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8 一个直角三角形的两条边长是方程 $x^{2}-7x+12=0$ 的两个根,则此直角三角形外接圆的半径等于
$\frac{5}{2}$或2
.答案
8. $\frac{5}{2}$或2
解析
【分析】
先求解一元二次方程得到两个根，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边一半的性质，分两种情况讨论这两个根是直角边还是包含斜边，进而计算外接圆半径，注意避免漏解。
【解析】
解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x=3$或$x=4$。
直角三角形外接圆的半径等于斜边长度的一半，分两种情况：
1. 若3和4均为直角边，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2 +4^2}=5$，则外接圆半径为$\frac{5}{2}$；
2. 若4为斜边、3为直角边，则外接圆半径为$\frac{4}{2}=2$。
综上，此直角三角形外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
一元二次方程解法；直角三角形性质；三角形外接圆
【点评】
本题需注意直角三角形的两条边可能为直角边或含斜边，需分情况讨论，核心是掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，易因漏解出错。
【难度系数】
0.5
先求解一元二次方程得到两个根，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边一半的性质，分两种情况讨论这两个根是直角边还是包含斜边，进而计算外接圆半径，注意避免漏解。
【解析】
解方程$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x=3$或$x=4$。
直角三角形外接圆的半径等于斜边长度的一半，分两种情况：
1. 若3和4均为直角边，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2 +4^2}=5$，则外接圆半径为$\frac{5}{2}$；
2. 若4为斜边、3为直角边，则外接圆半径为$\frac{4}{2}=2$。
综上，此直角三角形外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
一元二次方程解法；直角三角形性质；三角形外接圆
【点评】
本题需注意直角三角形的两条边可能为直角边或含斜边，需分情况讨论，核心是掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，易因漏解出错。
【难度系数】
0.5
9 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=6,BC=10$,求$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径.
答案
9. 如图,过点 A 作AD⊥BC 于点D,连接 AO,BO.
∵ AB=AC,AD⊥BC,
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC.
∴ AD 垂直平分BC.
∵ ⊙O是△ABC的外接圆,
∴ AO 垂直平分BC.
∴ AD 的延长线必过圆心 O. 在Rt△ABD 中,AB=6,BD=$\frac{1}{2}$BC=5,
∴ AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=$\sqrt{11}$.设⊙O的半径为r.在Rt△OBD中,OB=r,OD=r−$\sqrt{11}$,根据勾股定理,得OB²=OD²+BD²,即r²=(r−$\sqrt{11}$)²+5²,解得r=$\frac{18\sqrt{11}}{11}$,即△ABC的外接圆⊙O的半径为$\frac{18\sqrt{11}}{11}$
解析
【分析】
要计算等腰△ABC的外接圆半径，先利用等腰三角形三线合一确定AD垂直平分BC，结合外接圆圆心在BC的垂直平分线上，得出圆心O在AD的延长线上；再设外接圆半径为r，在Rt△ABD中算出AD的长度，最后在Rt△OBD中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，AD垂直平分BC。
∵ ⊙O是△ABC的外接圆，
∴ 圆心O在AD的延长线上，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r - AD。
在Rt△ABD中，AB=6，BD=5，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{AB^2 - BD^2}$=$\sqrt{6^2 -5^2}$=$\sqrt{11}$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OB²=OD² + BD²，即$r^2=(r - \sqrt{11})^2 +5^2$，
展开右边：$r^2 = r^2 - 2\sqrt{11}r +11 +25$，
化简得：$2\sqrt{11}r=36$，
解得：$r=\frac{18\sqrt{11}}{11}$。
【答案】
$\frac{18\sqrt{11}}{11}$
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形与外接圆的性质，利用勾股定理求解外接圆半径，是几何计算的典型题型，需掌握圆心位置的确定方法。
【难度系数】
0.6
要计算等腰△ABC的外接圆半径，先利用等腰三角形三线合一确定AD垂直平分BC，结合外接圆圆心在BC的垂直平分线上，得出圆心O在AD的延长线上；再设外接圆半径为r，在Rt△ABD中算出AD的长度，最后在Rt△OBD中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，AD垂直平分BC。
∵ ⊙O是△ABC的外接圆，
∴ 圆心O在AD的延长线上，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r - AD。
在Rt△ABD中，AB=6，BD=5，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{AB^2 - BD^2}$=$\sqrt{6^2 -5^2}$=$\sqrt{11}$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OB²=OD² + BD²，即$r^2=(r - \sqrt{11})^2 +5^2$，
展开右边：$r^2 = r^2 - 2\sqrt{11}r +11 +25$，
化简得：$2\sqrt{11}r=36$，
解得：$r=\frac{18\sqrt{11}}{11}$。
【答案】
$\frac{18\sqrt{11}}{11}$
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合等腰三角形与外接圆的性质，利用勾股定理求解外接圆半径，是几何计算的典型题型，需掌握圆心位置的确定方法。
【难度系数】
0.6
10 阅读材料：
如图①,A,B 为平面直角坐标系内的任意两点. 若点 A 的坐标为$(m,n)$,点 B 的坐标为$(a,$
$b)$,过点 B 作$BH ⊥ AH$,垂足为 H. 易得$BH=|b-n|$,$AH=|a-m|$. 由勾股定理,得$AB^{2}=$
$AH^{2}+BH^{2},\therefore AB^{2}=(a-m)^{2}+(b-n)^{2}$,即在平面直角坐标系中,两点之间距离的平方等于两
点相应坐标差的平方和.
