登录
8. 如图,用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6,且相邻两根木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝之间距离的最大值为
（
A.5
B.6
C.7
D.8
（
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
8. C 解析:①选2+3、4、6作为三角形,则三边长分别为5、4、6,
∵6-5＜4＜6+5,
∴能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为6;②选3+4、6、2作为三角形,则三边长分别为2、7、6,
∵6-2＜7＜6+2,
∴能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为7;③选4+6、2、3作为三角形,则三边长分别为10、2、3,
∵2+3＜10,
∴不能构成三角形,此种情况不成立;④选2+6、3、4作为三角形,则三边长分别为8、3、4,
∵3+4＜8,
∴不能构成三角形,此种情况不成立. 综上所述,任意两个螺丝之间距离的最大值为 7.
∵6-5＜4＜6+5,
∴能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为6;②选3+4、6、2作为三角形,则三边长分别为2、7、6,
∵6-2＜7＜6+2,
∴能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为7;③选4+6、2、3作为三角形,则三边长分别为10、2、3,
∵2+3＜10,
∴不能构成三角形,此种情况不成立;④选2+6、3、4作为三角形,则三边长分别为8、3、4,
∵3+4＜8,
∴不能构成三角形,此种情况不成立. 综上所述,任意两个螺丝之间距离的最大值为 7.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：木框是可调整夹角的四边形，要让两个螺丝的距离最大，可将相邻的两根木条转到同一直线上，把四边形转化为三角形，拼接后的木条总长度就是三角形的一条边，再利用三角形三边关系判断该拼接情况是否可行。我们需要列举所有可能的拼接情况，筛选出可行方案后比较最大边长，即可得到所求的最大距离。
【解析】
我们分四种相邻木条拼接的情况逐一讨论：
① 将长度为2和3的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$2+3=5$、4、6：
∵$6-5＜4＜6+5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，此时最大距离为6；
② 将长度为3和4的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$3+4=7$、2、6：
∵$6-2＜7＜6+2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，此时最大距离为7；
③ 将长度为4和6的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$4+6=10$、2、3：
∵$2+3=5＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立；
④ 将长度为2和6的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$2+6=8$、3、4：
∵$3+4=7＜8$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立。
综上对比可行情况的最大距离，可得任意两个螺丝之间的距离最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是理解“调整夹角求最大距离”的本质是将相邻木条拼接转化为三角形的边，解题时需要全面列举所有拼接情况，再通过三边关系筛选可行方案，易错点是漏算拼接情况或误用三边关系判断。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：木框是可调整夹角的四边形，要让两个螺丝的距离最大，可将相邻的两根木条转到同一直线上，把四边形转化为三角形，拼接后的木条总长度就是三角形的一条边，再利用三角形三边关系判断该拼接情况是否可行。我们需要列举所有可能的拼接情况，筛选出可行方案后比较最大边长，即可得到所求的最大距离。
【解析】
我们分四种相邻木条拼接的情况逐一讨论：
① 将长度为2和3的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$2+3=5$、4、6：
∵$6-5＜4＜6+5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，此时最大距离为6；
② 将长度为3和4的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$3+4=7$、2、6：
∵$6-2＜7＜6+2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，此时最大距离为7；
③ 将长度为4和6的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$4+6=10$、2、3：
∵$2+3=5＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立；
④ 将长度为2和6的相邻木条拼接为一条边，此时三角形三边长为$2+6=8$、3、4：
∵$3+4=7＜8$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立。
综上对比可行情况的最大距离，可得任意两个螺丝之间的距离最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是理解“调整夹角求最大距离”的本质是将相邻木条拼接转化为三角形的边，解题时需要全面列举所有拼接情况，再通过三边关系筛选可行方案，易错点是漏算拼接情况或误用三边关系判断。
【难度系数】
0.6
9. 在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形. 有三根长度分别为5 cm、8 cm、9.5 cm的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将9.5 cm的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（
A.8
B.7
C.6
D.5
C
）A.8
B.7
C.6
D.5
答案
9. C 解析:设第三根木棒的长度是x cm. 由三角形三边关系定理,得 8-5＜x＜5+8,
∴3＜x＜13.
