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10 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6,BC=8$,$P$为边$AD$上一动点,$CE ⊥ BP$于点$E$,$BP=x$,$CE=y$,则$y$关于$x$的函数解析式为
$y=\dfrac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10)$
.答案
10.$y=\dfrac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10)$
解析
【分析】
要推导y关于x的函数解析式，可利用三角形面积的两种不同计算方式建立关系。在矩形ABCD中，△BPC的面积等于矩形面积的一半，同时△BPC的面积也可表示为以BP为底、CE为高的形式，由此可得到x与y的等式，再结合BP的取值范围确定x的定义域。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，因此矩形的面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB × BC=6 × 8=48 $。
由于AD//BC，点P在AD上，故△BPC的高等于AB的长度，因此 $ S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2} × 48=24 $。
又因为CE⊥BP，所以△BPC的面积也可表示为 $ S_{△ BPC}=\frac{1}{2} × BP × CE=\frac{1}{2}xy $。
联立两个面积表达式：$ \frac{1}{2}xy=24 $，化简得 $ xy=48 $，即 $ y=\frac{48}{x} $。
接下来确定x的取值范围：当点P与A重合时，BP=AB=6；当点P与D重合时，BP为矩形对角线BD，由勾股定理得 $ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $，故x的取值范围是 $ 6 ≤ x ≤ 10 $。
因此y关于x的函数解析式为 $ y=\frac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10) $。
【答案】
$ y=\dfrac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10) $
【知识点】
矩形的性质、三角形面积、函数解析式
【点评】
本题通过矩形中三角形面积的两种表示方法建立函数关系，核心是利用“矩形内以一边为底的三角形面积为矩形面积的一半”这一性质，结合勾股定理确定自变量范围，属于中等难度的函数应用题，需掌握面积转换的技巧。
【难度系数】
0.5
要推导y关于x的函数解析式，可利用三角形面积的两种不同计算方式建立关系。在矩形ABCD中，△BPC的面积等于矩形面积的一半，同时△BPC的面积也可表示为以BP为底、CE为高的形式，由此可得到x与y的等式，再结合BP的取值范围确定x的定义域。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，因此矩形的面积为 $ S_{矩形ABCD}=AB × BC=6 × 8=48 $。
由于AD//BC，点P在AD上，故△BPC的高等于AB的长度，因此 $ S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2} × 48=24 $。
又因为CE⊥BP，所以△BPC的面积也可表示为 $ S_{△ BPC}=\frac{1}{2} × BP × CE=\frac{1}{2}xy $。
联立两个面积表达式：$ \frac{1}{2}xy=24 $，化简得 $ xy=48 $，即 $ y=\frac{48}{x} $。
接下来确定x的取值范围：当点P与A重合时，BP=AB=6；当点P与D重合时，BP为矩形对角线BD，由勾股定理得 $ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $，故x的取值范围是 $ 6 ≤ x ≤ 10 $。
因此y关于x的函数解析式为 $ y=\frac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10) $。
【答案】
$ y=\dfrac{48}{x}(6 ≤ x ≤ 10) $
【知识点】
矩形的性质、三角形面积、函数解析式
【点评】
本题通过矩形中三角形面积的两种表示方法建立函数关系，核心是利用“矩形内以一边为底的三角形面积为矩形面积的一半”这一性质，结合勾股定理确定自变量范围，属于中等难度的函数应用题，需掌握面积转换的技巧。
【难度系数】
0.5
11 已知反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$, 将 $x=\dfrac{2}{3}$ 代入该函数的解析式, 所得函数值记为 $y_1$; 将$x=y_1+1$ 代入该函数的解析式, 所得函数值记为 $y_2$; 将 $x=y_2+1$ 代入该函数的解析式, 所得函数值记为 $y_3······$ 如此继续下去, 则 $y_{2026}=$
$-\dfrac{3}{2}$
.答案
11.$-\dfrac{3}{2}$
【解析】由题意,易得 $y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=2,y_3=-\dfrac{1}{3}$,$y_4=-\dfrac{3}{2},···, \therefore$ 每 3 次计算为一个循环. $\because 2\ 026 ÷ 3=675······1, \therefore y_{2026}$ 与 $y_1$ 的值相同,为 $-\dfrac{3}{2}$.