解决问题:如图②,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点分别为$A(-1,0),B(1,0),C(-3,$
2),$\odot P$是$△ ABC$的外接圆,求点 P 的坐标.
如图①,A,B 为平面直角坐标系内的任意两点. 若点 A 的坐标为$(m,n)$,点 B 的坐标为$(a,$
$b)$,过点 B 作$BH ⊥ AH$,垂足为 H. 易得$BH=|b-n|$,$AH=|a-m|$. 由勾股定理,得$AB^{2}=$
$AH^{2}+BH^{2},\therefore AB^{2}=(a-m)^{2}+(b-n)^{2}$,即在平面直角坐标系中,两点之间距离的平方等于两
点相应坐标差的平方和.
解决问题:如图②,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点分别为$A(-1,0),B(1,0),C(-3,$
2),$\odot P$是$△ ABC$的外接圆,求点 P 的坐标.
答案
10. 根据题意,得点A(−1,0),B(1,0),C(−3,2)都在⊙P上,
∴ PC=PB,且易得点P在y轴上.设点P的坐标为(0,a).
∴ PC²=(−3−0)²+(2−a)²,PB²=(1−0)²+(0−a)².
∴ (−3−0)²+(2−a)²=(1−0)²+(0−a)²,解得a=3.
∴ 点P的坐标为(0,3)
∴ PC=PB,且易得点P在y轴上.设点P的坐标为(0,a).
∴ PC²=(−3−0)²+(2−a)²,PB²=(1−0)²+(0−a)².
∴ (−3−0)²+(2−a)²=(1−0)²+(0−a)²,解得a=3.
∴ 点P的坐标为(0,3)
解析
【分析】
要确定△ABC外接圆的圆心P，需利用外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等的性质（PA=PB=PC）。观察A(-1,0)和B(1,0)，两点关于y轴对称，因此AB的垂直平分线为y轴，故圆心P在y轴上，可设P的坐标为(0,a)。再根据两点间距离公式，结合PC=PB列方程求解a即可。
【解析】
∵ ⊙P是△ABC的外接圆，
∴ PA=PB=PC。
又
∵ A(-1,0)，B(1,0)，两点横坐标互为相反数、纵坐标相同，
∴ AB的垂直平分线为y轴，即圆心P在y轴上，设P(0,a)。
根据两点间距离公式：
PC² = (-3 - 0)² + (2 - a)² = 9 + (2 - a)²，
PB² = (1 - 0)² + (0 - a)² = 1 + a²。
∵ PC=PB，
∴ PC²=PB²，即：
9 + (2 - a)² = 1 + a²，
展开得：9 + 4 - 4a + a² = 1 + a²，
化简得：13 - 4a = 1，
解得：a=3。
∴ 点P的坐标为(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
两点间距离公式，三角形外接圆的性质
【点评】
本题结合两点间距离公式与三角形外接圆的性质，利用对称性简化圆心坐标的设定，解题思路清晰，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要确定△ABC外接圆的圆心P，需利用外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等的性质（PA=PB=PC）。观察A(-1,0)和B(1,0)，两点关于y轴对称，因此AB的垂直平分线为y轴，故圆心P在y轴上，可设P的坐标为(0,a)。再根据两点间距离公式，结合PC=PB列方程求解a即可。
【解析】
∵ ⊙P是△ABC的外接圆，
∴ PA=PB=PC。
又
∵ A(-1,0)，B(1,0)，两点横坐标互为相反数、纵坐标相同，
∴ AB的垂直平分线为y轴，即圆心P在y轴上，设P(0,a)。
根据两点间距离公式：
PC² = (-3 - 0)² + (2 - a)² = 9 + (2 - a)²，
PB² = (1 - 0)² + (0 - a)² = 1 + a²。
∵ PC=PB，
∴ PC²=PB²，即：
9 + (2 - a)² = 1 + a²，
展开得：9 + 4 - 4a + a² = 1 + a²，
化简得：13 - 4a = 1，
解得：a=3。
∴ 点P的坐标为(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
两点间距离公式，三角形外接圆的性质
【点评】
本题结合两点间距离公式与三角形外接圆的性质，利用对称性简化圆心坐标的设定，解题思路清晰，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
