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14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边BC的中点,E为$△ ABC$内一点,连接ED并延长到点F,使得$DF=ED$,连接AF、CF.
(1)求证:$BE// CF$.
(2)若$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,求证:$AF^2=AB^2+BE^2$.
(3)连接EC,探索当$∠ BEC$与$∠ BAC$满足什么数量关系时,$AC=AF$,并说明理由.
(1)求证:$BE// CF$.
(2)若$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,求证:$AF^2=AB^2+BE^2$.
(3)连接EC,探索当$∠ BEC$与$∠ BAC$满足什么数量关系时,$AC=AF$,并说明理由.
答案
14. (1)证明:$\because D$是边$BC$的中点,$\therefore BD=DC$.$\because ED=DF$,$∠ EDB=∠ FDC$,$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$,$\therefore BE// CF$.
(2)证明:由(1),得$△ BDE≌△ CDF$,$\therefore BE=CF$,$∠ EBD=∠ FCD$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$.$\because ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ACF=∠ ACB+∠ FCD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$,$\therefore AF^2=AC^2+CF^2=AB^2+BE^2$.
(3)当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.理由如下:
连接$BF$.在$△ BCE$和$△ CBF$中,$\begin{cases}BE=CF,\\∠ EBD=∠ FCD,\\BC=CB,\end{cases}$$\therefore △ BCE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ BEC=∠ CFB$.$\because AC=AF$,$AB=AC$,$\therefore AB=AF=AC$,$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$,$∠ AFC=∠ ACF$.$\because ∠ BAC+∠ ABF+∠ AFB+∠ AFC+∠ ACF=360°$,$\therefore ∠ BAC+2(∠ AFB+∠ AFC)=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BFC=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BEC=360°$,$\therefore ∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$,即当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.解析
【分析】
(1) 要证明$BE// CF$，可通过证明内错角相等实现。已知$D$是$BC$中点，可得$BD=DC$，结合$DF=ED$和对顶角$∠ EDB=∠ FDC$，可先证$△ BDE≌△ CDF$，得到对应角相等即可推出两直线平行。
(2) 要证明$AF^2=AB^2+BE^2$，符合勾股定理的形式，需先证明$△ ACF$是直角三角形。结合(1)的全等结论可得$BE=CF$，$∠ EBD=∠ FCD$，再利用等腰$△ ABC$的底角性质，结合已知$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$，代换计算可得$∠ ACF=90°$，最后将$AC$替换为$AB$、$CF$替换为$BE$即可得证。
(3) 要探索$∠ BEC$与$∠ BAC$的数量关系使$AC=AF$，先由$AC=AF$、$AB=AC$可得$AB=AC=AF$，对应等腰三角形底角相等。先连接$BF$，证明$△ BCE≌△ CBF$将$∠ BEC$转化为$∠ CFB$，再利用角度和的关系推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because D$是边$BC$的中点，$\therefore BD=DC$。
$\because ED=DF$，$∠ EDB=∠ FDC$，
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$，
$\therefore BE// CF$。
(2) 证明：由(1)得$△ BDE≌△ CDF$，
$\therefore BE=CF$，$∠ EBD=∠ FCD$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$。
$\because ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$\therefore ∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
$\therefore ∠ ACF=∠ ACB+∠ FCD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$，
$\therefore AF^2=AC^2+CF^2=AB^2+BE^2$。
(3) 当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时，$AC=AF$，理由如下：
连接$BF$，在$△ BCE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}BE=CF,\\∠ EBD=∠ FCD,\\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BEC=∠ CFB$。
$\because AC=AF$，$AB=AC$，
$\therefore AB=AF=AC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$，$∠ AFC=∠ ACF$。
$\because ∠ BAC+∠ ABF+∠ AFB+∠ AFC+∠ ACF=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2(∠ AFB+∠ AFC)=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2∠ BFC=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2∠ BEC=360°$，
$\therefore ∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$，即当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时，$AC=AF$。
【答案】
14. (1)证明:$\because D$是边$BC$的中点,$\therefore BD=DC$.$\because ED=DF$,$∠ EDB=∠ FDC$,$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$,$\therefore BE// CF$.
(2)证明:由(1),得$△ BDE≌△ CDF$,$\therefore BE=CF$,$∠ EBD=∠ FCD$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$.$\because ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ACF=∠ ACB+∠ FCD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$,$\therefore AF^2=AC^2+CF^2=AB^2+BE^2$.