【解析】由题意,易得 $y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=2,y_3=-\dfrac{1}{3}$,$y_4=-\dfrac{3}{2},···, \therefore$ 每 3 次计算为一个循环. $\because 2\ 026 ÷ 3=675······1, \therefore y_{2026}$ 与 $y_1$ 的值相同,为 $-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题需先根据题目给定的迭代规则，依次计算出前几个函数值，观察其变化规律，找到循环周期后，通过计算所求下标与周期的余数，确定对应函数值。
【解析】
根据题意逐步计算：
1. 代入$x=\frac{2}{3}$到$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 代入$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 代入$x=y_2+1=2+1=3$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 代入$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，得$y_4=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
由此可知，函数值每3次计算为一个循环周期（$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$循环）。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$与循环中的第1个值$y_1$相同，即$y_{2026}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数、规律探究
【点评】
本题通过迭代计算函数值，考查学生的观察归纳能力，关键在于发现函数值的循环规律，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
本题需先根据题目给定的迭代规则，依次计算出前几个函数值，观察其变化规律，找到循环周期后，通过计算所求下标与周期的余数，确定对应函数值。
【解析】
根据题意逐步计算：
1. 代入$x=\frac{2}{3}$到$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 代入$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 代入$x=y_2+1=2+1=3$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 代入$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，得$y_4=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
由此可知，函数值每3次计算为一个循环周期（$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$循环）。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$与循环中的第1个值$y_1$相同，即$y_{2026}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数、规律探究
【点评】
本题通过迭代计算函数值，考查学生的观察归纳能力，关键在于发现函数值的循环规律，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
12 已知$y+2$与$x$成反比例，且当$x=2$时，$y=0$.
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 当$y=-1$时，求$x$的值；
(3) 当$x=-\dfrac{4}{3}$时，求$y$的值；
(4) $y$是$x$的反比例函数吗？
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 当$y=-1$时，求$x$的值；
(3) 当$x=-\dfrac{4}{3}$时，求$y$的值；
(4) $y$是$x$的反比例函数吗？
答案
12. (1) $\because y+2$ 与 $x$ 成反比例, $\therefore$ 可设 $y+2=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$.
$\because$ 当 $x=2$ 时, $y=0, \therefore 0+2=\dfrac{k}{2}$, 解得 $k=4$. $\therefore y+2=\dfrac{4}{x}$.
$\therefore y=\dfrac{4}{x}-2$, 即 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x}-2$
(2) 将 $y=-1$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}-2$, 得 $-1=\dfrac{4}{x}-2$, 解得 $x=4$
(3) 把 $x=-\dfrac{4}{3}$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}-2$, 得 $y=4 ×(-\dfrac{3}{4})-2=-5$
(4) 不是
$\because$ 当 $x=2$ 时, $y=0, \therefore 0+2=\dfrac{k}{2}$, 解得 $k=4$. $\therefore y+2=\dfrac{4}{x}$.
$\therefore y=\dfrac{4}{x}-2$, 即 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x}-2$
(2) 将 $y=-1$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}-2$, 得 $-1=\dfrac{4}{x}-2$, 解得 $x=4$
(3) 把 $x=-\dfrac{4}{3}$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}-2$, 得 $y=4 ×(-\dfrac{3}{4})-2=-5$
(4) 不是
解析
【分析】
本题围绕反比例函数的相关知识展开，解题思路如下：(1) 依据“y+2与x成反比例”，设出对应的反比例函数关系式，利用待定系数法，代入已知的x、y值求出比例系数k，进而整理得到y关于x的函数解析式；(2)(3) 分别将给定的y值、x值代入已求得的函数解析式，通过解方程或代数计算，求出对应的x值或y值；(4) 根据反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数），判断所得解析式是否符合该形式，得出结论。
【解析】
(1) 因为$y+2$与$x$成反比例，所以设$y+2=\frac{k}{x}(k≠0)$。将$x=2$，$y=0$代入得：$0+2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。因此$y+2=\frac{4}{x}$，整理得$y=\frac{4}{x}-2$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{4}{x}-2$。