∵第三根木棒的长度是整数且小于 9.5 cm,
∴第三根木棒的长度是 4 cm、5 cm、6 cm、7 cm、8 cm 或 9 cm,
∴小明最多可以拼出 6 个不同的三角形.
∴3＜x＜13.
∵第三根木棒的长度是整数且小于 9.5 cm,
∴第三根木棒的长度是 4 cm、5 cm、6 cm、7 cm、8 cm 或 9 cm,
∴小明最多可以拼出 6 个不同的三角形.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确已知三角形的两条边长分别为5cm和8cm，第三条边是裁切9.5cm木棍得到的，所以第三边需满足三个要求：①符合三角形三边关系；②长度为整数；③长度小于9.5cm（裁切后不能比原木棍更长）。解题时先根据三边关系求出第三边的基础取值范围，再结合另外两个限制条件筛选出符合要求的取值，统计符合条件的取值个数即可得到答案。
【解析】
设裁切后第三根木棍的长度为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$8-5 ＜ x ＜ 8+5$
即$3 ＜ x ＜ 13$
又因为第三根木棍由9.5cm的木棍裁切得到，且三角形边长为整数，因此$x$还需满足$x ＜ 9.5$且$x$为正整数。
结合两个范围可知，$x$的可取值为4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm，共6个不同值，即最多可以拼出6个不同的三角形。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系 2.不等式整数解确定
【点评】
本题属于三角形三边关系的实际应用题型，解题的核心是不要遗漏“裁切得到的第三边长度小于9.5cm”这一隐含条件，认真审题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确已知三角形的两条边长分别为5cm和8cm，第三条边是裁切9.5cm木棍得到的，所以第三边需满足三个要求：①符合三角形三边关系；②长度为整数；③长度小于9.5cm（裁切后不能比原木棍更长）。解题时先根据三边关系求出第三边的基础取值范围，再结合另外两个限制条件筛选出符合要求的取值，统计符合条件的取值个数即可得到答案。
【解析】
设裁切后第三根木棍的长度为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$8-5 ＜ x ＜ 8+5$
即$3 ＜ x ＜ 13$
又因为第三根木棍由9.5cm的木棍裁切得到，且三角形边长为整数，因此$x$还需满足$x ＜ 9.5$且$x$为正整数。
结合两个范围可知，$x$的可取值为4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm，共6个不同值，即最多可以拼出6个不同的三角形。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系 2.不等式整数解确定
【点评】
本题属于三角形三边关系的实际应用题型，解题的核心是不要遗漏“裁切得到的第三边长度小于9.5cm”这一隐含条件，认真审题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，则化简$|b - c - a| - |a + b - c|$的结果是
2c-2b
.答案
10. 2c-2b 解析:由三角形的三边关系定理,得 b-c-a＜0,a+b-c＞0,
∴|b-c-a|-|a+b-c|=(a+c-b)-(a+b-c)=a+c-b-a-b+c=2c-2b.
∴|b-c-a|-|a+b-c|=(a+c-b)-(a+b-c)=a+c-b-a-b+c=2c-2b.
解析
【分析】
要化简带有绝对值的代数式，首先需要判断每个绝对值内部式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。判断正负的依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，我们可以通过三边关系分别推导两个绝对值内式子的正负，再逐步计算即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+c＞b$，$a+b＞c$
因此 $b-c-a=b-(a+c)＜0$，$a+b-c＞0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=a+c-b$
$|a+b-c|=a+b-c$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a+c-b)-(a+b-c)\\&=a+c-b-a-b+c\\&=2c-2b\end{aligned}$
【答案】
$2c-2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与代数式化简的综合基础题，解题的核心是先利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，是对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要化简带有绝对值的代数式，首先需要判断每个绝对值内部式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。判断正负的依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，我们可以通过三边关系分别推导两个绝对值内式子的正负，再逐步计算即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+c＞b$，$a+b＞c$
因此 $b-c-a=b-(a+c)＜0$，$a+b-c＞0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=a+c-b$
$|a+b-c|=a+b-c$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a+c-b)-(a+b-c)\\&=a+c-b-a-b+c\\&=2c-2b\end{aligned}$
【答案】
$2c-2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与代数式化简的综合基础题，解题的核心是先利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，是对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
11. 若a、b、c是$△ ABC$的三边长，比较大小：$(a-b)^2 - c^2$ ______ 0.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
11. ＜ 解析:
∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a+c＞b,b+c＞a,则a+c-b＞0,a-b-c＜0,
∴(a-b)² - c²=(a-b+c)(a-b-c)=(a+c-b)(a-b-c)＜0.
∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a+c＞b,b+c＞a,则a+c-b＞0,a-b-c＜0,
∴(a-b)² - c²=(a-b+c)(a-b-c)=(a+c-b)(a-b-c)＜0.
解析
【分析】
要比较$(a-b)^2 - c^2$和0的大小，首先观察式子特征：属于两个平方项作差，符合平方差公式的结构，因此第一步先用平方差公式对原式因式分解；再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），分别判断分解后两个因式的正负性；最后根据有理数乘法的符号法则，就能判断整个式子的符号，得到大小关系。
【解析】
∵a、b、c是$△ ABC$的三边长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$，
对不等式变形得：$a+c-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
利用平方差公式因式分解原式：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)=(a+c-b)(a-b-c)$，
∵正数乘负数的结果为负数，
∴$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
平方差公式，三角形三边关系，因式分解应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础常考题，解题核心是先通过因式分解将原式转化为两个因式乘积的形式，再结合三角形三边关系判断各因式的正负即可得出结论，熟练掌握平方差公式和三角形三边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较$(a-b)^2 - c^2$和0的大小，首先观察式子特征：属于两个平方项作差，符合平方差公式的结构，因此第一步先用平方差公式对原式因式分解；再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），分别判断分解后两个因式的正负性；最后根据有理数乘法的符号法则，就能判断整个式子的符号，得到大小关系。
【解析】
∵a、b、c是$△ ABC$的三边长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$，
对不等式变形得：$a+c-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
利用平方差公式因式分解原式：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)=(a+c-b)(a-b-c)$，
∵正数乘负数的结果为负数，
∴$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
平方差公式，三角形三边关系，因式分解应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础常考题，解题核心是先通过因式分解将原式转化为两个因式乘积的形式，再结合三角形三边关系判断各因式的正负即可得出结论，熟练掌握平方差公式和三角形三边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 如图，AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，且 AC、BD 相交于点 O. 求证：AB + CD ＜ AC + BD.
答案
12. 证明:在△AOB中,AB＜OA+OB,在△COD中,CD＜OC+OD,
∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD,即 AB+CD＜AC+BD.
∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD,即 AB+CD＜AC+BD.
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，优先考虑三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。首先观察待证式子中的AB和CD，AB是△AOB的边，CD是△COD的边，分别对这两个三角形应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，把右侧的线段重新组合为AC和BD，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：根据三角形三边关系，
在△AOB中，AB＜OA+OB，
在△COD中，CD＜OC+OD，
将两个不等式左右两边分别相加，可得：
AB+CD＜OA+OB+OC+OD，
又因为OA+OC=AC，OB+OD=BD，
所以AB+CD＜AC+BD。
【答案】
AB+CD＜AC+BD，证明过程如上。
【知识点】
三角形三边关系、线段和差计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题的关键是将待比较的线段对应到合适的三角形中，借助三边关系列不等式后整合即可得到结论，该解题方法具有普遍性，适用于多数线段和差不等关系的证明。
【难度系数】
0.8
要证明线段和的不等关系，优先考虑三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。首先观察待证式子中的AB和CD，AB是△AOB的边，CD是△COD的边，分别对这两个三角形应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，把右侧的线段重新组合为AC和BD，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：根据三角形三边关系，
在△AOB中，AB＜OA+OB，
在△COD中，CD＜OC+OD，
将两个不等式左右两边分别相加，可得：
AB+CD＜OA+OB+OC+OD，
又因为OA+OC=AC，OB+OD=BD，
所以AB+CD＜AC+BD。
【答案】
AB+CD＜AC+BD，证明过程如上。
【知识点】
三角形三边关系、线段和差计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题的关键是将待比较的线段对应到合适的三角形中，借助三边关系列不等式后整合即可得到结论，该解题方法具有普遍性，适用于多数线段和差不等关系的证明。
【难度系数】
0.8
13. 将长度为$2n(n≥4,n$是自然数$)$的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，三边的长记为$a、b、c$，且满足$a≤ b≤ c$.
