^{3})^{2}· (-3a^{2}b^{2})^{2}$；
(2) $(-m)^{7}-(5m· 2m)^{3}· (-m)$；
(3) $(-2a^{2}b)^{3}· (-\dfrac{5}{4}abc)· \dfrac{3}{5}a^{3}c^{3}$；
(4) $(2x^{3}y)^{2}· x^{3}y+(-14x^{6})· (-xy)^{3}$。

11. (1) $144a^{6}b^{10}$ (2) $999m^{7}$ (3) $6a^{10}b^{4}c^{4}$ (4) $18x^{9}y^{3}$

【分析】本题为整式混合运算的变式题，解题思路为：①明确运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减；②运用幂的运算法则（积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法）计算各项；③合并同类项得到结果，计算时需注意符号处理和指数运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
$(-4ab^{3})^{2}=(-4)^2a^2(b^3)^2=16a^2b^6$，
$(-3a^{2}b^{2})^{2}=(-3)^2(a^2)^2(b^2)^2=9a^4b^4$，
再计算单项式乘法：
$16a^2b^6·9a^4b^4=(16×9)a^{2+4}b^{6+4}=144a^6b^{10}$；
(2) 先计算各项的乘方和乘法：
$(-m)^7=-m^7$，
$(5m·2m)^3=(10m^2)^3=1000m^6$，
再计算单项式乘法：$1000m^6·(-m)=-1000m^7$，
最后合并同类项：
$-m^7 - (-1000m^7)= -m^7 +1000m^7=999m^7$；
(3) 先计算积的乘方：
$(-2a^2b)^3=(-2)^3(a^2)^3b^3=-8a^6b^3$，
再依次计算单项式乘法：
$(-8a^6b^3)·(-\frac{5}{4}abc)= (-8)×(-\frac{5}{4})a^{6+1}b^{3+1}c=10a^7b^4c$，
$10a^7b^4c·\frac{3}{5}a^3c^3=10×\frac{3}{5}a^{7+3}b^4c^{1+3}=6a^{10}b^4c^4$；
(4) 先计算各项的乘方：
$(2x^3y)^2=4x^6y^2$，$(-xy)^3=-x^3y^3$，
再计算单项式乘法：
$4x^6y^2·x^3y=4x^{6+3}y^{2+1}=4x^9y^3$，
$(-14x^6)·(-x^3y^3)=14x^{6+3}y^3=14x^9y^3$，
最后合并同类项：
$4x^9y^3 +14x^9y^3=18x^9y^3$；
【答案】(1) $144a^{6}b^{10}$；(2) $999m^{7}$；(3) $6a^{10}b^{4}c^{4}$；(4) $18x^{9}y^{3}$
【知识点】幂的运算法则、整式的混合运算
【点评】本题是整式运算的基础变式题，核心考察幂的相关运算法则的应用，解题时需严格遵循运算顺序，注意符号处理和同底数幂运算的指数规则，是巩固整式运算能力的典型练习。
【难度系数】0.6

12（1）已知$3a^{n-1}b^{n+1}$与$-a^{2m-1}b^{n-1}$的积是$-3a^{3}b^{6}$，求$(2m+n)^{n}$的值；
（2）已知$(-2x^{m+1}y^{2n-1})· 5x^{n}y^{m}=-10x^{4}y^{4}$，求$-2m^{2}n· (-\dfrac{1}{2}m^{3}n^{2})^{2}$的值.

12. （1）由题意，得$(3a^{n-1}b^{n+1}) · (-a^{2m-1}b^{n-1})=-3a^{3}b^{6}$，
$\therefore -3a^{2m+n-2}b^{2n}=-3a^{3}b^{6}. \therefore 2m+n-2=3,2n=6. \therefore m=1$，
$n=3. \therefore (2m+n)^{n}=5^{3}=125$
（2）$\because (-2x^{m+1}y^{2n-1}) · 5x^{n}y^{m}=-10x^{m+n+1}y^{m+2n-1}=-10x^{4}y^{4}$，$\therefore \begin{cases} m+n+1=4, \\ m+2n-1=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=1, \\ n=2. \end{cases}$ $\therefore -2m^{2}n · (-\dfrac{1}{2}m^{3}n^{2})^{2}=-\dfrac{1}{2}m^{8}n^{5}=-16$