(2) 把$y=-1$代入$y=\frac{4}{x}-2$，得$-1=\frac{4}{x}-2$，移项得$\frac{4}{x}=1$，解得$x=4$。
(3) 把$x=-\frac{4}{3}$代入$y=\frac{4}{x}-2$，得$y=4÷(-\frac{4}{3}) -2=-3-2=-5$。
(4) 反比例函数的定义是形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数，本题中$y=\frac{4}{x}-2$不符合该形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}-2$；(2) $x=4$；(3) $y=-5$；(4) 不是
【知识点】
反比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，主要考查反比例函数的概念、待定系数法的应用以及函数值的求解，难度适中，适合巩固反比例函数的相关基础知识。
【难度系数】
0.7
本题围绕反比例函数的相关知识展开，解题思路如下：(1) 依据“y+2与x成反比例”，设出对应的反比例函数关系式，利用待定系数法，代入已知的x、y值求出比例系数k，进而整理得到y关于x的函数解析式；(2)(3) 分别将给定的y值、x值代入已求得的函数解析式，通过解方程或代数计算，求出对应的x值或y值；(4) 根据反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数），判断所得解析式是否符合该形式，得出结论。
【解析】
(1) 因为$y+2$与$x$成反比例，所以设$y+2=\frac{k}{x}(k≠0)$。将$x=2$，$y=0$代入得：$0+2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$。因此$y+2=\frac{4}{x}$，整理得$y=\frac{4}{x}-2$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{4}{x}-2$。
(2) 把$y=-1$代入$y=\frac{4}{x}-2$，得$-1=\frac{4}{x}-2$，移项得$\frac{4}{x}=1$，解得$x=4$。
(3) 把$x=-\frac{4}{3}$代入$y=\frac{4}{x}-2$，得$y=4÷(-\frac{4}{3}) -2=-3-2=-5$。
(4) 反比例函数的定义是形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数，本题中$y=\frac{4}{x}-2$不符合该形式，因此$y$不是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}-2$；(2) $x=4$；(3) $y=-5$；(4) 不是
【知识点】
反比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，主要考查反比例函数的概念、待定系数法的应用以及函数值的求解，难度适中，适合巩固反比例函数的相关基础知识。
【难度系数】
0.7
13 新情境 生活实际 将油箱加满$k\ \mathrm{L}$油后，轿车可行驶的总路程$s(\mathrm{km})$与平均耗油量$a(\mathrm{L/km})$之间满足反比例函数关系$s=\dfrac{k}{a}$($k$ 是常数，$k\ne0$). 已知某轿车的油箱加满油后，以平均耗油量为$0.1\ \mathrm{L/km}$的速度行驶，可行驶$700\ \mathrm{km}$.
(1) 求$s$关于$a$的函数解析式；
(2) 当平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？
(1) 求$s$关于$a$的函数解析式；
(2) 当平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？
答案
13. (1) 由题意,得 $k=0.1 × 700=70$. $\therefore s$ 关于 $a$ 的函数解析式为 $s=\dfrac{70}{a}(a＞0)$
(2) 将 $a=0.08$ 代入 $s=\dfrac{70}{a}$, 得 $s=\dfrac{70}{0.08}=875$. $\therefore$ 当平均耗油量为 $0.08\ \mathrm{L/km}$ 时,油箱加满油后该轿车可以行驶 $875\ \mathrm{km}$
(2) 将 $a=0.08$ 代入 $s=\dfrac{70}{a}$, 得 $s=\dfrac{70}{0.08}=875$. $\therefore$ 当平均耗油量为 $0.08\ \mathrm{L/km}$ 时,油箱加满油后该轿车可以行驶 $875\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
本题是反比例函数在生活实际中的应用，解题思路为：(1) 已知s与a满足反比例函数关系s=k/a，结合题目给出的一组a和s的对应值，通过代入计算求出常数k，进而得到s关于a的函数解析式，同时明确自变量a的取值范围；(2) 求特定耗油量对应的行驶路程，只需将该耗油量代入已求得的函数解析式计算即可。
【解析】
(1) 将a=0.1，s=700代入s=k/a，得：
k = 0.1×700 = 70，
因此s关于a的函数解析式为s = 70/a（a＞0）；
(2) 将a=0.08代入s=70/a，得：
s = 70÷0.08 = 875，
即当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km。
【答案】
(1) s关于a的函数解析式为$s=\dfrac{70}{a}(a＞0)$；
(2) 当平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时，油箱加满油后该轿车可以行驶$875\ \mathrm{km}$。
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数解析式的求解及代入求值的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在生活实际中的应用，解题思路为：(1) 已知s与a满足反比例函数关系s=k/a，结合题目给出的一组a和s的对应值，通过代入计算求出常数k，进而得到s关于a的函数解析式，同时明确自变量a的取值范围；(2) 求特定耗油量对应的行驶路程，只需将该耗油量代入已求得的函数解析式计算即可。
【解析】
(1) 将a=0.1，s=700代入s=k/a，得：
k = 0.1×700 = 70，
因此s关于a的函数解析式为s = 70/a（a＞0）；
(2) 将a=0.08代入s=70/a，得：
s = 70÷0.08 = 875，
即当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km。
【答案】
(1) s关于a的函数解析式为$s=\dfrac{70}{a}(a＞0)$；
(2) 当平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时，油箱加满油后该轿车可以行驶$875\ \mathrm{km}$。
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数解析式的求解及代入求值的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7
14 已知函数 $y=y_1+y_2$，$y_1$ 与 $x$ 成正比例，$y_2$ 与 $x$ 成反比例，且当 $x=1$ 时，$y=4$；当 $x=2$ 时，$y=5$.