(3)当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.理由如下:连接$BF$.在$△ BCE$和$△ CBF$中,$\begin{cases}BE=CF,\\∠ EBD=∠ FCD,\\BC=CB,\end{cases}$$\therefore △ BCE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ BEC=∠ CFB$.$\because AC=AF$,$AB=AC$,$\therefore AB=AF=AC$,$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$,$∠ AFC=∠ ACF$.$\because ∠ BAC+∠ ABF+∠ AFB+∠ AFC+∠ ACF=360°$,$\therefore ∠ BAC+2(∠ AFB+∠ AFC)=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BFC=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BEC=360°$,$\therefore ∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$,即当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题目，三个小问层层递进，前两问侧重考查全等三角形、平行线判定、勾股定理的基础应用，第三问为探究性问题，需要结合全等转化角度，利用等腰三角形性质和角度和关系推导结论，能够较好地考查逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.55
(1) 要证明$BE// CF$，可通过证明内错角相等实现。已知$D$是$BC$中点，可得$BD=DC$，结合$DF=ED$和对顶角$∠ EDB=∠ FDC$，可先证$△ BDE≌△ CDF$，得到对应角相等即可推出两直线平行。
(2) 要证明$AF^2=AB^2+BE^2$，符合勾股定理的形式，需先证明$△ ACF$是直角三角形。结合(1)的全等结论可得$BE=CF$，$∠ EBD=∠ FCD$，再利用等腰$△ ABC$的底角性质，结合已知$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$，代换计算可得$∠ ACF=90°$，最后将$AC$替换为$AB$、$CF$替换为$BE$即可得证。
(3) 要探索$∠ BEC$与$∠ BAC$的数量关系使$AC=AF$，先由$AC=AF$、$AB=AC$可得$AB=AC=AF$，对应等腰三角形底角相等。先连接$BF$，证明$△ BCE≌△ CBF$将$∠ BEC$转化为$∠ CFB$，再利用角度和的关系推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because D$是边$BC$的中点，$\therefore BD=DC$。
$\because ED=DF$，$∠ EDB=∠ FDC$，
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$，
$\therefore BE// CF$。
(2) 证明：由(1)得$△ BDE≌△ CDF$，
$\therefore BE=CF$，$∠ EBD=∠ FCD$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$。
$\because ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$\therefore ∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
$\therefore ∠ ACF=∠ ACB+∠ FCD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$，
$\therefore AF^2=AC^2+CF^2=AB^2+BE^2$。
(3) 当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时，$AC=AF$，理由如下：
连接$BF$，在$△ BCE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}BE=CF,\\∠ EBD=∠ FCD,\\BC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BEC=∠ CFB$。
$\because AC=AF$，$AB=AC$，
$\therefore AB=AF=AC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$，$∠ AFC=∠ ACF$。
$\because ∠ BAC+∠ ABF+∠ AFB+∠ AFC+∠ ACF=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2(∠ AFB+∠ AFC)=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2∠ BFC=360°$，
$\therefore ∠ BAC+2∠ BEC=360°$，
$\therefore ∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$，即当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时，$AC=AF$。
【答案】
14. (1)证明:$\because D$是边$BC$的中点,$\therefore BD=DC$.$\because ED=DF$,$∠ EDB=∠ FDC$,$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ EBD=∠ FCD$,$\therefore BE// CF$.
(2)证明:由(1),得$△ BDE≌△ CDF$,$\therefore BE=CF$,$∠ EBD=∠ FCD$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$.$\because ∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BAC$,$\therefore ∠ ACF=∠ ACB+∠ FCD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$,$\therefore AF^2=AC^2+CF^2=AB^2+BE^2$.
(3)当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.理由如下:
连接$BF$.在$△ BCE$和$△ CBF$中,$\begin{cases}BE=CF,\\∠ EBD=∠ FCD,\\BC=CB,\end{cases}$$\therefore △ BCE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ BEC=∠ CFB$.$\because AC=AF$,$AB=AC$,$\therefore AB=AF=AC$,$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$,$∠ AFC=∠ ACF$.$\because ∠ BAC+∠ ABF+∠ AFB+∠ AFC+∠ ACF=360°$,$\therefore ∠ BAC+2(∠ AFB+∠ AFC)=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BFC=360°$,$\therefore ∠ BAC+2∠ BEC=360°$,$\therefore ∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$,即当$∠ BEC=180°-\frac{1}{2}∠ BAC$时,$AC=AF$.【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题目，三个小问层层递进，前两问侧重考查全等三角形、平行线判定、勾股定理的基础应用，第三问为探究性问题，需要结合全等转化角度，利用等腰三角形性质和角度和关系推导结论，能够较好地考查逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.55
15.【新定义】
一次函数$y=kx+b$与一次函数$y=-kx-b$称为一对和谐函数(其中$k、b$为常数，$k≠0$).
例如:$y=2x+1$与$y=-2x-1$就是一对和谐函数.
【特殊化】
请以$y=2x+1$与$y=-2x-1$这对和谐函数为例，完成以下两条结论:
(1)这对和谐函数图象的交点坐标是
(2)可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是
【一般化】
(3)请尝试证明一般情况下一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数，$k≠0$)图象“成轴对称”的结论依然成立.
一次函数$y=kx+b$与一次函数$y=-kx-b$称为一对和谐函数(其中$k、b$为常数，$k≠0$).
例如:$y=2x+1$与$y=-2x-1$就是一对和谐函数.
【特殊化】
请以$y=2x+1$与$y=-2x-1$这对和谐函数为例，完成以下两条结论:
(1)这对和谐函数图象的交点坐标是
$(-\frac{1}{2},0)$
.(2)可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是
$x$轴
.【一般化】
(3)请尝试证明一般情况下一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数，$k≠0$)图象“成轴对称”的结论依然成立.