【分析】
本题分为两小问，均需先利用单项式乘法法则计算乘积，再根据同类项指数相等建立方程求出未知数，最后代入代数式计算。对于（1），先计算两个单项式的乘积，对比结果与已知项的指数，得到关于$m$、$n$的方程，求解后代入目标式；对于（2），同样先计算乘积，根据指数对应相等列方程组解出$m$、$n$，再化简目标代数式并代入计算。
【解析】
（1）
根据单项式乘法法则计算：
$\begin{aligned}3a^{n-1}b^{n+1} · (-a^{2m-1}b^{n-1})&=-3a^{(n-1)+(2m-1)}b^{(n+1)+(n-1)}\\&=-3a^{2m+n-2}b^{2n}\end{aligned}$
由题意得$-3a^{2m+n-2}b^{2n}=-3a^3b^6$，对应指数相等：
$\begin{cases}2m+n-2=3 \\2n=6\end{cases}$
解得$n=3$，代入$2m+3-2=3$得$m=1$，则：
$(2m+n)^n=(2×1+3)^3=5^3=125$
（2）
根据单项式乘法法则计算：
$\begin{aligned}(-2x^{m+1}y^{2n-1}) · 5x^ny^m&=-10x^{(m+1)+n}y^{(2n-1)+m}\\&=-10x^{m+n+1}y^{m+2n-1}\end{aligned}$
由题意得$-10x^{m+n+1}y^{m+2n-1}=-10x^4y^4$，对应指数相等：
$\begin{cases}m+n+1=4 \\m+2n-1=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1 \\n=2\end{cases}$。
先化简目标代数式：
$\begin{aligned}-2m^2n · (-\frac{1}{2}m^3n^2)^2&=-2m^2n · \frac{1}{4}m^6n^4\\&=-\frac{1}{2}m^8n^5\end{aligned}$
代入$m=1$，$n=2$：
$-\frac{1}{2}×1^8×2^5=-\frac{1}{2}×32=-16$
【答案】
（1）$125$；（2）$-16$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题考查单项式乘法法则、指数相等的性质及代数式求值，核心是利用同类项指数对应相等建立方程，计算时需注意指数的运算规则，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】
0.5

13 如图所示为一个长方形娱乐场,其宽为$a\ \mathrm{m}$,长为$\dfrac{3}{2}a\ \mathrm{m}$.在这个娱乐场中有一个长为$\dfrac{2}{5}a\ \mathrm{m}$、宽为$\dfrac{1}{3}a\ \mathrm{m}$的长方形游泳池和两直角边长分别为$\dfrac{1}{2}a\ \mathrm{m}$与$\dfrac{3}{4}a\ \mathrm{m}$的直角三角形活动场,剩下的部分为草坪(涂色部分),则草坪的面积是多少平方米?

13. 草坪的面积是$\dfrac{3}{2}a · a-\dfrac{2}{5}a · \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{2}a · \dfrac{3}{4}a=\dfrac{283}{240}a^{2}(\mathrm{m^2})$

【分析】
要计算草坪的面积，需用长方形娱乐场的总面积减去长方形游泳池的面积，再减去直角三角形活动场的面积。先分别利用长方形、三角形的面积公式求出各部分面积，再通过整式的加减运算得到结果。
【解析】
1. 计算长方形娱乐场的面积：根据长方形面积公式，面积=长×宽，娱乐场长为$\frac{3}{2}a\ \mathrm{m}$，宽为$a\ \mathrm{m}$，因此面积为$\frac{3}{2}a · a = \frac{3}{2}a^2\ (\mathrm{m^2})$。
2. 计算长方形游泳池的面积：同理，游泳池长为$\frac{2}{5}a\ \mathrm{m}$，宽为$\frac{1}{3}a\ \mathrm{m}$，面积为$\frac{2}{5}a · \frac{1}{3}a = \frac{2}{15}a^2\ (\mathrm{m^2})$。
3. 计算直角三角形活动场的面积：根据三角形面积公式，面积=$\frac{1}{2}×底×高$，两直角边分别为$\frac{1}{2}a\ \mathrm{m}$和$\frac{3}{4}a\ \mathrm{m}$，因此面积为$\frac{1}{2} · \frac{1}{2}a · \frac{3}{4}a = \frac{3}{16}a^2\ (\mathrm{m^2})$。
4. 计算草坪面积：用娱乐场总面积减去游泳池和活动场的面积，通分后计算：
$\frac{3}{2}a^2 - \frac{2}{15}a^2 - \frac{3}{16}a^2 = \frac{360}{240}a^2 - \frac{32}{240}a^2 - \frac{45}{240}a^2 = \frac{283}{240}a^2\ (\mathrm{m^2})$。
【答案】
$\dfrac{283}{240}a^{2}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
整式的混合运算、长方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题结合几何面积考查整式加减运算，解题关键是掌握长方形和三角形的面积公式，准确进行通分计算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6