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
(2) 当 $x=4$ 时，求 $y$ 的值.
(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
(2) 当 $x=4$ 时，求 $y$ 的值.
答案
14. (1) 设 $y_1=k_1x(k_1 ≠ 0),y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0), \therefore y=y_1+y_2=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$. $\because$ 当 $x=1$ 时, $y=4$; 当 $x=2$ 时, $y=5, \therefore$ 代入 $y=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$, 得 $\begin{cases}k_1+k_2=4,\\2k_1+\dfrac{k_2}{2}=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2,\\k_2=2.\end{cases}$ $\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=2x+\dfrac{2}{x}$
(2) 将 $x=4$ 代入 $y=2x+\dfrac{2}{x}$, 得 $y=2 × 4+\dfrac{2}{4}=\dfrac{17}{2}$
(2) 将 $x=4$ 代入 $y=2x+\dfrac{2}{x}$, 得 $y=2 × 4+\dfrac{2}{4}=\dfrac{17}{2}$
解析
【分析】
这道题是正比例函数与反比例函数的综合应用问题，解题思路如下：①根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的表达式；②利用已知的两组$x$、$y$的对应值，代入表达式得到关于未知系数的方程组；③解方程组求出系数，确定$y$与$x$的函数解析式；④将$x=4$代入已求得的解析式，计算出对应的$y$值。
【解析】
(1) 因为$y_1$与$x$成正比例，所以设$y_1=k_1x(k_1≠0)$；$y_2$与$x$成反比例，所以设$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2≠0)$。
又因为$y=y_1+y_2$，所以$y=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$代入得：$k_1 + k_2 = 4$；
将$x=2$，$y=5$代入得：$2k_1 + \dfrac{k_2}{2}=5$；
联立方程组：$\begin{cases}k_1 + k_2 =4 \\2k_1 + \dfrac{k_2}{2}=5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k_1=2 \\k_2=2\end{cases}$
因此，$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\dfrac{2}{x}$。
(2) 将$x=4$代入$y=2x+\dfrac{2}{x}$，得：
$y=2×4 + \dfrac{2}{4}=8+\dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{2}$。
【答案】
(1) $y=2x+\dfrac{2}{x}$；(2) $\dfrac{17}{2}$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的综合应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，需要学生掌握正比例、反比例函数的表达式形式，以及二元一次方程组的求解方法，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
这道题是正比例函数与反比例函数的综合应用问题，解题思路如下：①根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的表达式；②利用已知的两组$x$、$y$的对应值，代入表达式得到关于未知系数的方程组；③解方程组求出系数，确定$y$与$x$的函数解析式；④将$x=4$代入已求得的解析式，计算出对应的$y$值。
【解析】
(1) 因为$y_1$与$x$成正比例，所以设$y_1=k_1x(k_1≠0)$；$y_2$与$x$成反比例，所以设$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2≠0)$。
又因为$y=y_1+y_2$，所以$y=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$代入得：$k_1 + k_2 = 4$；
将$x=2$，$y=5$代入得：$2k_1 + \dfrac{k_2}{2}=5$；
联立方程组：$\begin{cases}k_1 + k_2 =4 \\2k_1 + \dfrac{k_2}{2}=5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k_1=2 \\k_2=2\end{cases}$
因此，$y$与$x$之间的函数解析式为$y=2x+\dfrac{2}{x}$。
(2) 将$x=4$代入$y=2x+\dfrac{2}{x}$，得：
$y=2×4 + \dfrac{2}{4}=8+\dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{2}$。
【答案】
(1) $y=2x+\dfrac{2}{x}$；(2) $\dfrac{17}{2}$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的综合应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，需要学生掌握正比例、反比例函数的表达式形式，以及二元一次方程组的求解方法，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
