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8 计算 $3\dfrac{1}{4}+(-2\dfrac{3}{5})+5\dfrac{3}{4}+(-7\dfrac{2}{5})$时，运算律用得恰当的是 （
A.$[3\dfrac{1}{4}+(-2\dfrac{3}{5})]+[5\dfrac{3}{4}+(-7\dfrac{2}{5})]$
B.$[(-2\dfrac{3}{5})+5\dfrac{3}{4}]+[3\dfrac{1}{4}+(-7\dfrac{2}{5})]$
C.$[3\dfrac{1}{4}+(-7\dfrac{2}{5})+(-2\dfrac{3}{5})]+5\dfrac{3}{4}$
D.$(3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4})+[(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})]$
D
）A.$[3\dfrac{1}{4}+(-2\dfrac{3}{5})]+[5\dfrac{3}{4}+(-7\dfrac{2}{5})]$
B.$[(-2\dfrac{3}{5})+5\dfrac{3}{4}]+[3\dfrac{1}{4}+(-7\dfrac{2}{5})]$
C.$[3\dfrac{1}{4}+(-7\dfrac{2}{5})+(-2\dfrac{3}{5})]+5\dfrac{3}{4}$
D.$(3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4})+[(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})]$
答案
8.D
解析
【分析】
这是一道考查有理数加法运算律运用的题目，解题核心是通过凑整简化计算。首先观察算式中的四个数：$3\dfrac{1}{4}$和$5\dfrac{3}{4}$的分数部分相加得1，二者求和可以凑成整数；$-2\dfrac{3}{5}$和$-7\dfrac{2}{5}$的分数部分相加得1，二者求和也可以凑成整数。因此我们可以利用加法交换律调整数的位置，再用加法结合律把能凑整的两组数分别结合计算，对应找到符合该思路的选项即可。
【解析】
有理数加法运算律包括交换律（$a+b=b+a$）和结合律（$(a+b)+c=a+(b+c)$），简便运算的核心是凑整。
观察原式中各数的特征：
$3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4}=(3+5)+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})=9$，结果为整数；
$(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})=-(2\dfrac{3}{5}+7\dfrac{2}{5})=-10$，结果为整数。
因此先运用加法交换律调整数的顺序，再运用加法结合律分组，可得：
$3\dfrac{1}{4}+(-2\dfrac{3}{5})+5\dfrac{3}{4}+(-7\dfrac{2}{5})=(3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4})+[(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})]$，对应选项D。
其余选项的分组均无法凑整，运算复杂度更高，运算律使用不恰当。
【答案】
D
【知识点】
1. 加法交换律 2. 加法结合律 3. 有理数简便运算
【点评】
本题重点考查有理数加法运算律的灵活运用，解题的关键是先观察数字特征，优先将能凑整的数结合计算，是有理数简便运算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
这是一道考查有理数加法运算律运用的题目，解题核心是通过凑整简化计算。首先观察算式中的四个数：$3\dfrac{1}{4}$和$5\dfrac{3}{4}$的分数部分相加得1，二者求和可以凑成整数；$-2\dfrac{3}{5}$和$-7\dfrac{2}{5}$的分数部分相加得1，二者求和也可以凑成整数。因此我们可以利用加法交换律调整数的位置，再用加法结合律把能凑整的两组数分别结合计算，对应找到符合该思路的选项即可。
【解析】
有理数加法运算律包括交换律（$a+b=b+a$）和结合律（$(a+b)+c=a+(b+c)$），简便运算的核心是凑整。
观察原式中各数的特征：
$3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4}=(3+5)+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})=9$，结果为整数；
$(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})=-(2\dfrac{3}{5}+7\dfrac{2}{5})=-10$，结果为整数。
因此先运用加法交换律调整数的顺序，再运用加法结合律分组，可得：
$3\dfrac{1}{4}+(-2\dfrac{3}{5})+5\dfrac{3}{4}+(-7\dfrac{2}{5})=(3\dfrac{1}{4}+5\dfrac{3}{4})+[(-2\dfrac{3}{5})+(-7\dfrac{2}{5})]$，对应选项D。
其余选项的分组均无法凑整，运算复杂度更高，运算律使用不恰当。
【答案】
D
【知识点】
1. 加法交换律 2. 加法结合律 3. 有理数简便运算
【点评】
本题重点考查有理数加法运算律的灵活运用，解题的关键是先观察数字特征，优先将能凑整的数结合计算，是有理数简便运算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
9 新考向 结论开放题 分别写出一个含有三个加数且满足条件的等式：
（1）所有的加数都是负数，和是－13：______；
（2）至少有一个加数是正整数，和是－13：______.