答案
15. (1)$(-\frac{1}{2},0)$ 解析:联立两函数,得$\begin{cases}y=2x+1,\\y=-2x-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2},\\y=0,\end{cases}$$\therefore$这对和谐函数图象的交点坐标是$(-\frac{1}{2},0)$.
(2)$x$轴
(3)证明:由$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-kx-b,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k},\\y=0,\end{cases}$$\therefore$和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数,$k≠0$)图象交于$x$轴上一点,$\because$函数$y=kx+b$交$y$轴于点$(0,b)$,函数$y=-kx-b$交$y$轴于点$(0,-b)$,$\therefore$一般情况下一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数,$k≠0$)图象“成轴对称”.
(2)$x$轴
(3)证明:由$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-kx-b,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k},\\y=0,\end{cases}$$\therefore$和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数,$k≠0$)图象交于$x$轴上一点,$\because$函数$y=kx+b$交$y$轴于点$(0,b)$,函数$y=-kx-b$交$y$轴于点$(0,-b)$,$\therefore$一般情况下一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k、b$为常数,$k≠0$)图象“成轴对称”.
解析
【分析】
第(1)问求两个函数图象的交点，解题思路是联立两个一次函数的解析式组成二元一次方程组，方程组的解就对应交点的横、纵坐标；第(2)问找对称轴，先观察到两函数交点在x轴上，再取两个函数上的一组对应点（如与y轴的交点），发现对应点关于x轴对称，即可确定对称轴；第(3)问证明一般情况的轴对称性，先联立通用的和谐函数解析式求出交点，确认交点在x轴上，再找到两个函数与y轴的交点，证明这组交点关于x轴对称，就可说明两条直线整体关于x轴对称。
【解析】
(1) 联立$y=2x+1$与$y=-2x-1$，得方程组：
$\begin{cases}y=2x+1\\y=-2x-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}$，因此这对和谐函数图象的交点坐标是$(-\frac{1}{2},0)$。
(2) 取$y=2x+1$与y轴的交点$(0,1)$，对应$y=-2x-1$与y轴的交点$(0,-1)$，这两个点关于x轴对称，且两函数交点在x轴上，因此它们的对称轴是x轴。
(3) 证明：联立$y=kx+b$与$y=-kx-b$，得方程组：
$\begin{cases}y=kx+b\\y=-kx-b\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k}\\y=0\end{cases}$，即两函数图象交于x轴上的点$(-\frac{b}{k},0)$；
又$y=kx+b$与y轴交于点$(0,b)$，$y=-kx-b$与y轴交于点$(0,-b)$，两点关于x轴对称；
两条直线均过x轴上的公共点，且对应点关于x轴对称，因此一对和谐函数的图象成轴对称，结论成立。
【答案】
(1) $(-\frac{1}{2},0)$；(2) $x$轴；(3) 证明见解析
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数图象性质；轴对称判定
【点评】
本题属于新定义类题型，遵循从特殊到一般的探究逻辑，考查对新定义的理解能力、一次函数相关性质的应用能力和逻辑推理能力，解题核心是掌握联立方程求交点的方法和轴对称的基本特征。
【难度系数】
0.7
第(1)问求两个函数图象的交点，解题思路是联立两个一次函数的解析式组成二元一次方程组，方程组的解就对应交点的横、纵坐标；第(2)问找对称轴，先观察到两函数交点在x轴上，再取两个函数上的一组对应点（如与y轴的交点），发现对应点关于x轴对称，即可确定对称轴；第(3)问证明一般情况的轴对称性，先联立通用的和谐函数解析式求出交点，确认交点在x轴上，再找到两个函数与y轴的交点，证明这组交点关于x轴对称，就可说明两条直线整体关于x轴对称。
【解析】
(1) 联立$y=2x+1$与$y=-2x-1$，得方程组：
$\begin{cases}y=2x+1\\y=-2x-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}$，因此这对和谐函数图象的交点坐标是$(-\frac{1}{2},0)$。
(2) 取$y=2x+1$与y轴的交点$(0,1)$，对应$y=-2x-1$与y轴的交点$(0,-1)$，这两个点关于x轴对称，且两函数交点在x轴上，因此它们的对称轴是x轴。
(3) 证明：联立$y=kx+b$与$y=-kx-b$，得方程组：
$\begin{cases}y=kx+b\\y=-kx-b\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-\frac{b}{k}\\y=0\end{cases}$，即两函数图象交于x轴上的点$(-\frac{b}{k},0)$；
又$y=kx+b$与y轴交于点$(0,b)$，$y=-kx-b$与y轴交于点$(0,-b)$，两点关于x轴对称；
两条直线均过x轴上的公共点，且对应点关于x轴对称，因此一对和谐函数的图象成轴对称，结论成立。
【答案】
(1) $(-\frac{1}{2},0)$；(2) $x$轴；(3) 证明见解析
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数图象性质；轴对称判定
【点评】
本题属于新定义类题型，遵循从特殊到一般的探究逻辑，考查对新定义的理解能力、一次函数相关性质的应用能力和逻辑推理能力，解题核心是掌握联立方程求交点的方法和轴对称的基本特征。
【难度系数】
0.7