(1)就$n=4、5、6$的情况，分别写出所有满足题的$(a,b,c)$.
(2)有人根据(1)中的情况，猜想到若铅丝的长度为$2n$时，$(a,b,c)$的个数一定为$n-3$，这个猜想正确吗？请你以$n=12$时的情况进行验证.
(1)就$n=4、5、6$的情况，分别写出所有满足题的$(a,b,c)$.
(2)有人根据(1)中的情况，猜想到若铅丝的长度为$2n$时，$(a,b,c)$的个数一定为$n-3$，这个猜想正确吗？请你以$n=12$时的情况进行验证.
答案
13. (1)当 n=4 时,有(2,3,3);当 n=5 时,有(2,4,4),(3,3,4);当 n=6 时,有(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4).
(2)这个猜想不正确. 验证如下:当 n=12 时,a+b+c=24,且a+b＞c,a≤b≤c,得8≤c≤11,即c=8、9、10或11,故(a,b,c)有(2,11,11),(3,10,11),(4,9,11),(5,8,11),(6,7,11),(4,10,10),(5,9,10),(6,8,10),(7,7,10),(6,9,9),(7,8,9),(8,8,8),共12组,
∴12≠12-3=9,
∴这个猜想不正确.
(2)这个猜想不正确. 验证如下:当 n=12 时,a+b+c=24,且a+b＞c,a≤b≤c,得8≤c≤11,即c=8、9、10或11,故(a,b,c)有(2,11,11),(3,10,11),(4,9,11),(5,8,11),(6,7,11),(4,10,10),(5,9,10),(6,8,10),(7,7,10),(6,9,9),(7,8,9),(8,8,8),共12组,
∴12≠12-3=9,
∴这个猜想不正确.
解析
【分析】
解题需紧扣三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）及题目给出的$a≤ b≤ c$、周长为$2n$的条件进行推导：
1. 先由$a≤ b≤ c$可得$a+b+c≤ 3c$，即$c≥ \frac{2n}{3}$；再由$a+b＞c$，结合$a+b=2n-c$可得$c＜n$，由此确定最长边$c$的取值范围，再按$c$的取值有序枚举符合条件的整数边长即可解决第(1)问。
2. 第(2)问验证猜想是否正确，只需代入$n=12$，用同样的方法算出所有符合条件的$(a,b,c)$的个数，和$n-3=9$比较即可判断猜想正误。
【解析】
(1) 由题意得$a+b+c=2n$，结合三角形三边关系$a+b＞c$，以及$a≤ b≤ c$：
① 当$n=4$时，周长为$8$，则$\frac{8}{3}≤ c＜4$，$c$为整数，故$c=3$，此时$a+b=5$，结合$a≤ b≤ 3$，得$b=3$，$a=2$，即$(2,3,3)$；
② 当$n=5$时，周长为$10$，则$\frac{10}{3}≤ c＜5$，$c$为整数，故$c=4$，此时$a+b=6$，结合$a≤ b≤ 4$，可得$b=4,a=2$或$b=3,a=3$，即$(2,4,4),(3,3,4)$；
③ 当$n=6$时，周长为$12$，则$\frac{12}{3}≤ c＜6$，$c$为整数，故$c=4$或$5$：
$c=4$时，$a+b=8$，得$a=b=4$，即$(4,4,4)$；
$c=5$时，$a+b=7$，结合$a≤ b≤ 5$，得$b=5,a=2$或$b=4,a=3$，即$(2,5,5),(3,4,5)$；
综上$n=6$时为$(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)$。
(2) 这个猜想不正确，验证如下：
当$n=12$时，周长为$24$，同理可得$\frac{24}{3}≤ c＜12$，即$8≤ c≤ 11$（$c$为整数）：
① $c=11$时，$a+b=13$，$a≤ b≤11$，符合条件的有$(2,11,11),(3,10,11),(4,9,11),(5,8,11),(6,7,11)$，共5组；
② $c=10$时，$a+b=14$，$a≤ b≤10$，符合条件的有$(4,10,10),(5,9,10),(6,8,10),(7,7,10)$，共4组；
③ $c=9$时，$a+b=15$，$a≤ b≤9$，符合条件的有$(6,9,9),(7,8,9)$，共2组；
④ $c=8$时，$a+b=16$，$a≤ b≤8$，符合条件的有$(8,8,8)$，共1组；