（1）所有的加数都是负数，和是－13：______；
（2）至少有一个加数是正整数，和是－13：______.
答案
9. 答案不唯一，如(1) $(-1)+(-2)+(-10)=-13$ (2) $(-1)+(+2)+(-14)=-13$
解析
【分析】
（1）第一小问要求三个加数均为负数，和为-13。根据有理数加法中负数相加的规律：几个负数相加，和为负数，且和的绝对值等于各加数绝对值的和，因此只需先找到三个和为13的正整数，再给这三个数都添加负号，即可得到符合要求的等式。
（2）第二小问要求至少有一个加数是正整数，和为-13。我们可以先选定1个正整数，再根据“剩余两个加数的和=总和-已选的正整数”凑出剩下的加数，只要最终相加结果为-13就满足条件，两小问答案均不唯一。
【解析】
（1）先选取和为13的三个正整数，例如1、2、10，将三个数改为负数得-1、-2、-10，计算和：
$(-1)+(-2)+(-10)=-(1+2+10)=-13$，符合要求。
（2）先选取一个正整数，例如+2，可得剩余两个加数的和为$-13-(+2)=-15$，选取和为-15的两个数，例如-1和-14，计算和：
$(-1)+(+2)+(-14)=(-1-14)+2=-15+2=-13$，符合要求。
注：两小问答案均不唯一，满足条件即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $\boldsymbol{(-1)+(-2)+(-10)=-13}$；(2) $\boldsymbol{(-1)+(+2)+(-14)=-13}$
【知识点】
有理数加法运算，正负数运算
【点评】
本题是结论开放题，核心考查对有理数加法法则的灵活运用，解题时可先确定部分符合要求的加数，再结合和的数值推导剩余加数，只要满足题干条件的答案均正确，能够锻炼发散思维。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问要求三个加数均为负数，和为-13。根据有理数加法中负数相加的规律：几个负数相加，和为负数，且和的绝对值等于各加数绝对值的和，因此只需先找到三个和为13的正整数，再给这三个数都添加负号，即可得到符合要求的等式。
（2）第二小问要求至少有一个加数是正整数，和为-13。我们可以先选定1个正整数，再根据“剩余两个加数的和=总和-已选的正整数”凑出剩下的加数，只要最终相加结果为-13就满足条件，两小问答案均不唯一。
【解析】
（1）先选取和为13的三个正整数，例如1、2、10，将三个数改为负数得-1、-2、-10，计算和：
$(-1)+(-2)+(-10)=-(1+2+10)=-13$，符合要求。
（2）先选取一个正整数，例如+2，可得剩余两个加数的和为$-13-(+2)=-15$，选取和为-15的两个数，例如-1和-14，计算和：
$(-1)+(+2)+(-14)=(-1-14)+2=-15+2=-13$，符合要求。
注：两小问答案均不唯一，满足条件即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $\boldsymbol{(-1)+(-2)+(-10)=-13}$；(2) $\boldsymbol{(-1)+(+2)+(-14)=-13}$
【知识点】
有理数加法运算，正负数运算
【点评】
本题是结论开放题，核心考查对有理数加法法则的灵活运用，解题时可先确定部分符合要求的加数，再结合和的数值推导剩余加数，只要满足题干条件的答案均正确，能够锻炼发散思维。
【难度系数】
0.8
10 计算：
(1) $(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\left|-\dfrac{1}{6}\right|$；
(2) $(-1)+2+3+(-4)+(-5)+6+7+(-8)+\dots+(-2\,021)+2\,022+2\,023+(-2\,024)+(-2\,025)+2\,026$。
(1) $(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\left|-\dfrac{1}{6}\right|$；
(2) $(-1)+2+3+(-4)+(-5)+6+7+(-8)+\dots+(-2\,021)+2\,022+2\,023+(-2\,024)+(-2\,025)+2\,026$。
答案
10. (1) 原式$=-\dfrac{1}{14}$
(2) 原式$=[(-1)+2+3+(-4)]+[(-5)+6+7+(-8)]+\dots+[(-2\,021)+2\,022+2\,023+(-2\,024)]+[(-2\,025)+2\,026]=1$
(2) 原式$=[(-1)+2+3+(-4)]+[(-5)+6+7+(-8)]+\dots+[(-2\,021)+2\,022+2\,023+(-2\,024)]+[(-2\,025)+2\,026]=1$
