4. [2023·呼和浩特一模]如图,过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点,连接EF,FG,GH,HE.试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.

4. 解:四边形$EFGH$是菱形.理由如下:
在平行四边形$ABCD$中,$OA=OC$,$AB// CD$,
$\therefore ∠ OAE=∠ OCG$.
在$△ AOE$和$△ COG$中,
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCG,\\OA=OC,\\∠ AOE=∠ COG,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ COG(\mathrm{ASA})$,$\therefore OE=OG$.
同理可得$OF=OH$.
$\therefore$ 四边形$EFGH$是平行四边形.
$\because EG⊥ FH$,$\therefore$ 四边形$EFGH$是菱形.

5. 如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE//BD,BE//AC,AE,BE相交于点E.
求证:四边形OAEB是矩形.

5. 证明:由菱形$ABCD$可得$AC⊥ BD$,
$\therefore ∠ AOB=90°$.
$\because AE// BD$,
$\therefore ∠ OAE=90°$.
$\because BE// AC$,
$\therefore ∠ OBE=90°$.
$\therefore$ 四边形$OAEB$为矩形.

6. 如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥CD,垂足为F.
求证:EF=AP.

6. 证明:连接$PC$.
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore AB=BC$,$∠ ABD=∠ CBD$.
$\because BP=BP$,
$\therefore △ ABP≌△ CBP$.$\therefore AP=CP$.
$\because PE⊥ BC$,$PF⊥ DC$,$∠ C=90°$,
$\therefore$ 四边形$PECF$为矩形.
$\therefore EF=PC$.$\therefore EF=AP$.