总共有$5+4+2+1=12$组，而$n-3=12-3=9$，$12≠9$，故猜想不正确。
【答案】
(1) $n=4$：$\boldsymbol{(2,3,3)}$；$n=5$：$\boldsymbol{(2,4,4),(3,3,4)}$；$n=6$：$\boldsymbol{(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)}$
(2) 这个猜想不正确。
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；枚举法
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是先根据不等关系确定最长边的取值范围，再按顺序枚举避免漏解或多解，判断猜想类问题可通过举反例的方式快速验证结论是否成立。
【难度系数】
0.6
解题需紧扣三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）及题目给出的$a≤ b≤ c$、周长为$2n$的条件进行推导：
1. 先由$a≤ b≤ c$可得$a+b+c≤ 3c$，即$c≥ \frac{2n}{3}$；再由$a+b＞c$，结合$a+b=2n-c$可得$c＜n$，由此确定最长边$c$的取值范围，再按$c$的取值有序枚举符合条件的整数边长即可解决第(1)问。
2. 第(2)问验证猜想是否正确，只需代入$n=12$，用同样的方法算出所有符合条件的$(a,b,c)$的个数，和$n-3=9$比较即可判断猜想正误。
【解析】
(1) 由题意得$a+b+c=2n$，结合三角形三边关系$a+b＞c$，以及$a≤ b≤ c$：
① 当$n=4$时，周长为$8$，则$\frac{8}{3}≤ c＜4$，$c$为整数，故$c=3$，此时$a+b=5$，结合$a≤ b≤ 3$，得$b=3$，$a=2$，即$(2,3,3)$；
② 当$n=5$时，周长为$10$，则$\frac{10}{3}≤ c＜5$，$c$为整数，故$c=4$，此时$a+b=6$，结合$a≤ b≤ 4$，可得$b=4,a=2$或$b=3,a=3$，即$(2,4,4),(3,3,4)$；
③ 当$n=6$时，周长为$12$，则$\frac{12}{3}≤ c＜6$，$c$为整数，故$c=4$或$5$：
$c=4$时，$a+b=8$，得$a=b=4$，即$(4,4,4)$；
$c=5$时，$a+b=7$，结合$a≤ b≤ 5$，得$b=5,a=2$或$b=4,a=3$，即$(2,5,5),(3,4,5)$；
综上$n=6$时为$(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)$。
(2) 这个猜想不正确，验证如下：
当$n=12$时，周长为$24$，同理可得$\frac{24}{3}≤ c＜12$，即$8≤ c≤ 11$（$c$为整数）：
① $c=11$时，$a+b=13$，$a≤ b≤11$，符合条件的有$(2,11,11),(3,10,11),(4,9,11),(5,8,11),(6,7,11)$，共5组；
② $c=10$时，$a+b=14$，$a≤ b≤10$，符合条件的有$(4,10,10),(5,9,10),(6,8,10),(7,7,10)$，共4组；
③ $c=9$时，$a+b=15$，$a≤ b≤9$，符合条件的有$(6,9,9),(7,8,9)$，共2组；
④ $c=8$时，$a+b=16$，$a≤ b≤8$，符合条件的有$(8,8,8)$，共1组；
总共有$5+4+2+1=12$组，而$n-3=12-3=9$，$12≠9$，故猜想不正确。
【答案】
(1) $n=4$：$\boldsymbol{(2,3,3)}$；$n=5$：$\boldsymbol{(2,4,4),(3,3,4)}$；$n=6$：$\boldsymbol{(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)}$
(2) 这个猜想不正确。
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；枚举法
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是先根据不等关系确定最长边的取值范围，再按顺序枚举避免漏解或多解，判断猜想类问题可通过举反例的方式快速验证结论是否成立。
【难度系数】
0.6