解析
【分析】
(1) 首先化简算式中的绝对值，再利用加法交换律和结合律，将分母相同的分数分别组合在一起计算，可减少通分次数、简化运算，最后将两组计算结果相加即可得到答案。
(2) 先观察算式的数字排列和符号规律，发现从左到右每4个数为一组，每组的计算结果都为0；先计算前2024个数可分成多少组，算出这部分的和，再加上最后剩余两个数的和，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$，
利用加法交换律、结合律重组算式：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{7})+(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6})\\&=\dfrac{3}{7}+(-\dfrac{3}{6})\\&=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14}\\&=-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
(2) 观察算式规律，每4个数为一组，每组运算结果为：
$(-1)+2+3+(-4)=0$，$(-5)+6+7+(-8)=0$，以此类推，每组结果均为0。
从$-1$到$-2024$共2024个数，可分为$2024÷4=506$组，这506组的和为$506×0=0$。
剩余最后两个数的和为：$(-2025)+2026=1$，
因此原式$=0+1=1$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{14}$；(2) $1$
【知识点】
绝对值化简，有理数加法运算律，有理数分组巧算
【点评】
本题考查有理数加法的简便运算技巧，第一问通过运算律合并同分母分数，降低了计算复杂度；第二问需要先观察数字排列规律，合理分组后可大幅减少运算量，解题时注意不要遗漏末尾未参与分组的数字。
【难度系数】
0.7
(1) 首先化简算式中的绝对值，再利用加法交换律和结合律，将分母相同的分数分别组合在一起计算，可减少通分次数、简化运算，最后将两组计算结果相加即可得到答案。
(2) 先观察算式的数字排列和符号规律，发现从左到右每4个数为一组，每组的计算结果都为0；先计算前2024个数可分成多少组，算出这部分的和，再加上最后剩余两个数的和，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$，
利用加法交换律、结合律重组算式：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{7})+(\dfrac{1}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6})\\&=\dfrac{3}{7}+(-\dfrac{3}{6})\\&=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14}\\&=-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
(2) 观察算式规律，每4个数为一组，每组运算结果为：
$(-1)+2+3+(-4)=0$，$(-5)+6+7+(-8)=0$，以此类推，每组结果均为0。
从$-1$到$-2024$共2024个数，可分为$2024÷4=506$组，这506组的和为$506×0=0$。
剩余最后两个数的和为：$(-2025)+2026=1$，
因此原式$=0+1=1$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{14}$；(2) $1$
【知识点】
绝对值化简，有理数加法运算律，有理数分组巧算
【点评】
本题考查有理数加法的简便运算技巧，第一问通过运算律合并同分母分数，降低了计算复杂度；第二问需要先观察数字排列规律，合理分组后可大幅减少运算量，解题时注意不要遗漏末尾未参与分组的数字。
【难度系数】
0.7
11 一只蚂蚁从点 O 出发，在一条直线上来回爬行. 假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则蚂蚁爬过的各段路程依次为(单位:cm):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
（1）蚂蚁最后是否回到了出发点 O?
（2）求蚂蚁与出发点 O 之间的最远距离.
（3）在爬行过程中，如果每爬行 1 cm 奖励一颗糖，那么蚂蚁一共可以得到多少颗糖?
（1）蚂蚁最后是否回到了出发点 O?
（2）求蚂蚁与出发点 O 之间的最远距离.
（3）在爬行过程中，如果每爬行 1 cm 奖励一颗糖，那么蚂蚁一共可以得到多少颗糖?
答案
11. (1) 因为$(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0(\mathrm{cm})$,所以蚂蚁最后回到了出发点$O$
(2) 根据记录,蚂蚁与出发点$O$之间的距离分别为$5\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},0\ \mathrm{cm}$,所以蚂蚁与出发点$O$之间的最远距离是$12\ \mathrm{cm}$
(3) $|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(\mathrm{cm})$,$54×1=54(\mathrm{颗})$,所以蚂蚁一共可以得到54颗糖
(2) 根据记录,蚂蚁与出发点$O$之间的距离分别为$5\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},0\ \mathrm{cm}$,所以蚂蚁与出发点$O$之间的最远距离是$12\ \mathrm{cm}$
(3) $|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(\mathrm{cm})$,$54×1=54(\mathrm{颗})$,所以蚂蚁一共可以得到54颗糖
解析
【分析】
（1）判断蚂蚁是否回到出发点，本质是计算总位移，将所有带正负号的路程相加，若结果为0则说明回到出发点，反之则没有。
（2）求最远距离时，需要逐次计算每爬完一段后蚂蚁的位置，再求出该位置到出发点的距离（即位置的绝对值），最后比较所有距离的大小即可得到最大值。
（3）奖励糖的数量只和爬行总路程有关，和方向无关，因此只需计算所有爬行路程的绝对值之和，总路程的数值就是糖的总数量。
【解析】
（1）将所有爬行路程相加：
$\begin{aligned}&(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)\\=&5-3+10-8-6+12-10\\=&0(\mathrm{cm})\end{aligned}$
结果为0，说明蚂蚁最终位置和出发点重合。
（2）逐次计算每次爬行后离出发点的距离：
①爬完+5段：位置为+5，距离O点$|+5|=5\ \mathrm{cm}$；
②爬完-3段：位置为$5-3=2$，距离O点$|2|=2\ \mathrm{cm}$；
③爬完+10段：位置为$2+10=12$，距离O点$|12|=12\ \mathrm{cm}$；
④爬完-8段：位置为$12-8=4$，距离O点$|4|=4\ \mathrm{cm}$；
⑤爬完-6段：位置为$4-6=-2$，距离O点$|-2|=2\ \mathrm{cm}$；
⑥爬完+12段：位置为$-2+12=10$，距离O点$|10|=10\ \mathrm{cm}$；
⑦爬完-10段：位置为$10-10=0$，距离O点$|0|=0\ \mathrm{cm}$；
比较所有距离可得最大值为12cm。
（3）计算总路程，即所有路程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|\\=&5+3+10+8+6+12+10\\=&54(\mathrm{cm})\end{aligned}$
每爬1cm得1颗糖，总糖数为$54×1=54$颗。
【答案】
（1）蚂蚁最后回到了出发点O；
（2）蚂蚁与出发点O之间的最远距离是12cm；
（3）蚂蚁一共可以得到54颗糖。
【知识点】
正负数的实际意义、有理数加法运算、绝对值的应用
【点评】
本题结合生活情境考察有理数相关知识的实际应用，解题时需明确位移和路程的区别，求解最远距离时要逐次计算每次爬行后的距离，避免直接对比单段路程出错，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
（1）判断蚂蚁是否回到出发点，本质是计算总位移，将所有带正负号的路程相加，若结果为0则说明回到出发点，反之则没有。
（2）求最远距离时，需要逐次计算每爬完一段后蚂蚁的位置，再求出该位置到出发点的距离（即位置的绝对值），最后比较所有距离的大小即可得到最大值。
（3）奖励糖的数量只和爬行总路程有关，和方向无关，因此只需计算所有爬行路程的绝对值之和，总路程的数值就是糖的总数量。
【解析】
（1）将所有爬行路程相加：
$\begin{aligned}&(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)\\=&5-3+10-8-6+12-10\\=&0(\mathrm{cm})\end{aligned}$
结果为0，说明蚂蚁最终位置和出发点重合。
（2）逐次计算每次爬行后离出发点的距离：
①爬完+5段：位置为+5，距离O点$|+5|=5\ \mathrm{cm}$；
②爬完-3段：位置为$5-3=2$，距离O点$|2|=2\ \mathrm{cm}$；
③爬完+10段：位置为$2+10=12$，距离O点$|12|=12\ \mathrm{cm}$；
④爬完-8段：位置为$12-8=4$，距离O点$|4|=4\ \mathrm{cm}$；
⑤爬完-6段：位置为$4-6=-2$，距离O点$|-2|=2\ \mathrm{cm}$；
⑥爬完+12段：位置为$-2+12=10$，距离O点$|10|=10\ \mathrm{cm}$；
⑦爬完-10段：位置为$10-10=0$，距离O点$|0|=0\ \mathrm{cm}$；
比较所有距离可得最大值为12cm。
（3）计算总路程，即所有路程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|\\=&5+3+10+8+6+12+10\\=&54(\mathrm{cm})\end{aligned}$
每爬1cm得1颗糖，总糖数为$54×1=54$颗。
【答案】
（1）蚂蚁最后回到了出发点O；
（2）蚂蚁与出发点O之间的最远距离是12cm；
（3）蚂蚁一共可以得到54颗糖。
【知识点】
正负数的实际意义、有理数加法运算、绝对值的应用
【点评】
本题结合生活情境考察有理数相关知识的实际应用，解题时需明确位移和路程的区别，求解最远距离时要逐次计算每次爬行后的距离，避免直接对比单段路程出错，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
